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背包九讲


P01: 01 背包问题
题目 有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i],价值是 w[i]。求解将哪 些物品装入背包可使价值总和最大。 基本思路 这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。 用子问题定义状态:即 f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的 最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有 必要将它详细解释一下: “将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题, 若只考虑第 i 件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物品的问题。如果不 放第 i 件物品,那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入容量为 v 的背包中”,价值为 f[i-1][v]; 如果放第 i 件物品, 那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i] 的背包中”,此时能获得的最大价值就是 f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第 i 件物品获得 的价值 w[i]。 优化空间复杂度 以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但 空间复杂度却可以优化到 O。 先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环 i=1..N,每次算出来二维数组 f[i][0..V]的所有值。 那么, 如果只用一个数组 f[0..V], 能不能保证第 i 次循环结束后 f[v] 中表示的就是我们定义的状态 f[i][v]呢?f[i][v]是由 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]两个 子问题递推而来,能否保证在推 f[i][v]时(也即在第 i 次主循环中推 f[v]时)能够得到 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以 v=V..0 的顺 序推 f[v],这样才能保证推 f[v]时 f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码 如下: for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 其中的 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的 f[v-c[i]]就相当于原来的 f[i-1][v-c[i]]。如果将 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了 f[i][v]由 f[i][v-c[i]]推知, 与本题意不符, 但它却是另一个重要的背包问题 P02 最简捷的解决方案, 故学习只用一维数组解 01 背包问题是十分必要的。

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事实上, 使用一维数组解 01 背包的程序在后面会被多次用到, 所以这里抽象出一个处理 一件 01 背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。 过程 ZeroOnePack,表示处理一件 01 背包中的物品,两个参数 cost、weight 分别表明 这件物品的费用和价值。 procedure ZeroOnePack(cost,weight) for v=V..cost f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} 注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。 前面的示例程序写成 v=V..0 是为 了在程序中体现每个状态都按照方程求解了, 避免不必要的思维复杂度。 而这里既然已经抽 象成看作黑箱的过程了, 就可以加入优化。 费用为 cost 的物品不会影响状态 f[0..cost-1], 这是显然的。 有了这个过程以后,01 背包问题的伪代码就可以这样写: for i=1..N ZeroOnePack(c[i],w[i]); 初始化的细节问题 我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求 “恰好装满背包”时的最优解, 有的题目则并没有要求必须把背包装满。 一种区别这两种问 法的实现方法是在初始化的时候有所不同。 如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了 f[0]为 0 其它 f[1..V]均 设为-∞,这样就可以保证最终得到的 f[N]是一种恰好装满背包的最优解。 如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将 f[0..V]全 部设为 0。 为什么呢?可以这样理解:初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时 的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为 0 的背包可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就 都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都 不装”,这个解的价值为 0,所以初始 时状态的值也就全部为 0 了。 这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的 初始化进行讲解。 一个常数优化 前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。 由于只需要最后 f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道 f[v-w[n]]即可。以此类推, 对以第 j 个背包,其实只需要知道到 f[v-sum{w[j..n]}]即可,即代码中的

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for i=1..N for v=V..0 可以改成 for i=1..n bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]} for v=V..bound 这对于 V 比较大时是有用的。 小结 01 背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想, 另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基 本思路的

P02: 完全背包问题
题目 有 N 种物品和一个容量为 V 的背包, 每种物品都有无限件可用。 i 种物品的费用是 c[i], 第 价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值 总和最大。 基本思路 这个问题非常类似于 01 背包问题, 所不同的是每种物品有无限件。 也就是从每种物品的 角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件??等很 多种。如果仍然按照解 01 背包时的思路,令 f[i][v]表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样: f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v} 这跟 01 背包问题一样有 O(VN)个状态需要求解, 但求解每个状态的时间已经不是常数了, 求解状态 f[i][v]的时间是 O(v/c[i]),总的复杂度可以认为是 O(V*Σ (V/c[i])),是比较 大的。 将 01 背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明 01 背包问题 的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。 一个简单有效的优化 完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品 i、j 满足 c[i]<=c[j] 且 w[i]>=w[j],则将物品 j 去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然:任何情况下都可将 价值小费用高得 j 换成物美价廉的 i,得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据,这 个方法往往会大大减少物品的件数, 从而加快速度。 然而这个并不能改善最坏情况的复杂度, 因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
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这个优化可以简单的 O(N^2)地实现,一般都可以承受。另外,针对背包问题而言,比较 不错的一种方法是:首先将费用大于 V 的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出 费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以 O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程 就不给出伪代码了,希望你能独立思考写出伪代码或程序。 转化为 01 背包问题求解 既然 01 背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背包问题转化为 01 背 包问题来解。最简单的想法是,考虑到第 i 种物品最多选 V/c[i]件,于是可以把第 i 种物 品转化为 V/c[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个 01 背包问题。这样完全没有改 进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为 01 背包问题的思路: 将一种物品拆成多件物品。 更高效的转化方法是:把第 i 种物品拆成费用为 c[i]*2^k、价值为 w[i]*2^k 的若干件 物品, 其中 k 满足 c[i]*2^k<=V。 这是二进制的思想, 因为不管最优策略选几件第 i 种物品, 总可以表示成若干个 2^k 件物品的和。这样把每种物品拆成 O(log V/c[i])件物品,是一个 很大的改进。 但我们有更优的 O(VN)的算法。 O(VN)的算法 这个算法使用一维数组,先看伪代码: for i=1..N for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} 你会发现,这个伪代码与 P01 的伪代码只有 v 的循环次序不同而已。为什么这样一改就 可行呢?首先想想为什么 P01 中要按照 v=V..0 的逆序来循环。这是因为要保证第 i 次循环 中的状态 f[i][v]是由状态 f[i-1][v-c[i]]递推而来。 换句话说, 这正是为了保证每件物品 只选一次,保证在考虑“选入第 i 件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第 i 件物品的子结果 f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以 在考虑“加选一件第 i 种物品”这种策略时, 却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结果 f[i][v-c[i]],所以就可以并且必须采用 v=0..V 的顺序循环。这就是这个简单的程序为何 成立的道理。 值得一提的是, 上面的伪代码中两层 for 循环的次序可以颠倒。 这个结论有可能会带来算法 时间常数上的优化。 这个算法也可以以另外的思路得出。例如,将基本思路中求解 f[i][v-c[i]]的状态转移 方程显式地写出来,代入原方程中,会发现该方程可以等价地变形成这种形式: f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]} 将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的伪代码。 最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码:
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procedure CompletePack(cost,weight) for v=cost..V f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]} 总结 完全背包问题也是一个相当基础的背包问题,它有两个状态转移方程,分别在“基本思 路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。 希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会, 不仅记住,也要弄明白它们是怎么得出来的,最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事 实上, 对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来, 是加深对动态规划的理解、 提高动态规划功力的好方法。 得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。

P03: 多重背包问题
题目 有 N 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品最多有 n[i]件可用,每件费用是 c[i], 价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值 总和最大。 基本算法 这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可, 因为对于第 i 种物品有 n[i]+1 种策略:取 0 件,取 1 件??取 n[i]件。令 f[i][v]表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值,则有状态转移方程: f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]} 复杂度是 O(V*Σ n[i])。 转化为 01 背包问题 另一种好想好写的基本方法是转化为 01 背包求解: 把第 i 种物品换成 n[i]件 01 背包中 的物品,则得到了物品数为 Σ n[i]的 01 背包问题,直接求解,复杂度仍然是 O(V*Σ n[i])。 但是我们期望将它转化为 01 背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。 仍然考虑二 进制的思想, 我们考虑把第 i 种物品换成若干件物品, 使得原问题中第 i 种物品可取的每种 策略——取 0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。 另外, 取超过 n[i]件的策 略必不能出现。 方法是:将第 i 种物品分成若干件物品,其中每件物品有一个系数,这件物品的费用和 价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且 k 是满足 n[i]-2^k+1>0 的最大整数。例如,如果 n[i] 为 13,就将这种物品分成系数分别为 1,2,4,6 的四件物品。

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分成的这几件物品的系数和为 n[i], 表明不可能取多于 n[i]件的第 i 种物品。 另外这种 方法也能保证对于 0..n[i]间的每一个整数,均可以用若干个系数的和表示,这个证明可以 分 0..2^k-1 和 2^k..n[i]两段来分别讨论得出,并不难,希望你自己思考尝试一下。 这样就将第 i 种物品分成了 O(log n[i])种物品,将原问题转化为了复杂度为 <math>O(V*Σ log n[i])的 01 背包问题,是很大的改进。 下面给出 O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程,其中 amount 表示物品的 数量: procedure MultiplePack(cost,weight,amount) if cost*amount>=V CompletePack(cost,weight) return integer k=1 while k<amount ZeroOnePack(k*cost,k*weight) amount=amount-k k=k*2 ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight) 希望你仔细体会这个伪代码,如果不太理解的话,不妨翻译成程序代码以后,单步执行 几次,或者头脑加纸笔模拟一下,也许就会慢慢理解了。 O(VN)的算法 多重背包问题同样有 O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程,但应用单 调队列的方法使每个状态的值可以以均摊 O(1)的时间求解。 由于用单调队列优化的 DP 已超 出了 NOIP 的范围, 故本文不再展开讲解。 我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题” 幻灯片上。 小结 这里我们看到了将一个算法的复杂度由 O(V*Σ n[i])改进到 O(V*Σ log n[i])的过程, 还 知道了存在应用超出 NOIP 范围的知识的 O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想 和方法,自己证明一下它的正确性,并将完整的程序代码写出来。

P04: 混合三种背包问题
问题 如果将 P01、P02、P03 混合起来。也就是说,有的物品只可以取一次(01 背包),有的 物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。应该怎 么求解呢? 01 背包与完全背包的混合

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考虑到在 P01 和 P02 中给出的伪代码只有一处不同,故如果只有两类物品:一类物品只 能取一次,另一类物品可以取无限次,那么只需在对每个物品应用转移方程时,根据物品的 类别选用顺序或逆序的循环即可,复杂度是 O(VN)。伪代码如下: for i=1..N if 第 i 件物品属于 01 背包 for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; else if 第 i 件物品属于完全背包 for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 再加上多重背包 如果再加上有的物品最多可以取有限次,那么原则上也可以给出 O(VN)的解法:遇到多 重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过 NOIP 范围的算法的话,用 P03 中 将每个这类物品分成 O(log n[i])个 01 背包的物品的方法也已经很优了。 当然,更清晰的写法是调用我们前面给出的三个相关过程。 for i=1..N if 第 i 件物品属于 01 背包 ZeroOnePack(c[i],w[i]) else if 第 i 件物品属于完全背包 CompletePack(c[i],w[i]) else if 第 i 件物品属于多重背包 MultiplePack(c[i],w[i],n[i]) 在最初写出这三个过程的时候,可能完全没有想到它们会在这里混合应用。我想这体现 了编程中抽象的威力。如果你一直就是以这种“抽象出过程”的方式写每一类背包问题的, 也非常清楚它们的实现中细微的不同, 那么在遇到混合三种背包问题的题目时, 一定能很快 想到上面简洁的解法,对吗? 小结 有人说,困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论,但 它在本讲中已经得到了充分的体现。本来 01 背包、完全背包、多重背包都不是什么难题, 但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎 实,领会三种基本背包问题的思想,就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。

P07: 有依赖的背包问题
简化的问题 这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说,i 依赖于 j,表示若选物品 i,则必须选物品 j。为了简化起见,我们先设没有某个物品既依赖于别的物品,又被别的 物品所依赖;另外,没有某件物品同时依赖多件物品。
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算法 这个问题由 NOIP2006 金明的预算方案一题扩展而来。 遵从该题的提法, 将不依赖于别的 物品的物品称为“主件”, 依赖于某主件的物品称为“附件”。 由这个问题的简化条件可知 所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。 按照背包问题的一般思路,仅考虑一个主件和它的附件集合。可是,可用的策略非常多, 包括:一个也不选,仅选择主件,选择主件后再选择一个附件,选择主件后再选择两个附 件??无法用状态转移方程来表示如此多的策略。 (事实上, 设有 n 个附件, 则策略有 2^n+1 个,为指数级。) 考虑到所有这些策略都是互斥的(也就是说,你只能选择一种策略),所以一个主件和 它的附件集合实际上对应于 P06 中的一个物品组, 每个选择了主件又选择了若干个附件的策 略对应于这个物品组中的一个物品, 其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。 但仅仅 是这一步转化并不能给出一个好的算法,因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。 再考虑 P06 中的一句话:可以对每组中的物品应用 P02 中“一个简单有效的优化”。这 提示我们,对于一个物品组中的物品,所有费用相同的物品只留一个价值最大的,不影响结 果。 所以, 我们可以对主件 i 的“附件集合”先进行一次 01 背包, 得到费用依次为 0..V-c[i] 所有这些值时相应的最大价值 f'[0..V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于 V-c[i]+1 个物品的物品组, 其中费用为 c[i]+k 的物品的价值为 f'[k]+w[i]。 也就是说原来 指数级的策略中有很多策略都是冗余的,通过一次 01 背包后,将主件 i 转化为 V-c[i]+1 个物品的物品组,就可以直接应用 P06 的算法解决问题了。 较一般的问题 更一般的问题是:依赖关系以图论中“森林”的形式给出(森林即多叉树的集合),也 就是说, 主件的附件仍然可以具有自己的附件集合, 限制只是每个物品最多只依赖于一个物 品(只有一个主件)且不出现循环依赖。 解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。 唯一不同的是, 由于附件可能还有附件,就不能将每个附件都看作一个一般的 01 背包中的物品了。若这个 附件也有附件集合, 则它必定要被先转化为物品组, 然后用分组的背包问题解出主件及其附 件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。 事实上,这是一种树形 DP,其特点是每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次 DP 以求得自己的相关属性。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完 P08 后,你会发现 这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品, 求某节点为根的子树对应的泛化物 品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。 小结 NOIP2006 的那道背包问题我做得很失败,写了上百行的代码,却一分未得。后来我通过 思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解, 还可以解决它的推 广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系:物品不能既作主件又作附件,每 个主件最多有两个附件, 可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物 品组,这便揭示了问题的某种本质。

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我想说:失败不是什么丢人的事情,从失败中全无收获才是。

P08: 泛化物品
定义 考虑这样一种物品,它并没有固定的费用和价值,而是它的价值随着你分配给它的费用 而变化。这就是泛化物品的概念。 更严格的定义之。 在背包容量为 V 的背包问题中, 泛化物品是一个定义域为 0..V 中的整 数的函数 h,当分配给它的费用为 v 时,能得到的价值就是 h(v)。 这个定义有一点点抽象, 另一种理解是一个泛化物品就是一个数组 h[0..V], 给它费用 v, 可得到价值 h[V]。 一个费用为 c 价值为 w 的物品,如果它是 01 背包中的物品,那么把它看成泛化物品,它 就是除了 h(c)=w 其它函数值都为 0 的一个函数。如果它是完全背包中的物品,那么它可以 看成这样一个函数,仅当 v 被 c 整除时有 h(v)=v/c*w,其它函数值均为 0。如果它是多重背 包中重复次数最多为 n 的物品,那么它对应的泛化物品的函数有 h(v)=v/c*w 仅当 v 被 c 整 除且 v/c<=n,其它情况函数值均为 0。 一个物品组可以看作一个泛化物品 h。对于一个 0..V 中的 v,若物品组中不存在费用为 v 的的物品,则 h(v)=0,否则 h(v)为所有费用为 v 的物品的最大价值。P07 中每个主件及其 附件集合等价于一个物品组,自然也可看作一个泛化物品。 泛化物品的和 如果面对两个泛化物品 h 和 l,要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值, 怎么求呢?事实上,对于一个给定的费用 v,只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品 就可以了。同样的,对于 0..V 的每一个整数 v,可以求得费用 v 分配到 h 和 l 中的最大价 值 f(v)。也即 f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v} 可以看到,f 也是一个由泛化物品 h 和 l 决定的定义域为 0..V 的函数,也就是说,f 是 一个由泛化物品 h 和 l 决定的泛化物品。 由此可以定义泛化物品的和:h、l 都是泛化物品,若泛化物品 f 满足以上关系式,则称 f 是 h 与 l 的和。这个运算的时间复杂度取决于背包的容量,是 O(V^2)。 泛化物品的定义表明:在一个背包问题中,若将两个泛化物品代以它们的和,不影响问 题的答案。事实上,对于其中的物品都是泛化物品的背包问题,求它的答案的过程也就是求 所有这些泛化物品之和的过程。设此和为 s,则答案就是 s[0..V]中的最大值。 背包问题的泛化物品

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一个背包问题中,可能会给出很多条件,包括每种物品的费用、价值等属性,物品之间 的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说,给定了所有条件 以后,就可以对每个非负整数 v 求得:若背包容量为 v,将物品装入背包可得到的最大价值 是多少, 这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。 这个泛化物品——或者说问题 所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。 一般而 言,求得这个泛化物品的一个子域(例如 0..V)的值之后,就可以根据这个函数的取值得 到背包问题的最终答案。 综上所述,一般而言,求解背包问题,即求解这个问题所对应的一个函数,即该问题的 泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。 小结 本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说,是我在学习函数式编程的 Scheme 语言 时,用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象,也许在“模型的 抽象程度”这一方面已经超出了 NOIP 的要求,所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的 OI 之路逐渐延伸,有一天你会理解的。 我想说:“思考”是一个 OIer 最重要的品质。简单的问题,深入思考以后,也能发现 更多。

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