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陕西省西工大附中2014届高三下学期第十次适应性训练数学(理)试题Word版含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十次适应性训练 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
2 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? x ? 1 ? ? x ? 1? i 是纯虚数,则实数 x 的值是( A. ? 1 B. 1 C. ?1 D. 2

?

?



2.已知集合 A ? y y ? 3 , x ? 0 , B ? x y ? ln 2 x ? x
x

?

?

?

?

2

??. 则 A

B?(



A. ?1, 2 ? 是“ l ? ? ”的( A.充要条件 要条件

B. ?1, ?? ? )

C. ?2, ???

D. ?1, ?? ?

3.设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线, l 是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a ,且 l ? b ” B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必 )

4.若平面向量 b 与向量 a ? ?1, ?2 ? 的夹角为 180 ,且 b ? 3 5 ,则 b =( A. ? 3, ?6? B. ? ?3,6? C. ?8, ?4? D. ? ?4,8?

5.已知函数 f ( x) ? kx ? 1 ,其中实数 k 随机取自区间 ? ?2,1? ,则对于 ?x ???1,1? ,都有

f ( x) ? 0 恒成立的概率为(
A.

) C.

1 2

B.

2 3

3 5


D.

5 6

?y ? x 1 y ? x 6.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2 ? ( ) 的最小值是( 4 ?y ?1 ?
A.

1 1 C. D.1 4 2 ? 7.已知对于正项数列 ?an ? 满足 am ? n ? a m ?an ? m, n ? N ? ,若 a2 ? 9 ,则
B. C. 78 D. 156 8.现有 4 名学生参加某项测试,共有 4 道备选题目,若每位学生从中有放回地随机选出一 道 题进行回答,则恰有 1 道题没有被这 4 位选中的情况有( ) A. 288 种 B. 144 种 C. 72 种 D. 36 种 9. 已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? A.1
2

1 8

log3 a1 ? log3 a2 ??????? ? log3 a12 ? ( A. 40 B. 66



a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为(
C.3 D.4



B.2

10.抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,点 A, B 在此抛物线上,且 ?AFB ? 90 ,弦 AB 的 中点 M 在其准线上的射影为点 N ,则

MN AB

的最大值为(

)

A.

2 2

B.

3 2

C. 2

D. 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.已知 2 ?

2 2 ? 2? , 3 3

3 3 3 ? =3 ? , 8 8

4?

4 4 =4 ? , ??????, 15 15

若 8?

a a ? 8? ? a ? 0, t ? 0 ? ,根据以上等式,可推测 a , t 的值, t t

2

则 a ?t ? 12.

?1 ? x ? ? ?1 ? x ?


? ?1 ? x ? ? ?????? ? ?1 ? x ? 展开式中含 x 2 项的系数之和
3 6



13. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c

b ? a 14. 执行右图所示的程序框图,则输出的 S 值为
且 a sin A sin B ? b cos A ? 2a ,则
2

。 。

15.选做题(请在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题评阅记分) (A) (不等式选讲) 已知函数 f ( x) ? x ? 5 ? x ?1 , 存在实数 x , 使得 f ( x) ? ?a2 ? 2a ? 4 有 解,则实数 a 的取值范围为 。 (B) (坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 C 的方程是 ? ? 4sin ? ,过点

? ?? ? 4, ? ? 6?

作曲线 C 的切线,则切线长为



(C)(几何证明选讲)如图, CD 是圆 O 的切线,切点为 C , 点 B 在 圆 O 上, BC ? 2, ?BCD ? 30? ,则圆 O 的面积为 。

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 ) 16. (本小题 12 分) 已知 ?ABC 的面积为 3 ,且满足 2 3 ? AB ? AC ? 6 ,设 AB, AC 的夹角是 ? 。 (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2

?? ? ? ? ? ? cos 2? 的最小值。 ?4 ?

17. (本小题 12 分)

在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N? ,都有 an?1 ? 2an ? 2n 。 (Ⅰ)求证:数列 { ( n ? N? ) 。 18. (本小题 12 分) 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1, M 是 BC 边上的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN =2 C1 N (Ⅰ)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。

an } 是等差数列; (Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn?1 ? 4an 的值 2n

19. (本小题 12 分) 为培养学生良好的学习习惯, 学校对高一年级中的 110 名学生进行了有关作业量的调查, 统 计数据如下表: 认为作业多 40 20 认为作业不多 20 合计

喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计 (Ⅰ)请补充完成 2 ? 2 列联表,并根据此表判断:喜欢玩游戏与作业量是否有关? (Ⅱ) 若从喜欢玩游戏的 60 名学生中利用分层抽样的方法抽取 6 名, 再从这 6 名学生中任 取 4 名,求这 4 名学生中“认为作业多”的人数 X 的分布列与数学期望。 附: K ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P(K 2 ? k0 )
k0

20 .(本小题 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴长为

2 3。 6. 点 P 在椭圆 C 上,且满足 ?PF 1F 2 的周长为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 ? ?1,0? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,试问在 x 轴上是否存在一个定点
M ,使得 MA ? MB 恒为定值?若存在,求出该定值及点 M 的坐标;若不存在,请说 明理由。
21. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 。

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 A ?1, f (1) ? 处的切线 l 与直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明: ln(n ? 1) ?

1 1 1 ? ? ?????? ? n? N??。 ? 2 3 n ?1

2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十次适应性训练

数学(理科)参考答案

一. 选择题:BACBB ACBDA 二.11. 71 12 . 35 13 .

2

14. ?

3 2

15. A a ? ?0, 2?

B 2 2

C 4?

三.解答题 16. 解: (Ⅰ)设 ABC 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c.



1 ?? ? ? bc sin ? ? 3 及 2 3 ? bc cos? ? 6 得 1 ? tan ? ? 3,?? ? ? , ? 2 ?4 3?

(Ⅱ)经化简 f

?? ? ? 1 ?

?? ? 2 sin ? 2? ? ? 4? ?

? ? ? 5? ? ?? ? ? ? ? ? , ? ,? 2? ? ? ? , ? 4 ? 4 12 ? ?4 3?

又 y ? sin x 在 ? 故:当 ? ?

? ? ? ? ? 5? ? , ? 上是增函数,当 2? ? ? 即 ? ? 4 4 4 ? 4 12 ?
时, f

?
4

?? ?min ? 2.
? an ?1 an 1 ? ? . 2 n ?1 2 n 2

17.(Ⅰ)证明:

an?1 ? 2an ? 2n

所以数列 ?

a 1 1 ? an ? 是以 1 ? 为首项,以 为公差的等差数列。 n ? 2 2 2 ?2 ? an 1 1 n ? ? ? n ? 1? ? , n 2 2 2 2
所以 an ? n ? 2n?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

又 Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ...... ? n ? 2n?1. ○ 1 2 2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ...... ? n ? 2n. ○
n 2 n ?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1. 由○ 2 -○ 1 可得 S n ? n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2

?

?

故 Sn?1 ? 4an ? n ? 2n?1 ? 1 ? 4n ? 2n?1 ? 1. 18. 解: (Ⅰ)如图,以点 M 为坐标原点, MA 为 x 轴, MC 为 y 轴, MC 的垂线为 z 轴, 建立空间直角坐标系。则 M ? 0,0,0?

1 ? ? 3 ? ? 1 2? ? A? , 0, 0 , B ? 0, ? ,1? , N ? 0, , ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 3? ? ? ? ? 3 ? 1 ? ? ? 1 2? ? MA ? ? , 0, 0 , MB1 ? ? 0, ? ,1? , MN ? ? 0, , ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 3? ? ? 设面 AMN 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,计算得 n1 ? ? 0, ?4,3?
设面 AMB1 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,计算得 n2 ? ? 0, 2,1? 设 2 ?B1 ? AM ? N 的平面角为 ? ,则 ? ? ? 0,

? ?? ? ? 2?

所以 cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

?4 ? 2 ? 1? 3 5? 5

?

5 5

故:二面角 ?B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为 (II)由(Ⅰ)及距离公式可知:

5 。 5

? 1? ? ? ? ? ?4 ? ? 1? 3 MB1 ? n1 ? ? 2? ? ?1 点 B1 到平面 AMN 的距离为: d ? 5 n1
19. (1)统计数据如下表: 认为作业多 喜欢玩游戏 40 不喜欢玩游戏 20 合计 60
2

认为作业不多 20 30 50
2

合计 60 50 110

110 ? 40 ? 30 ? 20 ? 20 ? 将表中的数据代入公式,可求得 K ? ? 7.822 ? 6.635. 60 ? 50 ? 60 ? 50
2 查表 P K ? 6.635 ? 0.010. ? 有 99% 的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。

?

?

(2)易知,利用分层抽样抽取的 6 名学生中, “认为作业多”的学生有 4 (名) , “认为作 业不多”的学生有 2 名。 由题知:从这 6 名学生中任取 4 名中“认为作业多”的人数 X 的所有可能取值为 2,3,4. 其中 P ? X ? 2 ? ? 所以 X 的分布列为
3 1 4 2 2 C4 C2 8 C4 1 C4 C2 2 ? , P X ? 3 ? ? , P X ? 4 ? ? . ? ? ? ? 4 4 4 C6 5 C6 15 C6 15

X
P

2

3

4

2 5

8 15

1 15

6 8 1 8 ? 3? ? 4 ? ? 15 15 15 3 4 8 另解: X H ? 4,4,6? ,则 E ? X ? ? 4 ? ? 6 3 ?2b ? 2 3 ?a ? 2 ? ? x2 y 2 ? ?1 20. 解: (I) 由题知: ?2a ? 2c ? 6 ,解得 ?b ? 3 ? 椭圆 C 方程为: 4 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 1 ? ?
故 X 的数学期望为 E ? X ? ? 2 ? (II)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? m,0? 。 设直线 l 的方程为: y ? k ? x ? 1? 联立 ? ( k 存在)

? ? y ? k ? x ? 1? 2 2 2 2 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12

则 x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 ; x ? x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

又 y1 ? y2 ? k 2 ? x1 ?1?? x2 ?1? ? k 2 ? x1x2 ? x1 ? x2 ? 1?

? 4k 2 ? 12 ? ?9k 2 8k 2 =k ? ? 2 ? 1? = 2 2 ? 4 k ? 3 4 k ? 3 ? 4k ? 3
2

4k 2 ? 12 ?8k 2 9k 2 ? m? 2 ? 2 ? m2 而 MA ? MB ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? y1 y2 = 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3
=

4k 2 ? 12 ? 8mk 2 ? 9k 2 ? m2 ? 4k 2 ? 3? 4k 2 ? 3
只需

? 4m =

2

? 8m ? 5? k 2 ? 3m2 ? 12 4k 2 ? 3

为定值。

11 135 4m2 ? 8m ? 5 3m 2 ? 12 ? ,解得: m ? ? ,从而 MA ? MB = ? 。 8 64 4 3

当 k 不存在时, A ? ?1, ? , B ? ?1, ? ? 此时,当 m ? ? 故:存在 M ? ?

? ?

3? 2?

? ?

3? 2?

11 9 135 时, MA ? MB ? ? ?1 ? m ?? ?1 ? m ? ? =? 8 4 64

135 ? 11 ? . , 0 ? ,使得 MA ? MB ? ? 64 ? 8 ? 1 21. 解: (Ⅰ)函数的定义域为 ? 0, ??? , f ?( x) ? ? a. x ' 所以 f ?1? ? 1 ? a 又切线 l 与直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直, 1 3 从而 1 ? a ? ,解得 a ? 4 4 1 ' (Ⅱ)若 a ? 0 ,则 f ? x ? ? ? a ? 0, 则 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数 x
而 f ?1? ? 1 ? a, f ? x ? ? 0 不成立,故 a ? 0. 若 a ? 0 , 则 当 x ? ? 0,

? ?

1 1? ?1 ? ' 0 ; 当 x ? ? , ?? ? 时 , ?? ? a? ? 时, f ? x x a? ?a ?

f ' ? x? ?

1 ? a ? 0. x

所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数,在 ? , ?? ? 上是减函数 a a

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

所以 f ? x ? 的最大值为 f ?

?1? ? ? ? ln a. ?a?

要使 f ? x ? ? 0 恒成立,只需 ? ln a ? 0 ,解得 a ? 1.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时,有 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,且 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增 函数, f ?1? ? 0 所以 ln x ? x ? 1 在 x ? ? 0,1? 上恒成立 。 令x?

n n n 1 ? ?1 ? ? , ,则 ln n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

令 n ? 1, 2,3......n, 则有

ln

1 1 2 1 n 1 ? ? , ln ? ? ,......, ln ?? . 2 2 3 3 n ?1 n ?1

以上各式两边分别相加,得 ln

1 2 n 1 ? ?1 1 ? ln ? ...... ? ln ? ? ? ? ? ...... ? ?. 2 3 n ?1 n ?1 ? ?2 3

即 ln

1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? ? ? ? ? ...... ? ? , 故 ln ? n ? 1? ? 2 ? 3 ? ...... ? n ? 1 . n ?1 n ?1 ? ?2 3
(以上答案仅供参考)


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