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2015-2016学年山东省济南市历城二中高二上学期期中考试数学试题(理)


2015—2016 学年度山东省济南市历城二中高二上学期期中考试 数学试题(理)
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

第 ? 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列命题错误的是( )
2 2

>A.命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为“若方程 x +x﹣m=0 无实数 根, 则 m≤0” B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.对于命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0,则 ? p :? x∈R,均有 x +x+1≥0
2 2 2

D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2.在 ?ABC 中, 已知 a ? x, b ? 2, B ? 45? , 如果三角形有两解, 则 x 的取值范围是( A. 2 ? x ? 2 2 B. x ? 2 2 C. )

2?x?2


D. 0 ? x ? 2

3.已知 ?1, a, b, c, ?4 成等比数列,则实数 b 为( A.4 B. ? 2 C. ? 2

D.2 ) D.7 ,则

4.若实数 x,y 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值是( A.12 B.4 C.8

5.两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? ,其前 n 项和分别为 Sn , Tn ,且

a2 ? a20 ?( b7 ? b15
A.

)

B.

C.

D.

6.如果实数 x、y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为(



A.2

B.1

C.﹣2

D.﹣3

7.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,公差 d≠0,若 S11 ? 132 ,a3 ? ak ? 24 ,则正整数 k 的值( A.9 ) B.10 C.11 D.12

8.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使在 C 塔底 B 的正东方向上,测 得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45°,则 塔 AB 的高度为( )

A.10 米 9.定义

B. 10 2米

C. 10 3米

D. 10 6米

为 n 个正数 p1 , p2 ,...... pn 的“均倒数” .若已知数列 ?an ? 的前 n 项 ,又 bn ? B.
2 2

的“均倒数”为

an ? 1 ,则 4
C.

=(



A.

D.

10.不等式 2 x ? axy ? y ? 0 对于任意的 x∈[1,2],y∈[1,3]恒成立,则实数 a 的取值 范围是( A. a ≤ ) B. a ≥ C. a ≥ D. a ≥

第 ? ? 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知命题 p:x≤1,命题 q: ≥1,则命题 p 是命题 q 的_____________________条件. 12.在△ABC 中, a ? 1, B ? 450 , S?ABC ? 2 ,则 b =_______________. 13.已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是(3,+∞) ,则关于 x 的不等式 集是_____.
n 14.已知数列 ?an ? 满足 an an +1 =(-1) (n ? N * ) , a1 ? 1 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则

ax ? b ? 0 的解 x?2

S2015 ? ___.

15.下列命题:
2 2 ①设 a , b 是非零实数,若 a ? b ,则 ab ? a b ;②若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? ; a b

③函数 y=

的最小值是 2;④若 x、y 是正数,且 + =1,则 xy 有最小值 16;

⑤已知两个正实数 x,y 满足 + =1,则 x+y 的最小值是 4 2 . 其中正确命题的序号是________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,请写在答题卡指定区域内.

q: a ? 8a ? 20 ? 0 . 16.给定两个命题,p : 对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立; 如
2 2

果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

17. 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 向 量 m ? ( a , 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B ) 平行.
(1)求角 A ; (2)若 a ?

2 ,求 ?ABC 周长的取值范围.

18.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列,且 a1 ? a3 ? 3 . (1)求 ?an ? 的公比 q 及通项公式 an ; (2) bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an
2 2

19.已知函数 f ( x ) = (sin x﹣cos x+ (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

)﹣

sin (x﹣

2

) ,x∈R.

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,且 f ( B) ? 1 , b ? 2 ,求△ABC 的面积 的最大值.

20.徐州、 苏州两地相距 500 千米, 一辆货车从徐州匀速行驶到苏州, 规定速度不得超过 100 千米/小时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变 部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元( a >0) . (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

21.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (1)求 a2 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

高二上学期数学期中考试卷答案 1-5: DABCD 11. 必要不充分 6-10: BADCD 12. 5 13.

??3, 2?

14. -1

15. ②④

2 16.解:命题 p :ax +ax+1>0 恒成立

当 a=0 时,不等式恒成立,满足题意) 当 a≠0 时, ,解得 0<a<4

∴0≤a<4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) 命题 q : a +8a﹣20<0 解得﹣10<a<2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (6 分) ∵ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题∴ p, q 有且只有一个为真,
2

当 p 真 q 假时 ?

?0 ? a ? 4 得 2 ? a ? 4 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ?a ? ?10或a ? 2
? a ? 0或a ? 4 得 ?10 ? a ? 0 ? ?10 ? a ? 2

当 p 假 q 真时 ?

所以﹣10<a<0 或 2≤a<4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 17.解:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 分) (II)由正弦定理知

??

?

3 ,由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

2 3 2

?

2 6 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 3

l ? a?b?c ? 2 ?
又C ?

2 6 ?sin B ? sin C ? ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 3

2? 2? ? ? B ,所以 sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 3 sin( B ? ) 3 3 6

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以

?

6

?B?

?

2

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

B?

?

? ? 2? ?? , 6 ?3 3

? ?3 ? ? , sin B ? sin C ? ? ,3 ? ,所以 l ? ? ?2 ?

?

6+ 2,3 2 ? ? .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(12 分) 18.解: (1)依题意有
2



∵a1≠0,∴2q +q=0,∵q≠0,∴q=﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴ 分) ,解得 a1=4.∴ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4

(2)bn=

=

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

+?+n×(﹣2)

n﹣1

],

﹣2Tn= [1×(﹣2)+2×(﹣2) +3×(﹣2) +?+n×(﹣2) ],﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (8 分) 两式相减,得: 3Tn= [1+(﹣2)+(﹣2) +?+(﹣2)
2 n﹣1

2

3

n

﹣n×(﹣2) ]

n

= [

],﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)



=

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

19.解: (1)f(x)= ( = 令﹣ +2kπ ≤2x﹣

﹣cos2x)﹣

[1﹣cos(2x﹣

)]

sin2x﹣ cos2x=sin(2x﹣ ≤

) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ≤x≤kπ + ,k∈Z

+2kπ ,k∈Z,得到 kπ ﹣ ,kπ +

则函数 f(x)的单调递增区间[kπ ﹣ (2)由 f(B)=1,得到 sin(2B﹣ 分)

],k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) = ,即 B= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8

)=1,∴2B﹣

由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 4=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac,即 ac≤4,﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10 分) ∴S△ABC= acsinB= 分) 20.解: (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 y=a× +0.01v ×
2

2

2

2

2

2

ac≤

,则△ABC 的面积的最大值为

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12

,全程运输成本为

=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ,v∈(0,100] ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ,当且仅当 ,

故所求函数及其定义域为 (2)依题意知 a,v 都为正数,故有 即 v=10 ①若

时,等号成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) ≤100,即 0<a≤100 时,则当 v= 时,全程运输成本 y 最小.﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(10 分)

②若

>100,即 a>100 时,则当 v∈(0,100]时,由对号函数的单调性知函数在 v∈

(0,100]上单调递减,也即当 v=100 时,全程运输成本 y 最小.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 0<a≤100 时行驶速度应为 v= >100 时行驶速度应为 v=100 千米/时.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 千米/时;当 a

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 3 3
21.解:(1) 解:? 分) (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

? 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1? ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
?

a a an ?1 an ? ? 1 ( n ? 2 )又 2 ? 1 ? 1 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) n ?1 n 2 1

a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

?

an ? 1 ? 1 ? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? N * ? ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) n
2 *

(3)证明:由(2)知, an ? n , n ? N ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) a1 4

2 ②当 n ? 2 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?
(11 分)

﹣﹣﹣

1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 2 时,,? 原不等式亦成立. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ? ? ? ? .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) a1 a2 an 4


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