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高微一Ch2习题参考答案(1-35)


高微一 Ch2 习题参考答案(1-35) 2.1 如果 x ( p, y ) 是消费者的马歇尔需求函数,预算平衡性则说明在每个价格和收入集上, 预算约束必须以等式成立,或者

y = ∑ pi xi ( p, y )
i =1

n

对于所有的 p 与 y,这个等式成立。我们知道如果任何单个价格或消费者的收入发生变 化,那么,在变化前后,等式必须成立。对价格与收入变化的所有消费者的需求反应应当被 加总,即用一种能在变化后保持预算约束的等式的方式加总。 由于我们知道间接效用函数是零次齐次的,使得

v( p, y ) = v(tp, ty )
这等价于

对所有 t > 0 对所有 t > 0

u ( x ( p, y )) = u ( x(tp, ty ))

由于在 ( p, y ) 与 (tp, ty ) 处的预算集是相同的,当其他的消费束被选择时, x ( p, y ) 与

x (tp, ty ) 中的每个均是可行的。因此,先前的等式与 u 的严格拟凹性就说明: x( p, y ) = x (tp, ty )
对所有 t > 0

因此,这表明 x ( p, y ) 的预算平衡性与齐次性在它们彼此并不隐含对方的意义上是互不 关联的条件。

1

2

2.4 (a)证:由偏微分方程组得

e(tp, u ) = xi (tp, e(tp, u )) (tpi ) e ( p , u ) = xi ( p, e( p, u )) ( pi )
因为

(1)

(2)

e(tp, u ) e( p, u ) = (tpi ) ( pi )

(3)

所以 xi (tp, e(tp, u )) = xi ( p, e( p, u )) 根据预算平衡性有:

(4)

tp.xi (tp, e(tp, u )) = e(tp, u ) p.xi ( p, e( p, u )) = e( p, u )
故 e(tp , u ) = te( p, u )

(5) (6)

(b)证:因为 xi (tp, e(tp, u )) = xi ( p, e( p, u ))

(1) (2)

e(tp, u ) = te( p, u )

所以由(1) (2)式得 xi (tp, te( p, u )) = xi ( p, e( p, u )) 即 x(p,y)关于(p,y)是零次齐次的。

3

4

5

6

7

2.8 The consumer buys bundle x at prices p , i=0,1.

i

i

Separately for parts (a) to (d),

state whether these indicated choices satisfy WARP: (a) p0 = (1,3), x0 = (4,2); p1 = (3,5), x1 = (3,1) x0 p0 p1 10 22
8

x1 6 14

p0 x1< p0x0 : 6 < 10 p1 x0> p1x1 : 22 > 14 (b)

Yes, satisfies WARP. Yes, satisfies WARP.

p0 = (1,6), x0 = (10,5); p1 = (3,5), x1 = (8,4) x0 p0 p1 40 55 x1 32 44

p0 x1< p0x0 : 32 < 40 p1 x0> p1x1 : 55 > 44 (c)

Yes, satisfies WARP. Yes, satisfies WARP.

p0 = (1,2), x0 = (3,1); p1 = (2,2), x1 = (1,2) x0 p0 p1 5 8 x1 5 6 Yes, satisfies WARP. Yes, satisfies WARP.

p0 x1= p0x0 : 5 = 5 p1 x0> p1x1 : 8 > 6 (d)

p0 = (2,6), x0 = (20,10); p1 = (3,5), x1 = (18,4) x0 p0 p1 100 110 x1 60 74 Yes, satisfies WARP. Yes, satisfies WARP.

p0 x1< p0x0 : 60 < 100 p1 x0> p1x1 : 110 > 74
2.9

9

因为x( p, y )零次齐次,则有x1 (tp, ty ) = x1 ( p, y ) 对x1有 x1 ( p, y) x ( p, y ) x ( p, y) p1 + 1 p2 + 1 y=0 p1 p2 y x1 ( p, y ) x ( p, y ) + p2 2 =0 p1 p1

p1 x1 ( p, y ) + p2 x2 ( p, y ) = y x1 ( p, y ) + p1 p1

x1 ( p, y ) x ( p, y ) + p2 1 = 1, 代入下式, y y

x1 x x 1 x1 + x2 1 = + p2 x2 1 p2 p2 y p2 p2 y

=

1 p2

x2 x x x + p2 x1 2 = 2 + x1 2 p2 y p1 y p1

10

2.11
n x ( p, y ) ∈ R+ 关于 ( p, y ) 零次齐次

证明:WARP 在 上被满足 WARP 在 (p,1):p ∈ R} (p,y)

{

(p 则 (p,y) ,y) R n 分别选择 (p,y) (p ,y) x ,x ∈ +
' ' ' '

若 p.x( p , y ) ≤ p.x( p, y ) 且 x( p , y ) ≠ x( p, y )
' ' ' '

要证 p .x( p, y ) > p .x ( p , y )
' ' ' '

由 p.x( p , y ) ≤ p.x( p, y )
' '

p.x( p ' , y ' ) ≤ p.x( p, y )

p p' p p p p .x( p ' , y ' ) ≤ .x( p, y ) .x( ' ,1) ≤ .x( ,1) y y y y y y

p' p x( ' ,1) ≠ x( ,1) y y
由 ( p,1) : p ∈ R++ 上 WARP
n

{

}

p' p p' p' p p' x( ,1) > ' x( ' ,1) p ' x( ,1) > p ' x( ' ,1) p ' x( p, y ) > p ' x( p ' , y ' ) y' y y y y y

11

2.13

gs ≡

(a1 , p1 ;
n

n ; an , pn ) | pi ≥ 0, ∑ pi = 1 i =1

当 n ≥ 2 时,满足 ∑ pi = 1 的 pi 有无穷多个,因此 g 中的元素也有无穷多个。
i =1

12

2.14 如果 a1 ,

, an 无法根据偏好进行排序,必定以下两种可能:

(1)无法比较 ai 与 a j 的大小( i ≠ j且1 ≤ i, j ≤ n ) (2) a1 ,

, an 产生了顺序循环,即

ai > a j , a j > ak , ak > ai (i > j > k , 且1 ≤ i, j , k ≤ n)
(1)可由完备性排除; (2)可由传递性排除。 因此, a1 , 2.15

, an 可根据偏好进行排序,一定存在最不被偏好的元素和最受偏好的元素。

当 α = 1 时, g (a1 , α ; a3 ,1 α )

a2

矛盾 矛盾

当 α = 0 时, g (a1 , α , a3 ,1 α ) a2 因此, α 必严格取 0 与 1 之间的值。
2.16 假定出猎有 n 种结果,并且 α1

α2

α 3 α n ,其中 α n 代表死亡;

根据公理 G3,对于任何一个赌局 g,存在一些概率 a ∈ [0,1] ,使得 g (α1.a, α n ,1 a ) ; 根据公理 G4,当 a ∈ (0,1) 时,有 (α1 ,1; α n , 0)

(α1 , a; α n ,1 a) ,但存在较小死亡概

率 的 活 动 比 无 死 亡 的 活 动 更 受 偏 爱 , 即 当 ( 1- a ) >0 且 较 小 时 , 有

(α1 , a; α n ,1 a)
2.17

(α1 ,1; α n , 0) ,矛盾。

假设 g (a1 , p1 ; an( p1)) g (a1 , p2 ; an(1 p2)) ,1 且 , , ,1 ,1 即有 (a1 , p1 ; an( p1)) (a1 , p2 ; an( p2)) 不妨设 p1 > p2 根据 G4,有 (a1 , p1 ; an( p1)) (a1 , p2 ; an(1 p2)) 矛盾 ,1 , 因此, p1 = p2
2.18 由公理 G5 和公理 G6,有

(a1 , (α p 1 + (1 α )r1 ); ((a1 , p1 ;

; an , (α p n + (1 α )rn )) ; an , rn ), (1 α ))
13

; an , pn ), α ;(a1 , r1 ;

(a1 , (α q 1 + (1 α )r1 ); ((a1 , q 1 ;
2.19

; an , (α qn + (1 α )rn )) ; an , rn ), (1 α ))

; an , qn ), α ;(a1 , r1 ;

S

u(w)

T R P

根据风险厌恶的定义和严格凹函数的定义。 2.20

设 g1 , g 2 ∈ G , A = {a1 , a2 , 根据 G3 连续性: g1 (a1 , p1 ; an( p1)) ,1 g 2 (a1 , p2 ; an( p2)) ,1

, an }

由于 p1与p2 是大于零的两个数,因此只有 p1 ≥ p2 或 p1 ≤ p2 两种关系

根据 G4 单调性,有 g 2 g1 或 g1 g 2
~ ~

因此任意的 g1 , g 2 ∈ G 符合 G1 完备性。
2.21

设 v( g ) = α + β u ( g )
v( g 1 ) v( g 2 ) (α + β u ( g 1 )) (α + β u ( g 2 )) u ( g 1 ) u ( g 2 ) = = v( g 2 ) v( g 3 ) (α + β u ( g 2 )) (α + β u ( g 3 )) u ( g 2 ) u ( g 3 )
2.22 若 ρ > α ,则投保人的期望效用是: αU ( w0 ρ x L + x) + (1 α )U ( w0 ρ x) 。 对 该 式 求 关 于 x 的 微 分 , 并 令 结 果 为 零 , 可 得 :

αU ' ( w0 ρ x L + x)( ρ + 1) + (1 α )U ' ( w0 ρ x)( ρ ) = 0 。 整 理 该 式 可 得 : α ( ρ + 1)U ' ( w0 ρ x L + x) = (1 α ) ρU ' ( w0 ρ x) , 因 为 ρ > α , α ( ρ + 1) <
'' (1 α ) ρ , U ' ( w0 ρ x L + x) > U ' ( w0 ρ x) , 所以 又由于 U <0, 可得: 0 ρ x L + x w

14

< w0 ρ x ,整理可得: x < L ,即在此情况下,投保人将不会完全投保。

2.24

u ( w) = (b w)c u '( w) = c(b w)c 1 > 0 u ''( w) = c(c 1)(b w)c 2 < 0

15

这时, Ra(w) = -

u "(w) >0 u'(w)

2.27 必要性:

16

若个人是风险厌恶的,根据定义 u ( E ( g )) > u ( g ) ,那么 VNM 效用函数在 R+ 上是 严格凹的。 根据确定性等价物的定义, u ( g ) = u (CE ) ,则 u ( E ( g )) > u ( g ) = u (CE ) 由于 VNM 效用函数在 R+ 上是严格凹的,VNM 效用函数的一阶导数大于零, ,故

E ( g ) > CE ( P > 0)
充分性:

P ≡ E ( g ) CE

根据确定性等价物的定义, u ( g ) = u (CE ) 由已知 E ( g ) > CE , P ≡ E ( g ) CE > 0 由风险溢价的定义, u ( g ) = u ( E ( g ) P) , 则 u ( E ( g )) > u ( g ) ,个人是风险厌恶的 2.28 (一)充分性 即满足条件 a.b.c.时,个人是风险中性 u ( E ( g )) = u ( g )

当u ( w) = a + bw时,设g = ( p1 , w1 ; p2 , w2 ) 则E ( g ) = p1w1 + p2 w2 u ( g ) = p1u ( w1 ) + p2u ( w2 ) = p1 (a + bw1 ) + p2 (a + bw2 ) = a + b( p1w1 + p2 w2 ) = u ( E ( g )) 因为u (CE ) = u ( g ),所以CE = E ( g ), P = E ( g ) CE = 0 且u ( g ) = u ( E ( g )),个人是风险中立的
(二)下面证必要性,即风险中性 u ( E ( g )) = u ( g ) 条件 a.b.c。

u ( E ( g )) = u (∑ pi wi ) = u ( pw1 + (1 p ) w2 )
1、
i =1

n

(1) (2)

u ( g ) = ∑ pi u ( wi ) = pu ( w1 ) + (1 p)u ( w2 )
i =1

n

(1)=(2), u ( pw1 + (1 p ) w2 ) = pu ( w1 ) + (1 p )u ( w2 ) 凸组合的函数等于函数的凸组合,所以 u (.) 必为线性的。a 得证。 2 、 由 定 义 2.5 。 u (CE ) = u ( g ) 设 u (.) = α + β w , U (CE ) = α + β CE ,

u ( g ) = p(α + β w1 ) + (1 p )(α + β w2 ) = α + β ( pw1 + (1 p) w2 ) ∴ CE = pw1 + (1 p) w2 = E ( g ), b 得证。

17

3、由定义 2.5。 P = E ( g ) CE ,由 2 得 P=0。得证。 (三)对于风险偏爱的个人,三个等价命题的必要与充分条件是: (a)VNM 效用函数关于财富是凸函数。 (b)对于所有的 g ∈ , CE > E ( g ) 。 (c)对于所有的 g ∈ , P < 0 。

2.30 该效用函数的绝对风险厌恶不变——不妨假设为 c,即有:

Ra (ω ) =

u′′(ω ) =c u′(ω )
将等式两边关于ω积分:


1
变形得: 即:

u ′′(ω ) dω = ∫ cdω u′(ω )

∫ u′(ω )du′(ω ) = ∫ cdω

ln u ′(ω ) = cω + c1 ,即 u′(ω ) = e cω + c1 。再将等式两边关于ω积分:

∫ u′(ω )dω = ∫ e

cω + c1



1 u (ω ) = e cω + c1 + c2 c 解得: ,即常风险厌恶的效用函数形式。该函数的风险厌恶系
18

数为 c。 2.31

d (U ' ( w) ) U ' ' ( w) ,可以表示边际效用对财富的弹性,即财富变 Rr ( w) = w = U ' ( w) dw U ' ( w) w u′′(ω ) ω = α u′(ω )

动所引起的效用变动。

Rr (ω ) = Rα (ω ) ω = u′′(ω ) α = u′(ω ) ω

ln u ′(ω ) = α ln ω + c1 u′(ω ) = ec1ω α u (ω ) = ec1
2.32 设总资产为 ω ,其中 β 用于风险资产投资, 在第 i 种情况下的收益为:
n

ω α +1 + c2 α + 1

ω β + β (1 + ri ) = ω + β ri
s.t.0 ≤ β ≤ ω

期望效用为:
n

∑ p u(ω + β r )
i =1 i i i

∑ p u(ω + β r )
max
i =1 i n

s.t.0 ≤ β ≤ ω

一阶条件:

∑ p u′(ω + β r ) r = 0
i =1 n i i i

二阶条件:
n

∑ p u′′(ω + β r ) r
i =1 i i

2 i

<0

dβ * = dw

∑ pi u ''( w + β * ri )ri

∑ p u ''(w + β * r )r
i =1 i i

i =1 n

2

i

由于绝对风险厌恶递增, 当

ri > 0 时, Rα (ω ) < Rα (ω + β *ri )
19



ri < 0 时, Rα (ω ) > Rα (ω + β *ri ) ,

Rα (ω + β *ri ) Rα (ω ) ri > 0 * Rα (ω + β ri )α ri > Rα (ω ) ri u′′(ω + β *ri ) ri > Rα (ω ) ri u′(ω + β *ri ) u′′(ω + β *ri ) ri > Rα (ω ) ri u ′(ω + β *ri )

两边取期望,得:

∑ pi u ′′(ω + β *ri ) ri > Rα (ω ) ∑ pi u′(ω + β ri ) ri = 0
i =1 i =1

n

n

dβ* <0 所以 d ω
当财富增加时, β 减少,即风险资产是“低档品” 。
*

2.33

( w) > R ( w) CE < CE 参见课本,有 R
i j i a a

j

也就是说,个人越是风险厌恶,他可接受的赌局集越小。

20

(g)如果 β >

1 ,由于 β (1 + r ) > 1 , 1+ r

则有 u ′( x0 ) > u ′( x1 ) > u ′( x2 ) > …… > u ′( xt ) > …… 由 u ′( x) 是严格单调递增的,故上式成立当且仅当 x0 > x1 > …… > xt > …… 即随着时间 t 的增加,消费的边际效用 u ′( xt ) 递减,人们更偏好当前的消费,而减少未来的 消费。 如果 β <

1 ,则情形完全相反, β (1 + r ) < 1 , 1+ r

有 u ′( x0 ) < u ′( x1 ) < u ′( x2 ) < …… < u ′( xt ) < …… 和 x0 < x1 < …… < xt < …… 即随时间 t 的增加,消费的边际效用 u ′( xt ) 递增,人们更偏好未来的消费,从而减少当前的 消费。 2.35 (a)已知每期收入固定,不存在不确定性时
21

每个时期的最优解: max u(xt) s.t. xt≤yt (其中t=0,1) s.t. xt≤yt

即:max –(1/2)(xt-2)2 给定 y 0=y1 =1

→每个时期的最优解为:x0=x1=1

行为者各期最优效用水平为:u*(x0)=-1/2;u*(x1)=-1/2 行为者的终身效用水平: max u*(x0,x1) s.t.

1 ∑ 1+ r
∞ t=0

t


xt

1 ∑ 1+ r
∞ t=0

t

(其中:t=0,1)
yt

即求在x0=x1=1 时, u*(x0,x1)=β0 [–(1/2)(x0-2)2]+ β1 [–(1/2)(x1-2)2] 的值, (由题β=1/(r+1)) 行为者的终身效用水平为:u*(x0,x1)=(-1/2)[(2+r)/(1+r)] (b) 第一期收入确定,第二期收入存在不确定性时 由于第一期收入确定,则其一期最优消费仍为x0=1, 我们只求第二期行为者最大化期望效用: 给定: y1=( y1H ,p1;y1L,(1- p1)) 即:y1=(3/2,1/2;1/2,1/2)

E(u(x1))=p1u(x1H)+(1-p1) u(x1L) 由于效用最大化要求满足预算平衡性,因此 x1 = ( x1H ,p1 ;x1L, (1- p1))=( 3/2,1/2;1/2,1/2) max E(u*( x1))= p1u(x1H)+(1-p1) u(x1L)=1/2[–(1/2)(3/2-2)2]+1/2[–(1/2)(1/2-2)2]=-1/8

因此,行为者跨期最大化期望效用为: u*(x0,x1)=u*( x0)+ E(u*( x1))= β0 [–(1/2)(1-2)2]+β1(-1/8)= (-1/8)[(5+4r)/(1+r)] (c) 确定情形下一期收入=不确定情形下一期收入的期望值 且两种情形都有x0=1

22


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