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高中数学3-1-2直线的倾斜角与斜率课件新人教版A必修


3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【课标要求】 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直. 2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关 系. 【核心扫描】 1.利用斜率判定两直线是否平行或垂直.(重点) 2. 在含有字母的题目中, 利用斜率判定两直线是否平行或垂直 时,要注意直线的斜率是否存在.(易错点)

自学导引 1.两直线平行的判定 (1)对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2, 有 k1=k2 ?l1∥l2. (2)若直线 l1 和 l2 可能重合时,我们得到 k1=k2? l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. (3)若直线 l1 和 l2 的斜率都不存在,且不重合时,得到 l1∥l2.

想一想:若两条直线平行,斜率一定相等吗? 提示 不一定,垂直于 x 轴的两条直线,虽然平行,但斜率不 存在.

2.两直线垂直的判定 (1)如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率 之积等于 -1 ;反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们 互相垂直,即 l1⊥l2?k1k2=-1 . (2)若两条直线中的一条没有斜率,另一条的斜率为 0 时,它们 互相垂直.

试一试:两条直线 l1,l2,l1 的斜率为-10,l2 经过点 A(10,2), B(20,3),试判断 l1,l2 的位置关系. 提示 3-2 1 k1=-10,k2= = , 20-10 10

∴k1· k2=-1.∴l1⊥l2.

名师点睛 1.两条直线的平行必须注意的两个问题 (1)两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合,即两条直线都 不垂直于 x 轴,否则推导中 α1=α2 tan α1,tan α2 均无意义). (2)当 l1,l2 都垂直于 x 轴且不重合时,由于垂直于同一条直线 的两条直线平行,可推得 l1∥l2,这样两条不重合直线平行的判 定的一般结论就是:l1∥l2?k1=k2 或 l1,l2 斜率都不存在. tan α1=tan α2(∵此时

2.两条直线的垂直必须注意的两个问题 (1)两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零,否则由 tan 1 α2=tan(90° +α1)=- 的式子就没有意义. tan α1 (2)两条直线中,一条斜率不存在,同时另一条斜率等于零,则 两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定就可叙述为:一般 地,l1⊥l2?k1· k2=-1 或一条直线斜率不存在,同时另一条直 线斜率等于零.

题型一 两条直线的平行关系 【例 1】 判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,- 1); (2)l1 的斜率为 1,l2 经过点 A(1,1),B(2,2); (3)l1 经过点 A(0,1),B(1,0),l2 经过点 M(-1,3),N(2,0); (4)l1 经过点 A(-3,2),B(-3,10),l2 经过点 M(5,-2),N(5,5). [思路探索] 求出斜率,利用“l1∥l2?k1=k2”判断,注意公式 成立的条件.

1-?-2? -1-4 5 解 (1)k1= =1,k2= = ,k1≠k2,l1 与 l2 不平 2-?-1? -1-3 4 行; 2-1 (2)k1=1,k2= =1,k1=k2, 2-1 ∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. 0-1 0-3 (3)k1= =-1,k2= =-1,k1=k2,数形结合知, 1-0 2-?-1? l1∥l2. (4)l1 与 l2 都与 x 轴垂直,∴l1∥l2.

规律方法

判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否

存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊 情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重 合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出 两条直线重合.

【变式 1】 已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-1,2),直线 l2 经 过点 C(1,2),D(-2,a+2).若 l1∥l2,求 a 的值. 解 设直线 l2 的斜率为 k2,由斜率公式得 2-?a+2? a k2 = =-3. 1-?-2? a 若 l1∥l2,则 l1 的斜率 k1=-3, 2-a 2-a a 由斜率公式 k1= ,则 =-3, a-4 a-4 ∴a=1 或 a=6. 经检验,当 a=1 或 a=6 时,l1∥l2.

题型二

两条直线的垂直关系

【例 2】 判断下列各题中的直线 l1,l2 是否垂直: (1)l1 经过点 A(-1, -2), B(1,2), l2 经过点 P(-2, -1), Q(2,1); (2)l1 经过点 A(3,4),B(3,6),l2 经过点 P(-5,20),Q(5,20). [思路探索] 求出斜率,利用 l1⊥l2?k1k2=-1 进行判断,注意 数形结合.



2-?-2? (1)直线 l1 的斜率 k1= =2,直线 l2 的斜率 k2= 1-?-1?

1-?-1? 1 =2,因为 k1· k2=1≠-1,所以 l1 与 l2 不垂直. 2-?-2? 20-20 (2)直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率 k2= =0, 5-?-5? 所以 l1⊥l2.

规律方法 两条直线垂直需判定 k1k2=-1, 使用它的前提条件 是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率 为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.

【变式 2】 (2012· 杭州师大高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 分别为 A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所 在直线的斜率.

解 由斜率公式可得 6-?-4? 5 kAB= = , 6-?-2? 4 6-6 kBC= =0, 6-0 6-?-4? kAC= =5. 0-?-2? 由 kBC=0 知,直线 BC∥x 轴, ∴BC 边上的高线与 x 轴垂直,其斜率不存在.

设 AB、AC 边上高线的斜率分别为 k1、k2, 由 k1kAB=-1,k2kAC=-1, 5 即 k1× =-1,k2×5=-1, 4 4 1 解得 k1=-5,k2=-5. 综上可知 BC 边上的高所在直线的斜率不存在; 4 AB 边上的高所在直线的斜率为-5; 1 AC 边上的高所在直线的斜率为-5.

题型三 两条直线平行与垂直的综合应用 【例 3】 已知点 A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点 D 的坐标,使 四边形 ABCD 为直角梯形(A,B,C,D 按逆时针方向排列). 审题指导

[规范解答] 设所求点 D 的坐标为(x,y),如图所示, 由于 kAB=3,kBC=0,∴kAB· kBC=0≠-1,即 AB 与 BC 不垂直,故 AB,BC 都不可作为直角梯形的直角 边.(2 分) (1)若 CD 是直角梯形的直角边,则 BC⊥CD,AD∥BC, ∵kBC=0, ∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3.(4 分) y-3 又 kAD=kBC,∴ x =0,即 y=3,此时 AB 与 CD 不平行, 故所求点 D 的坐标为(3,3)(7 分)

(2)若 AD 是直角梯形的直角边,则 AD⊥AB,AB∥CD, y-3 y ∵kAD= ,kCD= ,kAB=3, x x-3 y-3 y ∴ ×3=-1, =3.(9 分) x x-3
?18 9? 18 9 解得 x= 5 ,y=5,∴D 点坐标为? 5 ,5?.(10 分) ? ?

所以,D

?18 9? 点坐标为(3,3)或? 5 ,5?.(12 ? ?

分)

【题后反思】 若 ABCD 为直角梯形,则必有一边垂直于与它 相邻的两边,且这一边与它相对的边不平行.因此可设出点 D(x,y),将各边的斜率表示出来之后,建立斜率之间的关系即 可.

【变式 3】 已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若 顺次连接 A、B、C、D 四点,试判定四边形 ABCD 的形状. 解 A,B,C,D 四点在坐标平面内的位置如图,由斜率公式 可得

5-3 0-3 1 1 kAB= = ,k = = , 2-?-4? 3 CD -3-6 3 0-3 kAD= =-3, -3-?-4? 3-5 1 kBC= =- , 2 6-2 kAB=kCD,由图可知 AB 与 CD 不重合, ∴AB∥CD. 由 kAD≠kBC,∴AD 与 BC 不平行. 1 又∵kAB· kAD= ×(-3)=-1, 3 ∴AB⊥AD. 故四边形 ABCD 为直角梯形.

误区警示

忽略对字母参数的分类讨论致误

【示例】 已知直线 m1 经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 m2 经 过点 M(3,a),N(6,5),若 m1⊥m2,求 a 的值. 3-a a-5 3-a a-5 [错解] m1⊥m2?k1· k2=-1,k1= ,k2= ,即 · a-5 -3 a-5 -3 =-1,所以 a=0.

错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关 系的前提条件:两条直线的斜率存在.应对直线 AB 斜率是否 存在进行分类讨论,即分 a-2=3 与 a-2≠3 两种情况讨论.

[正解] 由题意可知直线 m2 的斜率一定存在, 直线 m1 的斜率则 可能不存在. (1)当直线 m1 的斜率不存在时,a=5,此时直线 m2 的斜率 k2= 0,所以两直线垂直. 3-a a-5 (2)当直线 m1 的斜率存在时,m1⊥m2?k1· k2=-1,即 · a-5 -3 =-1,解得 a=0.所以 m1⊥m2 时,a 的值为 0 或 5.

只有在两条直线斜率都存在的情况下, 才能直接应用两 条直线垂直的条件求解.如果其中一条直线斜率不存在,则需 另外考虑.

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