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2009届高三数学第二轮专题复习教案:立体几何


2009 届高三数学二轮专题复习教案――立体几何 一、本章知识结构:

二、重点知识回顾 1、空间几何体的结构特征 (1)棱柱、棱锥、棱台和多面体 棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体:①有两个面互相平行;②其余各面都是四边 形;③每相邻两个四边形的公共边都互相平行;棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、 五棱柱等.棱柱性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形

,所有的侧棱都相等; ②棱柱的两 个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 棱锥是由一个底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体.棱锥具 有以下性质:①底面是多边形;②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形;③平行于底面的 截面和底面是相似多边形,相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比.截面面积和 底面面积的比等于上述相似比的平方.

棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.由棱台定义可知,所 有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥. 多面体是由若干个多边形围成的几何体.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球 分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半 圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱、圆锥和圆台的性质主要有:①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面(轴截面)分 别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形;③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆 柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 2、空间几何体的侧面积、表面积 (1)棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积,棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面 面积的和. 因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形,所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别 为长和宽的矩形.如果设直棱柱底面周长为 c ,高为 h ,则侧面积 若长方体的长、宽、高分别是 a、b、c,则其表面积

S侧 ? ch

. .

S表 ? 2(ab ? bc ? ca)

(2)圆柱的侧面展开图是一个矩形.矩形的宽是圆柱母线的长,矩形的长为圆柱底面周 长.如果设圆柱母线的长为 l ,底面半径为 r,那么圆柱的侧面积 面积

S侧 ? 2πrl

,此时圆柱底面

S底 ? πr 2

.所以圆柱的表面积

S ? S侧 ? 2S底 ? 2πrl ? 2πr 2 ? 2πr (r ? l )



(3)圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形.如果设圆锥底面半径为 r,母线长为 l , 则侧面积

S侧 ? πrl

,那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成,即为 .

S ? S侧 ? S底 ? πrl ? πr 2 ? πr (r ? l )

(4)正棱锥的侧面展开图是 n 个全等的等腰三角形.如果正棱锥的周长为 c ,斜高为 h? ,

则它的侧面积

S侧 ?

1 ch? 2 .

(5) 正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和. 如果设正棱台的上、 下底面的周长是 c,c? ,

斜高是 h? ,那么它的侧面积是

S侧 ?

1 ch? 2 .

(6)圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径,圆锥与圆台的母线之差为 小圆半径的一个扇环.如果设圆台的上、下底面半径分别为 r ?,r ,母线长为 l ,那么它的侧 面积是

S侧 ? π(r ? ? r )l



圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和, 即

S ? S侧 ? S上底 ? S下底 ? π(r ? ? r )l ? πr ?2 ? πr 2 ? π(r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )



(7)球的表面积 S ? 4πR ,即球的表面积等于其大圆面积的四倍.
2

3、空间几何体的体积 (1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 面半径是 r ,高是 h 的圆柱的体积是

V柱体 ? Sh

.其中底

V圆柱 ? πr 2 h



1 V锥体 ? Sh 3 . (2) 如果一个锥体 (棱锥、 圆锥) 的底面积是 S , 高是 h , 那么它的体积是 其 1 V圆锥 ? πr 2 h 3 中底面半径是 r ,高是 h 的圆锥的体积是 ,就是说,锥体的体积是与其同底等 1 高柱体体积的 3 .
(3)如果台体(棱台、圆台)的上、下底面积分别是 S,S ? ,高是 h ,那么它的体积是

1 V台体 ? ( S ? S ?S ? S )h 3 . 其 中 上 、 下 底 半 径 分 别 是 r,R , 高 是 h 的 圆 台 的 体 积 是 1 V圆台 ? π(r 2 ? Rr ? R 2 )h 3 .
(4)球的体积公式: 4、中心投影和平行投影 (1)中心投影:投射线均通过投影中心的投影。 (2)平行投影:投射线相互平行的投影。 (3)三视图的位置关系与投影规律 三视图的位置关系为:俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方. 三视图之间的投影规律为: 主、俯视图———长对正;主、左视图———高平齐;俯、左视图———宽相等. 5、直观图画法 斜二测画法的规则: (1)在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴交于 O 点,再取 z 轴,使 ?xOz ? 90° ,且
V? 4 3 ?R 3 .

?yOz ? 90° .

? ( 2 ) 画 直 观 图 时 把 它 们 画 成 对 应 的 x? 轴 、 y 轴 和 z ? 轴 , 它 们 相 交 于 O? , 并 使
?x? O? y?? 45° ?x?O?z? ? 90° , 。
(3)已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x? 轴、 y

?

轴和 z ? 轴的线段. (4)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度相等;平行于 y 轴的线段, 长度取一半. 6.平面 (1)对平面的理解 平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念. 立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型,平面是无大小、厚薄之分的.类似 于我们以前学的直线,它可以无限延伸,它是不可度量的. (2)对公理的剖析 (1)公理 1 的内容反映了直线与平面的位置关系,公理 1 的条件“线上不重合的两点在平面 内”是公理的必要条件,结论是“线上所有点都在面内” .这个结论阐述了两个观点:一是整 条直线在平面内;二是直线上所有点在平面内. 其作用是:可判定直线是否在平面内、点是否在平面内. (2)公理 2 中的“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形存在, “只有 一个”是说图形唯一,确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性 和唯一性这两方面.这个术语今后也会常常出现,要理解好. 其作用是:一是确定平面;二是证明点、线共面. (3)公理 3 的内容反映了平面与平面的位置关系,它的条件简而言之是“两面共一点” ,结论 是“两面共一线,且过这一点,线唯一” .对于本公理应强调对于不重合的两个平面,只要它 们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线. 其作用是:其一它是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以判 定这两个平面必相交于过这点的一条直线;其二它可以判定点在直线上,点是两个平面的公 共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上. 7. 空间直线. (1)空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点;平行直 线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内。 (2)异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异 面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (3)平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (4)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 相等 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直 角)相等. 8. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1)空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2)直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行.( “线线平行,线面平行” ) (3)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行.( “线面平行,线线平行” ) (4)直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平 面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 直线与平面垂直判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直。 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 9. 平面平行与平面垂直.

(1)空间两个平面的位置关系:相交、平行. (2)平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个 平面平行.( “线面平行,面面平行” ) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. (3)两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平 行.( “面面平行,线线平行” ) (4)两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于 这个平面.( “线面垂直,面面垂直” ) (5)两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 也垂直于另一个平面. 10. 空间向量. (1)a.共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯 一的有序实数组 x、y、z,使 p ? x a ? yb ? z c . 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一 的有序实数组 x、y、z 使
OP ? xOA ? yOB ? zOC
O B

(这里隐含 x+y+z≠1).

D A C

(3)a.空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) , y 轴是纵轴(对应为纵轴) 轴是竖轴(对应为竖坐标). ,z ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

, ? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R) , a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ,
? a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3 。

a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R )
a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

。 (用到常用的向量模与向量之间的转化:

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3 a 2 ? a?a ? a ? a?a

2

)
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b | a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3
2 2 2 2 2 a1 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3

空间两个向量的夹角公式 (a=

(a1 , a2 , a3 )

,b=

(b1 , b2 , b3 )

) 。 .

②空间两点的距离公式:

d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

b.法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如果
a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量.

c.用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理: 如图, n 是平面 ? 的法向量, 是平面 ? 的一条射线, 设 AB
| AB? n |

其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为

|n|

.

??? ?? ? ? | CD ? n | ? d? ? | n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 ②.异面直线间的距离
上任一点, d 为

l1 , l2

间的距离).

??? ?? ? ? | AB ? n | ? d? ? | n | ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, B 到平面 ? 的距离 ③.点

A ?? ).
??? ?? ? AB ? m ? ? ? arc sin ??? ?? ?? | AB || m | ( m 为平面 ? 的法向量). ④直线 AB 与平面所成角
⑤利用法向量求二面角的平面角定理:设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补角,n 1 , n 2 反方,则为其夹角).

?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? ? ? arc cos ?? ? ?? ? | m || n | 或 | m || n | ( m ,n 为平面 ? ,? 的 二面角 ? ? l ? ? 的平面角
法向量). 三、考点剖析 考点一:空间几何体的结构、三视图、直观图 【内容解读】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现 实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图,能识别上述三视图所表示的 立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单 空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直 观图。 空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力,能通过观察几何体 的模型和实物,总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征;能识别三视图所表示的空间几 何体,会用材料制作模型,培养动手能力。 【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过,而三视图为 新增内容,一般情况下,新增内容会重点考查,从 2007 年、2008 年广东、山东、海南的高考 题来看,三视图是出题的热点,题型多以选择题、填空题为主,也有出现在解答题里,如 2007 年广东高考就出现在解答题里,属中等偏易题。

, 例1、 (2008 广东) 将正三棱柱截去三个角 (如图 1 所示 A B,C 分别是 △GHI 三边的中点)
得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

H B

A I C

G 侧视 B

A C B B B B

E F 图1

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

解:在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A 点评:本题主要考查三视图中的左视图,要有一定的空间想象能力。 例 2、 (2008 江苏模拟)由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示,则该几何 体中正方体木块的个数是 .

主视图

左视图

解: 以俯视图为主, 因为主视图左边有两层, 表示俯视图中左边最多有两个木块, 再看左视图,可得木块数如右图所示,因此这个几何体的正方体木块数的个数为 5 个。 俯视图 点评:从三视图到确定几何体,应根据主视图和俯视图情况分析,再结合左视图 的情况定出几何体,最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。 考点二:空间几何体的表面积和体积 【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法,了解它们的侧面展开图, 及其对计算侧面积的作用,会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方 法。 把握平面图形与立体图形间的相互转化方法,并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问 题。 【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主,按照新课标的要求,体积公式不 要求记忆,只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此,题目从难度上讲属于 中档偏易题。 例 3、 (2007 广东)已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的 射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD。

1 V ? ? ?8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3 (1)
(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为
2

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 ?2? , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,
2

AB 边上的高为

?6? h2 ? 4 2 ? ? ? ? 5 ?2?

2

因此

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

点评:在课改地区的高考题中,求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在 一起,综合考查。 例 4、 (2008 山东)右图是一个几何体的三视图,根据图 2 中数据,可得该几何体的表面积是( ) 3 A. 9π B. 10π 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 11π 12π C. D. 解:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体, 其表面及为:

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? . ,故选 D。
点评:本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征,又要 掌握基本几何体的表面积的计算方法。 例 5、 (湖北卷 3) 用与球心距离为 1 的平面去截球, 所得的截面面积为 ? , 则球的体积为 ( )

8? A. 3

8 2? 3 B.

C. 8 2?

32? D. 3

解:截面面积为 ? ? 截面圆半径为 1,又与球心距离为 1 ? 球的半径是 2 ,

4? R 3 8 2? V球 ? ? 3 3 ,故 B 为正确答案. 所以根据球的体积公式知
点评:本题考查球的一些相关概念,球的体积公式的运用。 考点三:点、线、面的位置关系 【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系,了解四个公理及其推论;空间两直线的三 种位置关系及其判定;异面直线的定义及其所成角的求法。 通过大量图形的观察、实验,实现平面图形到立体图形的飞跃,培养空间想象能力。会用平 面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。 【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系,多以选择题、填空题为 主,难度不大。 例 6、如图 1,在空间四边形 ABCD 中,点 E、H 分别是边 AB、

CF CG 2 AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且 CB = CD = 3 ,
则( ) (A)EF 与 GH 互相平行 (B)EF 与 GH 异面 (C)EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC

图1

上 (D)EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 解:依题意,可得 EH∥BD,FG∥BD,故 EH∥FG,由公理 2 可知,E、F、G、H 共面,因

1 FG 2 为 EH= 2 BD, BD = 3 ,故 EH≠FG,所以,EFGH 是梯形,EF 与 GH 必相交,设交点为
M,因为点 M 在 EF 上,故点 M 在平面 ACB 上,同理,点 M 在平面 ACD 上,即点 M 是平 面 ACB 与平面 ACD 的交点,而 AC 是这两个平面的交线,由公理 3 可知,点 M 一定在平面 ACB 与平面 ACD 的交线 AC 上。 选(D) 。 点评:本题主要考查公理 2 和公理 3 的应用,证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共 线的问题是立体几何中的一个难点。 例 7、 (2008 全国二 10)已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中 点,则 AE,SD 所成的角的余弦值为( )

1 A. 3

2 B. 3

3 C. 3

2 D. 3

解: 连接 AC、 交于 O, BD 连接 OE, OE∥SD.所以∠AEO 为异面直线 SD 与 AE 所成的角。 因 设侧棱长与底面边长都等于 2,则在⊿AEO 中,OE=1,AO= 2 ,AE= 2 ? 1 ?
2

3,

cos ?AEO ?
于是

( 3 ) 2 ? 12 ? ( 2 ) 2 2 ? 3 ?1

?

1 3

?

3 3 ,故选 C。

点评:求异面直线所成的角,一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形,再用 三角函数的方法或正、余弦定理求解。 考点四:直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理,能用判定定理证明 线面平行、面面平行,会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。 通过线面平行、面面平行的证明,培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推 理的能力。 【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质,多以选择题和解答题形式出现,解答 题中多以证明线面平行、面面平行为主,属中档题。 例 8、 (2008 安徽)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面

ABCD 四 边 长 为 1 的 菱 形 ,

?ABC ?

?
4 ,

O M A B N C D

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的 中 点 , N 为

BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小;

(Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 方法一: (1)证明:取 OB 中点 E,连接 ME,NE

? ME‖AB,AB‖ CD, ME‖ CD ?
又? NE‖ OC,? 平面MNE‖ 平面OCD

? MN‖ 平面OCD
(2)? CD‖AB,

∴?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
作 AP ? CD于P, 连接 MP

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

?
4

,∴DP =

2 2

MD ? MA ? AD ? 2 ,
2 2

∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3
∴ (3)∵ AB‖ 平面OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作
AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵ OP ? OD 2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 ? AP ? DP ? 2 2 , 2

2 OA?AP 2 ?2 ∴ AQ ? ? OP 3 2 3 2 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 2?
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,

2 2 2 2 2 , 0), D( ? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) 2 2 2 4 4 ,

???? ? ??? ? ???? 2 2 2 2 2 MN ? (1 ? , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2 (1)
??? ? ???? OP OD n ? ( x, y, z ) ,则 n? ? 0, n? ? 0 设平面 OCD 的法向量为

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 即 ? 2
取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2)

z O

M

???? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, 4 4

A x B N CP

D y

? MN‖ 平面OCD
??? ? ???? ? 2 2 ∵ AB ? (1, 0, 0), MD ? (? , , ?1) 2 2 (2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,

??? ???? ? ? AB?MD 1 ? ∴ c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 AB ? MD 2

? , AB 与 MD 所成角的大小为 3
??? ?

(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,

d? ??? ? OB ? (1, 0, ?2) , 得 由

??? ? OB ? n n

?

2 3

2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3

点评:线面平行的证明、异面直线所成的角,点到直线的距离,既可以用综合方法求解,也 可以用向量方法求解,后者较简便,但新课标地区文科没学空间向量。 例 9、 (2008 江苏模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求证: GN ? AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP//平面 FMC,并给出证明.

证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN 又 FD⊥AD FD⊥CD, ?FD⊥面 ABCD ?FD⊥AC

?AC⊥面 FDN GN ? 面FDN

?GN⊥AC
(2)点 P 在 A 点处 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ?G 是 DF 的中点,?GS//FC,AS//CM ?面 GSA//面 FMC 即 GP//面 FMC 点评:证明线面平行,在平面内找一条直线与平面外的直线平行,是证明线面平行的关键。 考点五:直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理,能用判定定理证明 线线垂直、线面垂直、面面垂直,会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。 通过线面垂直、面面垂直的证明,培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推 理的能力。 【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质,多以选择题和解答题形式出现,解答 题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主,属中档题。 例 10、 (2008 广东五校联考)正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点,求证: (1)D1O//平面 A1BC1; (2)D1O⊥平面 MAC. 证明: (1)连结

?GA//面 FMC

GA ? 面GSA

BD, B1D1

分别交

AC , A1C1



O , O1 BB1 D1 D
为矩形

在正方体

ABCD ? A1 B1C1D1

中,对角面

? O , O1

分别是

BD, B1D1

的中点

? BO // D1O1

? 四边形 BO1 D1O 为平行四边形? BO1//D1O

? D1O ?

平面

A1 BC1 BO1 ?
,

平面

A1 BC1 ? D1O //

平面

A1 BC1

(2)连结 MO ,设正方体 在正方体

ABCD ? A1 B1C1D1
中,对角面

的棱长为 a , 为矩形且

ABCD ? A1 B1C1D1

BB1 D1 D

BB1 ? a, BD ? 2a

? O , M 分别是 BD, BB1 的中点
? BM ? a 2 , BO ? OD ? a 2 2
? BM BO 2 ? ? OD D1 D 2

Rt?MBO ? Rt?O D D ??BOM ? ?DD1O 1
? ?在 Rt?ODD1 中,?DD1O ? ?D1OD ? 90

??BOM ? ?D1OD ? 90?

, 即

DO ? O M 1

在正方体

ABCD ? A1 B1C1D1
平面 ABCD



? DD1 ?

?D D ? A C 1

又? AC ? BD ,

DD1 ? BD ? D

? AC ? 平面 BB1 D1 D

? D1O ?

平面

BB1 D1 D

? A C? D O 1
平面 MAC

又 AC ? MO ? O

? D1O ?

点评:证明线面垂直,关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直,由线线垂直推出 线面垂直,证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理. 例 11、 (2008 广东中山模拟)如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是 直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E 为 PC 中点. (I) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (II) 求证:BE//平面 PAD.
CD ? AD( 已知) ? ? PA ? CD ? ? PA ? AD ? A ? ?

P E D A C

证明: (1)由 PA ? 平面 ABCD
CD ? 面PAD ? ? ? CD ? 面PAD?

B

? 平面 PDC ? 平面 PAD;
(2)取 PD 中点为 F,连结 EF、AF,由 E 为 PC 中点, 得 EF 为△PDC 的中位线,则 EF//CD,CD=2EF. 又 CD=2AB,则 EF=AB.由 AB//CD,则 EF∥AB. 所以四边形 ABEF 为平行四边形,则 EF//AF. 由 AF ? 面 PAD,则 EF//面 PAD.

P F D A E C

B

点评:证明面面垂直,先证明线面垂直,要证线面垂直,先证明线线垂直. 例 12、 (2008 广东深圳模拟)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SA ? 底面 ABCD ,

E 是 SC 上一点.
(1)求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; (2)设 SA ? 4 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 SBD 的距离; (1)证明:? SA ? 底面 ABCD 且 BD ? AC

? SA ? BD

S

? BD ? 平面S A C
E A D C

?平面 EBD ? 平面 SAC
VA-SBD ? VS-ABD

(2)解:因为

,且

S ?SBD

1 ? ?2 2 ?3 2 2 ,

B

4 可求得点 A 到平面 SBD 的距离为 3
点评:求点到面的距离,经常采用等体积法,利用同一个几何体,体积相等,体现了转化思 想. 考点六:空间向量 【内容解读】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,建立立体图形与空间向量的联系, 从而把立体几何问题转化为向量问题(几何问题向量化) ; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有 等问题(进行向量运算) ; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义(回归几何问题) .

【 命 间向量的问题一般出现在立体几何的解答题中,难度为中等偏难. 例13、如图 1,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB ? 1 ,
?BCA ? 90°,棱 AA1 ? 2,M,N 分别是 A1 B1,A1 A 的中点.
???? 求 BN 的长;

题规律】 空



???? ???? cos BA1, 1 CB

的值.

解:如图 1,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1)依题意,
???? 2 2 2 B(0,0) N (1 0, ,∴ BN ? (1 ? 0) ? (0 ? 1) ? (1 ? 0) ? 3 . 1 ,, ,1) 得

, 2) 1 ,, 0,, 1 , (2)依题意,得 A1 (1 0,,B(0,0) C(0, 0) B1 (0,2) ,
???? ???? ∴ BA1 ? (1 ? 1 2) CB1 ? (0,2) . , ,, 1 ,
???? ???? ???? ???? ∴ BA1 CB1 ? 3, 1 ? 6, 1 ? 5 · BA CB



???? ???? ???? ???? BA1 CB1 · 30 ∴ cos BA1, 1 ? ???? ???? ? CB 10 BA1 CB1



点评:本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识,考查了空间两向量的夹角、 长度的计算公式.解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标 例14、如图 2,在四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上一 点, PE ? EC .已知
PD ? 2,CD ? 2,AE ? 1 2 .求:

异面直线 PD 与 EC 的距离; 二面角 E ? PC ? D 的大小.

, 解:以 D 为坐标原点, DA DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,
? 1 ? A(a, 0) B(a, 0) C (0, 0) D(0, 0) P(0, 2),E ? a,,? 0,, 2,, 2,, 0,, 0, 0 ? 2 ?. 并设 DA ? a ,则

3 ??? ??? ? ? a? · ∵ PE ? CE ,∴ PE CE ? 0 ,解得 2 . (1)
? ? ? ? ? ? ?? ∴ D · C?E ,即 DE ? CE , E 0

又 DE ? PD ,故 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线. 而
???? DE ? 1

,即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1.

(2)作 DG ? PC ,并设 G(0,y,z) ,
? ? ? ? ∵ D G ( , , ,z ? 0 y ) ? ? ?? ???? ??? ? P , 0 ?2 ,且2 )· PC ? 0 , ? C, ( DG

???? z ? 2 y ,∴ 可取 DG ? (0, 2) . 1 , 则

再作 EF ? PC 于 F ,并设 F (0,m,n) ,
??? ? ? ? 3 1 2 ∵ EF ? ? ? ,m ? ,n ? ??? ??? ? ? n ? 2m ? ? 2 ? 2 ? ? ,且 EF PC ? 0 ,则 · 2 ,
??? ? ? 3 1 2? EF ? ? ? , , ? ? 2 2 2 ? ? ?. ∴ 又取

???? ??? ? 由 DG ? PC , EF ? PC ,可知 DG 与 EF 的夹角就是所求二面角 ? 的大小, ???? ??? ? D · E F 2 G ∴ c o? s? ???? ??? ? ? π D G E F2 ,即所求二面角为 4 .

点评:向量法求二面角是一种独特的方法,因为它不但是传统方法的有力补充,而且还可以 另辟溪径,解决传统方法难以解决的求二面角问题.向量法求二面角通常有以下三种转化方 ??? ??? ? ? OA OB · arccos ??? ??? ? ? OA OB 式:①先作、证二面角的平面角 ?AOB ,再求得二面角的大小为 ;②先求二面 角两个半平面的法向量 n1,n2 (注意法向量的方向要分布在二面角的内外) ,再求得二面角的
arccos n1 n2 · n1 n2

大小为

或其补角;③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线(垂足不重合) ,

又可转化为求两条异面直线的夹角. 例15、 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 , D 是 AC 的中点,求证: AB1 ∥平面 DBC1 .

证明:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .设正三棱柱的底面边长为 a ,侧棱长为 b ,

? 3 a ? ? 3 a ? ? a ? A(0, 0) B ? 0,, ? a, ,?,B1 ? 0? 0 ? 2 a, ,b ?,C1 (0,a,b),D ? 0, ,? ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? 则 ,
???? ? 3 a ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? a 3 ? ∴ AB1 ? ? a, ,b ? BD ? ? ? a, 0 ?, 1 ? ? 0, ,b ? 0,? DC ? 2 ? ? 2 2 ? 2 ? ? ?, ? ? .

设平面 DBC1 的一个法向量为 n ? ( x,y,z) ,
? ? ??? 3 · ax ? 0, ?n BD ? ? ? x ? 0, ? 2 ? ? ???? ? a ? ?n DC ? a y ? bz ? 0, · 1 ? z ? ? 2b y. ? 2 则? 所以 ?
2 ? 不妨令 y ? 2b ,则 n ? (0,b, a) .
???? ? ???? ? AB1 n ? ab ? ab ? 0 ,得 AB1 ? n . · 由于

又 AB1 ? 平面 DBC1 ,∴ AB1 ∥平面 DBC1 . 点评:平面的法向量是空间向量的一个重要概念,它在解决立体几何的许多问题中都有很好 的应用. 四、方法总结与 2009 年高考预测 (一)方法总结 1.位置关系: (1)两条异面直线相互垂直 证明方法:①证明两条异面直线所成角为 90? ;②证明线面垂直,得到线线垂直;③证明两 条异面直线的方向量相互垂直。 (2)直线和平面相互平行 证明方法:①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;②证明这条直线的方向量和这个 平面内的一个向量相互平行;③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 (3)直线和平面垂直 证明方法:①证明直线和平面内两条相交直线都垂直,②证明直线的方向量与这个平面内不 共线的两个向量都垂直;③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 (4)平面和平面相互垂直 证明方法:①证明这两个平面所成二面角的平面角为 90? ;②证明一个平面内的一条直线垂直 于另外一个平面;③证明两个平面的法向量相互垂直。 2.求距离: 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面 的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 (1)两条异面直线的距离 求法:利用公式法。 (2)点到平面的距离 求法:①“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。 3.求角 (1)两条异面直线所成的角 求法:①先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通

过解三角形去求得;②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直线所

(0, ] 2 ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的 成角得范围是
锐角。 (2)直线和平面所成的角 求法:①“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。②向量法,先求直线的方向量于平

?

?
面的法向量所成的角α ,那么所要求的角为 2

??


??

?
2。

(3)平面与平面所成的角 求法:①“一找二证三求” ,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这个角是 我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。②向量法,先求两个平面的法向量 所成的角为α ,那么这两个平面所成的二面角的平面角为α 或π -α 。 (二)2009 年高考预测 从近几年各地高考试题分析,立体几何题型一般是一个解答题,1 至 3 个填空或选择题.解答 题一般与棱柱和棱锥相关,主要考查线线关系、线面关系和面面关系,其重点是考查空间想 象能力和推理运算能力, 其解题方法一般都有二种以上, 并且一般都能用空间向量来求解.高 考试题中,立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近 几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题,都着重考查应用空间向量求异面直线所成 的角、二面角,证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。 高考对立体几何的考查侧重以下几个方面: 1.从命题形式来看,涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的 选择题型外,还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型,并且这种命题形式 正在不断完善和翻新;解答题则设计成几个小问题,此类考题往往以多面体为依托,第一小 问考查线线、线面、面面的位置关系,后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量 关系,其解题思路也都是“作——证——求”,强调作图、证明和计算相结合。 2.从内容上来看,主要是:①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质,这类试题一般 难度不大,多为选择题和填空题;②计算角的问题,试题中常见的是异面直线所成的角,直 线与平面所成的角,平面与平面所成的二面角,这类试题有一定的难度和需要一定的解题技 巧,通常要把它们转化为相交直线所成的角;③求距离,试题中常见的是点与点之间的距离, 点到直线的距离,点到平面的距离,直线与直线的距离,直线到平面的距离,要特别注意解 决此类问题的转化方法;④简单的几何体的侧面积和表面积问题,解此类问题除特殊几何体 的现成的公式外,还可将侧面展开,转化为求平面图形的面积问题;⑤体积问题,要注意解 题技巧,如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图,辨认空间几何体的三视图,三视图与表 面积、体积内容相结合。 3.从能力上来看,着重考查空间想象能力,即空间形体的观察分析和抽象的能力,要求是“四 会”:①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作出的 图形要直观、虚实分明;②会识图——根据题目给出的图形,想象出立体的形状和有关线面 的位置关系;③会析图——对图形进行必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分 进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术;考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。 五、复习建议 1、三视图是新课标新增的内容,2007、2008 年课改区的高考题都有体现,因此,三视图的内 容应重点训练。 2.证明空间线面平行与垂直,是必考题型,解题时要由已知想性质,由求证想判定,即分析 法与综合法相结合寻找证明思路.

3.空间图形中的角与距离,先根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方 法求值,注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是 0°<θ ≤90°,其方法是平移法和补形法;直线与平面所成角的范围是 0°≤θ ≤90°,其 解法是作垂线、找射影;二面角 0°≤θ ≤180°。 4.与几何体的侧面积和体积有关的计算问题,根据基本概念和公式来计算,要重视方程的思 想和割补法、等积转换法的运用 5.平面图形的翻折与空间图形的展开问题,要对照翻折(或展开)前后两个图形,分清哪些 元素的位置(或数量)关系改变了,哪些没有改变.


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