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平面向量数量积坐标表示的应用


平面向量数量积坐标表示的应用
参考答案与试题解析
一、选择题(共 4 小题) 1. (2012?松江区三模)如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上(含原点)上滑动,则 的最大值是( )

A. 1

B.

C. 2

D.

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用.

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分析: 令∠OAD=θ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上, 可得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAD=θ,由于 AD=1 故 0A=cosθ,OD=sinθ, 如图∠BAX= =cosθ, 故 =(cosθ+sinθ,cosθ) =(sinθ,cosθ+sinθ) , 的最大值 ﹣θ,AB=1,故 xB=cosθ+cos( ﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin( ﹣θ)

同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ,即 ∴

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,故

是 2, 故答案是 2. 点评: 本题主要考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与 坐标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标,属于中档题.

2. (2012?浙江模拟) 已知向量 , 满足| |=2| |≠0, 且关于 x 的函数( f x) =2x +3| |x +6 ? x+5 在实数集 R 上单调递增,则向量 , 的夹角的取值范围是( A. [0. ] B. [0, ] C. (0, ] ) D. [ ,π]

3

2

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用.

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3 2 分析: 求导数,利用函数 f(x)=2x +3|a|x +6a?bx+5 在实数集 R 上单调递增,可得判别式

小于等于 0 在 R 上恒成立,再利用| |=2| |≠0,利用向量的数量积,即可得到结论. 解答: 2 解:求导数可得 f′(x)=6x +6| |x+6 实数集 R 上单调递增, 可得 f′(x)=6x +6| |x+6 = ﹣4 ≤0 恒成立, ≤8| |?| |cos< , >,
2

,则由函数 f(x)=2x +3|a|x +6a?bx+5 在

3

2

≥0 恒成立,即 x +| |x+

2

≥0 恒成立,故判别式△

再由| |=2| |≠0,可得 4 ∴cos< , >≥ , ∴< , >∈[0, 故选 B. ],

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查向量的数量积,解题的关键是利 用判别式小于等于 0 在 R 上恒成立,属于中档题. 3. (2012?房山区一模)如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A,D 分别在 x 轴、y 轴正 半轴上移动,则 的最大值是( )

A. 2

B.

C. π

D. 4

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 令∠OAD=θ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上, 可得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAD=θ,由于 AD=1 故 0A=cosθ,OD=sinθ, 如图∠BA x= =cosθ, 故 =(cosθ+sinθ,cosθ) , ﹣θ,AB=1,故 xB=cosθ+cos( ﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin( ﹣θ)

同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ,即 ∴ ?

=(sinθ,cosθ+sinθ) ,

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ, =1+sin2θ 的最大值是 2,

故答案是 2 点评: 本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐标 关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标,属于中档题. 4. (2012?威海模拟)如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,若 N 为 菱形内任意一点(含边界) ,则 的最大值为( )

A. 3

B.

C. 6

D. 9

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用;向量在几何中的应用.

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专题: 平面向量及应用. 分析: 先以点 A 位坐标原点建立的直角坐标系, 求出其它各点的坐标, 然后利用点的坐标表 示出 ,把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可.

解答: 解: :以点 A 位坐标原点建立如图所示的直角坐标系,由于菱形 ABCD 的边长为 2, ∠A=60°,M 为 DC 的中点, 故点 A(0,0) ,则 B(2,0) ,C(3, ) ,D(1, ) ,M(2, ) . 设 N(x,y) ,N 为平行四边形内(包括边界)一动点,对应的平面区域即为平行四 边形 ABCD 及其内部区域. 因为 =(2, ) , =(x,y) ,则 =2x+ y, )时,z=2x+ y 取得最大值为

结合图象可得当目标函数 z=2x+ 9, 故选 D.

y 过点 C(3,

点评: 本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用, 是对 基础知识和基本思想的考查,属于中档题. 二、填空题(共 3 小题) (除非特别说明,请填准确值) 5.在△ABC 中,已知 为 . =(cos18°,cos72°) , =(2cos63°,2cos27°)则△ABC 的面积

考 平面向量数量积坐标表示的应用. 点: 专 平面向量及应用. 题: 分 根据题目给出的向量的坐标求出 析: 用正弦定理求三角形的面积. 解 解: 由 答: 所以 又 =(2cos63°,2cos27°) ,所以

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, 然后运用数量积公式求出∠B, 最后利

= (cos18°, cos72°) = (cos18°, sin18°) , 得: ,



= 所以 cosB= = =



,则 sinB= 所以





故答案为



点 本题考查了平面向量数量积的坐标表示及应用,给出了平面当中两个向量的坐标,可以 评:利用数量积公式求两个向量的夹角,考查了利用正弦定理求三角形的面积,训练了两角 和与差的余弦,此题是中低档题.

6.设 , , 为单位向量, , 的夹角为 60°,则( + + )? 的最大值为

+1 .

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用.

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专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 单位向量 、 夹角为 60°,得出| + |=

,从而向量 与 + 的数量积等于

cosθ, ,且当

其中 θ 是 + 与 的夹角.由余弦函数的值域,可得( + ) 的最大值为 ( + ) 取到这个最大值时, ( + + ) 的最大值为 解答: 解:∵单位向量 、 夹角为 60°, ∴ ? = ? cos60°= ,得| + |= = +1.

∵ 是单位向量, ∴( + ) =| + |? ∵cosθ∈[﹣1,1], ∴( + ) 的取值范围是[﹣ 最大值为 ∵( + + ) =( + ) +
2

cosθ=

cosθ,其中 θ 是 + 与 的夹角



],当且仅当 + 与 方向相同时, ( + ) 的

=( + ) +1, 时, ( + + ) 的最大值为 +1

∴当且仅当( + ) 取得最大值

故答案为: +1 点评: 本题通过求两个向量数量积的最大值,考查了平面向量的模的公式、单位向量的概念 和向量数量积的运算性质等知识,属于中档题.

7. (2010?湖南模拟) 若 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 边 BC 上的动点, 则 的值恒为 6 考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 专题: 计算题;作图题;综合题;压轴题.
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分析: 画出图形,作出以向量 量 ,然后计算

为对角线的平行四边形,设出图中的比例关系,表示出向 ,注意两个比例系数之和为 1,可求得数量积为定

值. 解答: 解:如图 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 边 BC 上的动点, 过 P 作 EP∥AB,交 AC 于 E,FP∥AC 交 AB 于 F, 设 m= ,n= ,由于 ABC 是正三角形,

所以 m+n=1. 所以 = = =6(m+n) =6. 故答案为:6. =

点评: 本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查学生发现问题解决问题的能力,是 中档题. 三、解答题(共 3 小题) (选答题,不自动判卷) 8. (2011?江西模拟)已知 O 为坐标原点, 其中 x∈R,a 为常数,设函数 .

(1)求函数 y=f(x)的表达式和最小正周期; (2)若角 C 为△ABC 的三个内角中的最大角且 y=f(C)的最小值为 0,求 a 的值; (3)在(2)的条件下,试画出 y=f(x) (x∈[0,π])的简图.

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及 其求法;五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.
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专题: 计算题;作图题;综合题. 分析: (1)根据向量数量积的坐标表示和两角和的正弦公式,求出函数的解析式并进行化 简,利用周期公式求出函数的最小正周期; (2)根据三角形最大角的范围求出 2C+ 的范围,再由正弦函数的性质以及最小值

求出 a 的值; (3)根据(2)求出的函数解析式,以及对应坐标系中的标出的自变量的值求出对应 的函数值,利用描点连线和正弦曲线,画出函数的简图. 解答: 解: (1)由题意知, 则 = ∴T=π (2)由角 C 为△ABC 的三个内角中的最大角可得: , ∴ 则 a=1. (3)由(2)可知: 依次求出 f(0)=3,f( )=4,f( )=3,f( , )=1,f( )=0,f( ) 的最小值为 2×(﹣1)+a+1=0,

=1,f(π)=3. 在坐标系中进行描点连线,画出函数的图象(x∈[0,π]) :

点评: 本题是向量和三角函数的综合题, 考查了向量数量积的坐标表示和正弦函数的性质应 用,综合运用知识和作图能力.

9. (2011?济南二模)已知向量 . (1) 求函数 f(x)的最小正周期;



,若

(2) 已知△ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (C 为锐角) ,2sinA=sinB,求 C、a、b 的值. 考点: 平面向量数量积坐标表示的应用;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及 其求法;正弦定理;余弦定理.
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专题: 计算题. 分析: (1)利用向量的数量积公式表示出 f(x) ;利用三角函数的二倍角公式及公式

利用三角函数的周期公式求出周期. (2)先求出角 C,利用正弦定理将三角函数的关系转化为边的关系在,再利用余弦 定理求出边. 解答: 解: (1) = = = (4 分)

∴f(x)的最小正周期为 π. (6 分) (2)∵ ∵2sinA=sinB.由正弦定理得 b=2a,①(9 分) ∵c=3,由余弦定理,得 ,②(10 分) ,∴ (8 分)

解①②组成的方程组,得



(12 分)

点评: 本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的和差角公 式、考查三角形中的正弦定理余弦定理.

10.设 G、M 分别是△ABC 的重心和外心,A(0,﹣a) ,B(0,a) (a>0) ,且 (1)求点 C 的轨迹方程; (2) 是否存在直线 m, 使 m 过点 (a, 0) 并且与点 C 的轨迹交于 P、 Q 两点, 且 若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. 考点: 轨迹方程;平面向量数量积坐标表示的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)设 C(x,y) ,则 G( 可求出点 C 的轨迹方程.





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) ,由题意知 M( ,0) ,再由 M 为△ABC 的外心,

(2) 假设直线 m 存在, 设方程为 y=k (x﹣a) , 由
2 2 2 2

得: (1+3k )

2

x +6k ax+3a (k ﹣1)=0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,然后由根与系数的关系可以推出存在直线 m,其方程为 y= (x﹣a) . 解答: 解: (1)设 C(x,y) ,则 G( 因为 ) ,

,所以 GM∥AB,则 M( ,0)

由 M 为△ABC 的外心,则|MA|=|MC|,即



整理得:

; (5 分)

(2)假设直线 m 存在,设方程为 y=k(x﹣a) ,
2 2 2 2 2



得: (1+3k )x +6k ax+3a (k ﹣1)=0,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则









得:x1x2+y1y2=0,



,解之得 k=±



又点(a,0)在椭圆的内部,直线 m 过点(a,0) , 故存在直线 m,其方程为 y= (x﹣a) . (12 分)


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