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高考数学圆锥曲线常考知识点讲义


★轨迹问题 8、 (2010 重庆理数) (10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直 线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 离心率取值范围问题 (含 普通取值范围问题)

9、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP a 2 b2
2? ? 2 ?

的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 (A) ? ? 0,
? ?

(B) ? 0, ? ? 2?

? 1?

(C) ? ? 2 ?1,1?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

10、若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??)

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点, 2 a

) C. [-

B. [3 ? 2 3, ??)

7 , ?? ) 4

D. [ , ??)

7 4

11、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且它们在第一象限 的交点为 P,?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,双曲线的离心率的取值范围为 (1, 2) .则该椭圆 的离心率的取值范围是 12、已知双曲线 x ?
2

.

y2 ? 1的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 , P 为双曲线右支上一点,则 PA1 ? PF2 的最小值为 3 x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 A , B 两点, a2 b2


___________. 13、直线 x ? t 过双曲线

若原点在以 AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 面积公式的考查

2 2 P F2 = 60 0 ,则 | PF1 | | PF2 |? 14、已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1

(A)2

(B)4

(C) 6

(D) 8
2 2
0

15、 (9)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1 P F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距 离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

★中点弦问题

1

16、已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为 ___________.

17、已知椭圆 ? 的方程为 (1)若点 M 满足 AM ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、 B(0, ?b) 和 Q(a, 0) 为 ? 的三个顶点. a 2 b2
1 ( AQ ? AB ) ,求点 M 的坐标; 2

(2)设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 ? ? 为 CD 的中点;

b2 ,证明: E a2

(3)设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上,如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ,使得 l 与椭圆 ? 的两个交点 P1 、 P 2

a ? 10 , b ? 5 ,点 P 的坐标是(-8,-1) 满足 PP ,若椭圆 ? 上的点 P1 、 1 ? PP 2 ? PQ PP 1 ? PP 2 ? PQ ?令

P2 满足 PP 1、P 2 的坐标. 1 ? PP 2 ? PQ ,求点 P

与圆综合问题

18、己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: (Ⅰ)求 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、 D 两点, 且 BD 的中点为 M ?1,3? . a 2 b2

(Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

角平分线问题

2

19、椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对称轴为坐标轴, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F 1 AF 2 的角平分线所在直线的方程。

1 。 2

20、 (21)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对 称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

圆锥曲线专题测试题
一、填空题(共 14 小题,每题 5 分,计 70 分) 1. 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆” ,则黄金椭圆的离心率为 2.中心在原点,焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 y =
2 2



2 x ,其离心率是

3 .已知双曲线 ____________

x y = 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ^ x 轴,则 F1 到直线 F2 M 的距离为 6 3
2

4.抛物线 y = 4 x 的焦点坐标为 5. 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

____________

x2 + y 2 = 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 3
3

边上,则△ABC 的周长是
2 2

____________

6. 椭 圆

x y + = 1 的 焦 点 F1 、 F2 , P 为 椭 圆 上 的 一 点 , 已 知 PF1 ^ PF2 , 则 △ F1 PF2 的 面 积 为 25 9

____________ 7.已知抛物线 y 2 = 4 x ,一定点 A(3,1) ,F 是抛物线的焦点,点 P 是抛物线上一点, |AP|+|PF|的最小值____________。 8.正四棱锥的侧棱长和底面边长都是 1,则侧棱和底面所成的角为____________。 9.以下同个关于圆锥曲线的命题中①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA | - | PB |= k ,则动点 P 的轨 迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP = 迹 为 椭 圆 ; ③ 方 程 2 x2 - 5 x+ 2 =
2 2 2

1 (OA + OB), 则动点 P 的轨 2

的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线 0 ____________。 (写出所有真命题的

x y x = 1与椭圆 + y 2 = 1 有相同的焦点.其中真命题的序号为 25 9 35
序号)

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆的充要条件是 10.方程 9 ? k k ?1
11.在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程



x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率 m2 n2

是 . 12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m(km) , 远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为 R(km) ,关于这个椭圆有以下四种说法:①焦距长为 n ? m ;②短半 轴长为 (m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ?

n?m ;其中正确的序号为______ m ? n ? 2R


__.

13.以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内的点 M (1,1) 为中点的弦所在直线方程为 16 4
2

y2 ? 1 的 左 、 右 焦 点 . 若 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 PF 14 . 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线 x ? 1 ? PF 2 ?0 ,则 9
PF1 ? PF2 ?


二、解答题(6 大题共 90 分,要求有必要的文字说明和步骤) 15.点 A、B 分别是椭圆

上方, PA ? PF .求点 P 的坐标; .

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴 36 20

16. (1) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. (2) 已知双曲线与椭圆 5 9 25
17.已知抛物线 C: y=-

1 2 x +6, 点 P(2, 4) 、A、B 在抛物线上, 且直线 PA、PB 的倾斜角互补. 2
4

(Ⅰ)证明:直线 AB 的斜率为定值;

(Ⅱ)当直线 AB 在 y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直 a2 b2 4 线 l 的距离之和 s≥ c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 5
18. 双曲线 19.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线 准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.。 (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN ? FA ,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K (m,0) 是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

20. 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a 2 b2

4 14 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方 程.

5

高三数学圆锥曲线测试答案
1.

2 2

2.

3或

6 2
°

3.

6 5

4.

(0,

1 ) 16

5.

4 3

6. 9

7. 4

8. 45

9.③④

10. 1 ? k ? 9(k ? 5)

11.

1 2

12.① ② ③

13. x ? 4 y ? 5 ? 0

14. 2 10

15. 解:由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2 16 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:
由于 y ? 0, 只能 x ?

? x2 2 ? ? y ?1 2 ?9 x ? y2 ? 1 ? y ? x?2 2 9 .联立方程组 ? ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . x ? x2 18 9 x ,y x ,y x,y ?? 设 A( 1 1 ),B( 2 2 ),AB 线段中点为 M( 0 0 )那么: x1 ? x2 ? ? , x0 ? 1 5 2 5 1 所以 y 0 =x 0 +2= 5 9 1 也就是说线段 AB 中点坐标为 ( ? , ) 5 5 4 (2)解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 5 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2,
从而 c=4,a=2,b=2 3 .

y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12 .
(17) (Ⅰ)证: 易知点 P 在抛物线 C 上, 设 PA 的斜率为 k, 则直线 PA 的方程是 y-4=k(x-2). 代入 y=-

1 2 x +6 并整理得 x2+2kx-4(k+1)=0 此时方程应有根 xA 及 2, 2
6

由韦达定理得:

2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4). 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补, 故 PB 的斜率为-k. 同理可得 B(-2(-k+1), -k2+4k+4) ∴kAB=2. (Ⅱ) ∵AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=-

1 2 1 x +6 消去 y 得 x2+2x+b-6=0. 2 2

1 ? 2 2) [4 ? ( 2 b ? 6) ] ? 2 5(16 ? 2b) . |AB|=2 (
∴S=

1 1 b |AB|d= · 2 ( 5 16 ? 2b) ? 2 2 5

16 ? 2b ? b ? b 3 64 3 . (16 ? 2b) ? b ? b ? ( ) ? 3 9 16 此时方程为 y=2x+ . 3
(18) 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1, 得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1)
2 2

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = s= d1 +d2=

a ?b b(a ? 1) a2 ? b2

.

.

ab

a2 ? b2 4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 5 c
于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.

=

2ab . c

5 ≤e2≤5.由于 e>1>0, 4 5 所以 e 的取值范围是 ?e? 5 2
解不等式,得 (19) 解: (1)抛物线 y ? 2 px的准线为 x ? ?
2

p p , 于是 4 ? ? 5,? p ? 2. 2 2

∴抛物线方程为 y2= 4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4) , 由题意得 B(0,4) ,M(0,2) , 又∵F(1,0) , ∴ k FA ? 则 FA 的方程为 y=

4 3 ; MN ? FA,? k MN ? ? , 3 4

4 3 (x-1) ,MN 的方程为 y ? 2 ? ? x. 3 4

8 4 ? ? x? y ? ( x ? 1) ? ? ? ? 5 3 , 得? 解方程组 ? ?y ? 2 ? ? 3 x ?y ? 4 ? ? 5 4 ? ?

8 4 ? N ( , ). 5 5

(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y ?

4 ( x ? m), 4?m
7

即为 4 x ? (4 ? m) y ? 4m ? 0,

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d ?

| 2m ? 8 | 16 ? (m ? 4) 2

,令 d ? 2, 解得m ? 1

?当m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相离;
当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相交. 20 解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b2=a -c2=4,
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2). 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
8 , 9 8 ( x ? 2) ? 1, 9

解得 k ?

所以直线 l 的方程为 y ?

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4
由①-②得

2

2



x2 y ? 2 ? 1, ② 9 4


2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 = , 9 x1 ? x2

8

即直线 l 的斜率为

8 , 9 8 (x+2) , 9

所以直线 l 的方程为 y-1=

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意.)

9


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