当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 13年力学竞赛辅导理论力学3

13年力学竞赛辅导理论力学3


例17. 小虫从半径为r 的半球形的碗底往上爬. 设虫与碗间的滑动摩擦系数为
f ? 3 3

求: 小虫爬到的最大的高度h = ?
解: 由滑动摩擦系数可知摩擦角为 O
30? 60?
h

tg? ?

3 3

? ? 300

小虫爬

到的最大高度h 时, 恰能自锁.

? 3? ? h ? r ? r ? sin60 ? r ? 1 ? ? 2 ? ? ?
0

1

例18. 三个均质的正方形物块放在45? 倾角的斜面上, 物块各重为Q , 各处接触面 的摩擦角均为 ? . 求: 提起下面一正方形所需的最小力P = ?( 华中理工大92年试题)

P
2 3

解: 此题求的是临界平衡问题 取2 块分析 x

F1 ? Q ? cos 45 0 ? ? ? 0 F1
0

1
45? y 45?

? ? Q cos ?45
?

?X

i

? 0:

? ? ??
i

F2

?

2
?

取1 块分析

?Y
?

? 0:

F
45? ? -

' 1

P F ''
1

45? ? -

Q

F1
45? ? -

? 2F1' cos 450 ? ? ? Q ? P ? 0

P ? Q ? 2Q cos2 450 ? ? ? Q?2 ? sin2? ?

?

?

1

Q

也可以将F1 , F2 正交分解为切向力和法向力, 基本 思路一样, 但计算过程要麻烦得多. 2

例19. 圆柱体A 与长方块B 均重100N , 置于倾角为30?的斜面上. 若所有接触处的摩擦角 都是35?. 求: 保持系统平衡所需的最小力P = ? 解: 设B 块向下滑动, 圆柱体A沿斜面滚动

A B

取圆柱体分析 由三力平衡汇交可判别: 圆柱与斜面间未 达最大静摩擦力.

P
30?
O?

?m
F2 ?

D

?F ? ? 0 :
i

? W sin300 r ? F2 cos? ? r ? F2 sin? ? r ? 0
50 ? 35.9? N ? 0 0 cos 35 ? si n35

A
D
30?

y
?

F2'
?

取长方块B 分析

?Y

i

? 0:

FN ? W cos300 ? F2 si n350 ? 0
FN ? 107 20? N ? .

F1

W

F2
F

B
30?

?X
P
W
x

i

? 0:

F2 cos350 ? F ? W si n300 ? P ? 0 F ? FN ? tg350 ? 75.06? N ?
? P ? 4.34? N ?
3

FN

例21 . 轴AB与铅垂线成? 角, 悬臂CD 固定于轴上并与之垂直. 悬臂CD长为a, 并与铅垂面ZAB成? 角. 如图在D 点上作用一铅垂向下的力P, 求

m AB P ? ?
Z B

??

解: 将P 力正交分解, 其中, P1// AB, P2//EK . 显然, mAB P1 ? 0 沿B?A方向看下去如下图所示.

? ?

E

C
?

? m AB P ? m AB P2 ? P sin ? ? a sin ?

? ?

? ?

a

?

K

D

P1
A

?

P2
E

P

B(C )

a

?
D

K
4

P2

例22. 图示细直杆AB, 重为P. 其一端A靠在光滑的铅直墙上, 同时又被一光滑 棱支承于图示位置( OA与墙面垂直, OC?AB, 且它们同时与重力P的作用线交 于O点). 则此杆是否处于 “ 稳定平衡”. ( 第二届题)
B

C

系统或系统中的质点若被微小干扰 后只是在平衡位置附近运动而不会 产生很大的偏离, 且最终可恢复原 状,此种平衡状态是稳定平衡, 否则 便是不稳定平衡. 此题应是不稳定平衡. 判断平衡是 否稳定的标准式是 势能函数对其 坐标的二阶导数

P
A

O

O C

B

A

P
5

杆AB重P,长为2l ,下端靠在铅直的墙上, 同时又被支承在光滑的点C,求杆平衡时的角 度,并讨论平衡的稳定性。
解: 光滑面接触——理想约束

y D C x P

B

?
A a

系统中仅有重力作功——保守系统,可用 系统的势能决定其平衡位置及平衡的稳定 性。 系统的势能: 单自由度,取

? 为广义坐标

重力势能的零点取为点C

?V (? ) ? PhD ? P(l cos? ? a cot? )
系统平衡时,势能满足:

dV 1 ? ? Pl sin ? ? Pa 2 ? 0 d? sin ?

?V (? ) ? PhD ? P(l cos? ? a cot? )
系统平衡时,势能满足:

y D

B

dV 1 ? ? Pl sin ? ? Pa 2 ? 0 d? sin ?
3

?
A a

C P

x

a ? sin ? ? ?? 0 ? arcsin 3 a l l 注意:势能的零 2 ? 2 cos? 0 点应取在固定点 又: d V ? ? Pl cos? 0 ? Pa 处,若取在A点,则 2 3 d? ? ?? sin ? 0
0

势能零点不定。

l ? ? P(l cos? 0 ? 2a cos? 0 ) ? ?3Pl cos? 0 ? 0 a ?? ? ?0为不稳定平衡!

例23. 半径为r, 重为W的均质圆柱体置于半径为R的圆槽底部, 接触面间的摩擦 系数为?. 在圆柱体边缘缠绕一不计重量的柔索, 其端部悬挂重为P的物块, 则平 衡时圆柱体的中心可以升高, OC连线的最大偏角? 可达 ( ) . ( 第三届题) 解: 当接触面处的静滑动摩擦力达到临界 值时, ? 角可达最大. 取圆柱体为研究对象, 由临界平衡可得
R

O

?m ? ?
即是

? ? tg?

?

R?r
C

? ? arc? tg?
r
?
D
注: 系统的平衡时, W 与P的大小与?角有关, 而?角的大小取决于?.

C

W

W
FS

P

? FR
P

?m

FN

8

例24. 均质矩形块置于粗糙的地板上, 摩擦系数为? , 初始静止. 为使矩形块 在水平力P的作用下沿地板滑动而不倾倒, 作用点不能太高, 即h 应比较小. 试问hmin = ? ( 第三届题)

解: 此题的发散性思维较强.
由题意, P力不应是由零逐渐增大后而使物块恰 能开始滑动的力( 所谓 “临界力”). 倘若如此, 则滑动而不倾倒的条件的界定应是hmax . 我们可试算一下: 若滑动, P ? W?

c

b

W
B

h
A

P

若倾倒(绕A点),

? mA ? 0
h? W ?c c ? 2P 2?

c W ? ? Ph ? 0 2

由此可得知: 只要

h?

c 2?

则不会倾倒.

因而有 hmax ?

c 2?

至于hmin 可允许为零.

即hmin = 0 .
9

若P > W?, 则在其作用下物块有一加速度a .

c

在图示的运动及受力状态下, 有hmin .
由图中可知,
W a ? P ? W? g

?P ? a ? ? ? ??? g ?W ?
Q? W ? a ? P ? ? ?W g

b

C
Q

a
hmin
A

W
FS
B

P

b c mB ? 0 : Q ? ? W ? ? P ? hmin ? 0 ? 2 2
hmin ? 1 ?Q ? b ? W ? c ? ? b ? W ?? ? b ? c ? 2P 2 2P

FN
令上式中hmin = 0 若hmin > 0

由上式可知hmin 的值与P的大小有关.
W ?? ? b ? c ? ? b 2P 2 c? ? 则 P ?W?? ? ? b? ?
c? ? P ?W?? ? ? b? ?

综合分析, 可得如下的结果

10

c



? ?W ? P ? ? ? ? ? ?W
c? ? P ? ? ? ? ? ?W b? ?

? ?

c? b?

hmin ? 0

b

C
Q



hmin ?

a
hmin
A

b W ??b ? c ? ? 0 ? 2 2P

W
FS
B

P

FN

注:

c? ? 在 hmin ? 0 及 ? ? W ? P ? ? ? ? ? ? W 条件下, b? ? 物块在滑动中向左倒的趋向逐渐加大.

11

例25 小球重W2 半径为r, 大球重W1 半径为R. 设球与地面间、大球与小球间 的摩擦系数均为f , 现加一水平力P . 试问摩擦系数至少为多少,才能在足够大 的P力作用下保证大球从小球上翻过。(不计滚动摩阻)

P

A

解:临界平衡时,B 处的反力为零。 各摩擦面处力的方向与法向所夹角

?m ?m

等于摩擦角. ( 如图示)

W2
D

W1
B

? f ? tg? m ?
r R

FS

?m

DB 2 Rr ? ? AB 2R

r R

FN

由题意 f ?

可满足条件.

12

P

A

?m ?m

W2
D

W1
B

?m

P

A

?m

? FR
K
W2

?m

K

?m

W1
FR

D
?m
13

运动学篇
引言
运动学主要是确定或求解点和刚体运动时的位置、速度、角速度、加速 度、角加速度. 有两种基本方法: 点的运动形式: 直线、曲线 刚体的运动形式: 平动、定轴转动、平面运动、一般运动. 处理方法: 解析法 (函数法): (1) 通常只选定参考系, 直接描述点或刚体的绝对运动. 若有 必要描述相对运动, 则必须选择相应的动参考系. (2) 分析点或刚体在坐标空间中的任意时刻的几何位置,并将 其位置的坐标( 线坐标或角坐标)表示成时间的函数. (3) 求某瞬时的运动量, 应求得相应的运动解析式, 在将此时 刻的时间t或坐标值(角度或线度)代入之.
14

合成法( 瞬时法):(1) 已知运动的点与未知的点在同一刚体上 ? 刚体平面运动
基点法, VB ? VA ? VBA ( 包括速度投影及速度瞬心法)
n t a B ? a A ? a BA ? a BA

(2) 已知运动 的刚体(或点)和未知的刚体(或点)之间的相对运动— 点的合成运动.

Va ? Ve ? Vr

aa ? ae ? ar ? aC

(3)刚体平面运动的基点法(合成法)之点的合成运动的动系是固
结在基点的平动坐标系. 而一般的点的合成运动的动系是固结在某运动刚体上的动系. 此动系可以是平动、定轴转动、刚体平面运动等任意形式的 刚体运动.
15

例1.

一车以匀速度v 沿水平轨道运动, 通过绳索及滑轮提升重物A, 如图所示. 开始, A物和 B 车都在O 点. OC = h . 求: 当小车与O 点的距离为l 时, 重物上升的速度和加速度. 滑轮的大 小忽略不计. 解: 建立坐标轴如图示 y 由运动过程中绳索等于定长 AC + BC = 2h C
2 h ? y A ? x B ? h2 ? 2h

yA ?
? yA ? 2?vt ? ? v

?vt ?2 ? h2 ? h
? v 2t

2 ?vt ? ? h 2
2

?vt ?2 ? h 2
2?vt ? ? v 2

h

A
YA

?vt ?2 ? h2 ? t ?
B
XB

v

??A ? v 2 y
x

?vt ?2 ? h2
v 2 ? h2
2

?vt ?2 ? h2

O

?

??vt ?

?h

3 2 2

?

16

y 由题意, 当vt = l 时, C
aA

vc
vA

? vA ? yA ?

vl l 2 ? h2

a A ? ??A ? y

v 2 h2

?l

2

?h

3 2 2

?

h

A
YA

v
?
XB

本 题中, AC + CB 是否等于2h 并不重要, 只要等于 定长就行. 柔索 ACB 在运动过程中保持定长就是理 论力学中柔性约束的‘ 不可伸长’.

B ?

O

x

它有这样一重要的含义: 沿柔性体长度方向上的任 意两点的距离是保持不变的. – 这 正是刚体的性质. 这种性质的运动学表现是: 任意两点的速度沿长度 方向上的投影相等.

如图中

vC ? v B cos?
vh

v A ? vC

? v A ? v ? cos ? ?

?vt ?2 ? h 2
v 2 h2



? aA ? vA ?

??vt ?

2

?h

3 2 2

?

17

例2. 某一点的运动轨迹为平面曲线, 其速度在铅垂方向的投影始终是常量C. 求证: 任意时刻点的加速度大小 为:
v3 a? C?? 其中, ?为点所在曲线处的曲率 半径

证明: 不妨设铅垂轴为 轴 x 则 Vx ? C ax ? 0

18



v2 an ? ρ

vx C cos α ? ? v v
2

a x ? a τ cos α ? a n sinα ? 0 v a τ ? tgα a n ? tgα ρ

1 v 2 v3 a ? aτ2 ? a 2 ? ? n cosα ρ Cρ
19

例3. 设动点在一平面内运动. 求证:此点的运动轨迹的曲率半径有下式确定:
??
y
v ? ?

其中, ?为动点处轨迹的切线与x轴的夹角. 由图示可得:
? x ? v cos ?

? y ? v sin?

v
?
O

?? ? a? sin? ? v cos? ? ? ?2? ? y
x

?? ? a? cos? ? v sin? ? ? ?1? ? x

(1)2 + (2)2 并整理可得:

? a 2 ? a?2 ? v 2? 2 ? a 2 ? a?2 ? v 2? 2
v4

? a ? v ?2
2 n 2
2

?

2

? ? v 2? 2

? v 2 ? ? 2? 2

v2 ? ? 2 ? ?

v ?? ? ?

证毕
20

例4. 一点的切向加速度与法向加速度的大小均为常量, 试求该点的运动方 向在时间t 内转过的角度. (第二届题的知识点) 解: 由已知条件可设常数A、B

at

? s ? Bt ? C



an ?

? s2

?

?A

at ? ?? ? B s

? s 又, ?? ? ?

? ? 则 ? ?s ? A
d? ?Bt ? C ? ? A dt

an

? 由此可得: ? ? ?Bt ? C ? ? A

d? ?

A dt Bt ? C

??

A ?ln?Bt ? C ? ? D? B

其中, C、D 为待定常数.
21

思考题:点沿抛物线 y2=4px 运动,沿y方向的速度为常量C,求vx及加速度 a 。 解:轨迹方程两边对 t 求导,

? ? 2 yy ? 4 px 4 px C? 2p x C p

2 yC ? vx ? ? 4p ? ay ? vy ? 0

? C x C C2 ? a ? ax ? vx ? ? ? ? ? 2p p 2 x p 2 x

x C p

思考题:点沿半径为R的圆周作匀加速运动,v0=0,全加速度 a 与切线的夹角为 α,以β表示点所走过的弧 s 所对的圆心角,求证:

tgα=2β

v2 a sin ? ? an ? R a cos? ? a?
两式相除:

解:根据题意画图:

s

β

α

v2 tg? ? Ra? 2 2 而 v ? v0 ? 2aτ s
又 s ? R?
∴ tgα=2β

a

例5.一钢圈可绕其边缘处的O轴在竖直平面内转动,小环M可沿钢圈滑动. 当t = 0 时, ? = ?0 ,为使小球能自由落下,求钢圈的转动方程.

ve 2?
C
R

M

va ? gt
vr

? ve ? 2R cos? ? ?

? vr ? 2?R

va

?
O

由速度合成关系: va ? vr sin?
? gt ? 2?R sin?

gt ? ?? 2R sin?

d? gt ? dt 2R sin?

si n?d? ?

gt dt 2R

gt 2 ? cos? ? ?C 4R
gt 2 cos? ? cos? o ? 4R

由初始条件:
?1

? cos? o ? C

? gt 2 ? ? ? ? cos ? cos? 0 ? ? 4R ? ? ? ? gt 2 ? ? ? ? cos ? 1 ? ? 4R ? ? ?
?1

当t = 0 , ? = 0 , 方程为

24

例6. 两辆汽车匀速前进,如图示. A车沿直线行驶, OA = x0 - vAt ,B车沿圆周行驶,
? = ?t, 圆周的半径为R. 问: (1) A车上的乘客看到B车的运动方程及轨迹; (2) B车上的
乘客看到A车的运动方程和轨迹.
VB

B

(1) 以B车上乘客为动点, A车为动系
y?
VA
A

x? ? ?OA ? R cos? ? v At ? x0 ? R cos?t B

?
R

O

x?

y? ? R sin? ? R sin?t B
2 ?x?B ? x0 ?2 ? y?B2 ? vAt 2 ? 2v AtR cos?t ? R2

y?
VB
B

(2) 以A车上乘客为动点, B车为动系
x? ? OAsin? ? ? x0 ? v At ?sin?t A
x?

?

y? ? ? R ? OAcos? ? ? x0 ? v At ?cos?t ? R A
VA
A
2 2 x? 2 ? ? y? ? R? ? ? x0 ? v At ? A A

?
R

O

25

例7. 半径为R的水平圆盘绕过盘心的铅垂轴匀速转动, 测得一质点通过盘心时 相对于盘心的速度为v, 离开盘缘时的相对速度为2v.设运动过程中质点不受水 平外力,且不计摩擦. 求质点通过盘心时,相对于圆盘的加速度的大小.

?
v r ( 2v )
O

v r va

??

ve

解:

质点的绝对运动为匀速直线运动.
在盘缘

va ? v
? ve ? 3v

vr ? 2v
??
3v R

va
在盘心O

R

选质点为动点, 圆盘为动系,加速度分析如图

aC
ae ? 0
ar
aa ? 0

3v 2 3 2 aC ? 2?vr ? 2 ? ?v ? v R R


aa ? ae ? ar ? aC
2 3 2 v R

可得:

ar ?

方向如图示.

26

例8. 图示三条平行线 I、II、III 之间的距离分别为 m 和n . 今有两动点A和B 以反向速度V1和V2 分别沿直线 I 和直线 II 作匀速直线运动. 另有第三 动点C沿直线 III 运动. 欲使在运动中任一瞬时三点均在一直线上, 则第 三点的速度V3 = ? ( 第五届题)
A

V1
m

I

解: 由三点运动的图示关系可得知: 如果B点与C 点对于A点的相对速度大 小成一比例关系, 则问题可解. 以A点的运动建立一平动坐标参考系

V2
V3

B
n

II
C

由 V ? V ?V r a e

可知

III

V2r ? V2 ? ?? V1 ? ? V2 ? V1

V3r ? V3 ? ?? V1 ? ? V3 ? V1
V2 r V2 ? V1 m ? ? V3 r V3 ? V1 m ? n
? V3 ? V2 ? n ?V1 ? V2 ? m
27

若使三点始终在一直线上, 应有:

例8. 图示三条平行线 I、II、III 之间的距离分别为 m 和n . 今有两动点A和B 以反向速度V1和V2 分别沿直线 I 和直线 II 作匀速直线运动. 另有第三 动点C沿直线 III 运动. 欲使在运动中任一瞬时三点均在一直线上, 则第 三点的速度V3 = ? ( 第五届题)
A

V1
m

I

解: 由三点运动的图示关系可得知: 如果A点与C 点对于B点的相对速度大 小成一比例关系, 则问题可解. 以B点的运动建立一平动坐标参考系

V2
V3

B
n

II
C

由 V ? V ?V r a e

可知

III

V1r ? V1 ? ?? V2 ? ? V1 ? V2

V3r ? V3 ? V2
V1r V1 ? V2 m ? ? V3 r V3 ? V2 n
? V3 ? V2 ? n ?V1 ? V2 ? m
28

若使三点始终在一直线上, 应有:

例9. 三角形楔块B置于楔块A的斜面上, 若A块以VA = 3m/s 的速度向左运动,
? = 300, 求B块的速度. ( 第三届题)

选A块为动系, B上的一点为动点

B

VA

?

A

Va ? Ve ? Vr
Ve ? VA ? 3m / s

Va Ve
30 B
0

Vr

VB ? Va ? Ve tg300 ? 3 m / s ?
300
A

??
29


更多相关文档:

力学竞赛辅导三-动力学普遍定理

工程力学3-第7章动力学普遍... 34页 2财富值 13年力学竞赛辅导理论力学... 暂无评价 29页 1财富值喜欢此文档的还喜欢 力学竞赛动力学1 85页 免费 《理论力...

2013-14理论力学补考考试 3

2013-14理论力学补考考试 3_工学_高等教育_教育专区。上海海事大学理论力学补考考试2013-2014 --- 上海海事大学试卷 2013 — 2014 学年第一学期考试 《班级 题...

理论力学竞赛题目

中南大学 2007 年力学竞赛试题(理论力学)题得号分一二三四五六七八九十合计 ---○---○--- 评卷人 复查人 学 院 一、填空题(本题 50 分,每小题 5...

2014-2015第一学年度13级理论力学期中试卷解答

2014-2015第一学年度13理论力学期中试卷解答_工学_高等教育_教育专区。一、 ...3 m / s a ? 1 m / s 水平与铅垂轴的加速度如图,大小分别为 A , B...

理论力学竞赛题

理论力学竞赛题一、简答题: 1.摩擦角与摩擦因数的关系是什么?在有摩擦的平衡问题时应如何求解? 2.试述刚体平动、定轴转动、平面运动的特征。 3.什么是主矢、...

2013年度大学生理论力学竞赛获奖名单

2013年度大学生理论力学竞赛获奖名单_营销/活动策划_...表1 1 2 3 4 5 张王敏(机械) 威(船舶) 6 ...(建工) 13 森(汽车) 14 赵雨浓(运创) 25 郑...

理论力学试卷3

理论力学试卷3_理学_高等教育_教育专区。《理论力学》期中测验姓名 专业班级 学号 成绩 一、图示力系 F1 = 25kN,F2 = 35kN,F3 = 20kN,力偶矩 m = 50kN...

理论力学期末考试3含答案)

理论力学期末考试3含答案) 隐藏>> 同济大学课程考核试卷(A 卷) 2006— 2007 学年第一学期命题教师签名: 审核教师签名: 课号: 课名:工程力学 考试考查:此卷...

力学竞赛理论力学部分练习题

力学竞赛理论力学部分练习题 一、 四叶玫瑰线 你能...3)摆锤沿摆杆上移约 2mm。 十三、一个小孩在...13年力学竞赛辅导理论力... 暂无评价 38页 免费 ...

理论力学竞赛试题

理论力学竞赛试题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 理论力学竞赛试题 1 平面珩架尺寸、受力如图所示,则杆 1 的内力 力 ;杆 3 的内力 。 ;杆 2 的内 ...
更多相关标签:
理论力学考研辅导书 | 理论力学辅导书 | 理论力学辅导与习题集 | 理论力学考研辅导 | 理论力学 竞赛题 | 理论力学学习辅导 | 理论力学竞赛 | 物理竞赛理论力学 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com