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2013年状元360一轮复习理科数学2.15


1.利用函数图象解决方程根的个数问题. 2.函数图象对称性的证明.

考点一 函数图象的应用 示范1 已知函数 y=f(x)是 R 上以 2 为周期的奇函数且其在 区间[0,1)上的部分图形如右图所示, 并已知这一图形是一个二次 函数图象的一部分, 其中点(1,1)是这个二次函数的顶点, 试写出 函数 y=f(x)在区间[-2,2]上的解析式.


分析 可以先作出在区间[-2,2] 上的全部图象,再写解析式.

解析 先由“奇函数”这一性质得到(-1,0]的图象,再由 “以 2 为周期”这一性质得到[-2,-1),(1,2]的图象如图:

由图象得函数解析式如下, ?-x?x+2?,-2≤x<-1 ? ?0,x=-1 ?x?x+2?,-1<x<0 f(x)=? ?x?2-x?,0≤x<1 ?0,x=1 ? ?x?x-2?,1<x≤2

【点评】函数的图象形象地显示了函数的性质,为研究数 量关系问题提供了“形”的直观性.

展示1 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如下图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是______.

【答案】{x|-2<x<0 或 2<x≤5}

【解析】由奇函数图象的特征,可得函数 f(x)在[-5,5]上的 图象.由图象可得出结果.

示范2 若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象 有两个交点,求实数 a 的取值范围.

分析 可用图象法.

解析 当 0<a<1 时,作图如图 由图象知 0<2a<1, 1 ∴0<a<2, 此时 a
? 1? 的取值范围是?0,2?. ? ?

当 a>1 时,作图如图 由图象知 0<2a<1, 1 ∴0<a<2, 此时 a 无解. 综合上述,知 a
? 1? 的取值范围是?0,2?. ? ?

答案

? 1? ?0, ? 2? ?

【点评】本题用的是数形结合法,分类讨论.

展示2 (2011 深圳一模)若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函 数 f(x)的一个次不动点. 设函数 f(x)=ln x 与 g(x)=ex(其中 e 为自 然对数的底数)的所有次不动点之和为 m,则( A.m<0 C.0<m<1 B.m=0 D.m>1 )

【答案】B

【解析】 画图即知函数 y=ln x 的图象与直线 y=-x 有唯一 公共点(t,-t),ex=-x?x=ln(-x)?x=-t.故两个函数的所有 次不动点之和 m=t+(-t)=0.或利用函数 y=ln x 的图象与函数 y=ex 的图象关于直线 y=x 对称即得出答案.

方法点拨:函数图象的应用较多体现在数形结合法上,它 能直观地解决求解析式,求最值,解不等式,及方程根的个数, 函数零点问题,是近几年高考命题的热点,解决此类问题的关 键是细致分析图象所过的特殊点、特殊位置、从左到右图象变 化的趋势及对称性、渐近性,奇偶性、周期性等,快速搜寻有 价值的信息,通过再加工,从而使问题得以解决.

考点二 函数图象对称性的证明 示范3 若函数 f(x)满足对于任意 x∈R 都有 f(x)=f(2a-x), 求证:函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.

分析 可以转化为点的对称问题.

证明 (1)设函数 f(x)的图象上任意一点为 P(x1,y1), 则 y1=f(x1), 点 P 关于直线 x=a 对称的点为 P′(2a-x1,y1), ∵点 P′的坐标满足 f(2a-x1)=f(x1)=y1, ∴点 P′在函数 y=f(x)的图象上, 由点 P 的任意性, 知 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.

【点评】证明一个函数图象关于一直线对称,可以在图象 上任取一点,然后求出该点关于直线对称的点,并证明对称点 也在该函数的图象上.

展示3 求证:函数 y=g(x)与 y=g(2a-x)的图象关于直线 x =a 对称.

【证明】设函数 y=g(x)的图象上任意一点为 P(x1,y1),则 y1 =g(x1),点 P 关于直线 x=a 对称的点为 P′(2a-x1,y1). ∵P′的坐标满足 g[2a-(2a-x1)]=g(x1)=y1, ∴点 P′在函数 y=g(2a-x)的图象上. 另一方面,设函数 y=g(2a-x)的图象上任意一点为 Q(x2,y2). 则 y2=g(2a-x2), Q 关于直线 x=a 对称的点为 Q′(2a-x2, 点 y2). ∵点 Q′的坐标满足 g(2a-x2)=y2, ∴点 Q′在函数 y=g(x)的图象上. 综上,函数 y=g(x)与 y=g(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称.

方法点拨:函数图象对称性的证明方法是利用数形结合、 等价转化等思想方法把图象对称问题转化为点的对称问题.如果 证明一个图象本身的对称,则只需在图象上任取一点,证明经 过对称后仍然在该图象上.如果证明两个图象的对称,则需在其 中一个图象 C1 上任取一点,证明经过对称后,在另一个图象 C2 上,还要在 C2 上任取一点,证明经过对称后,在 C1 上.

本课的主要考点是图象的应用,体现在已知图象求解析式、 函数值、求解不等式、解决不等式恒成立和方程解的个数问题 等,主要方法是数形结合方法,另一考点是图象对称性的判定 和证明.

1. (2011 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在区间[0, +∞)内( A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷个零点

)

【答案】B

【解析】令 y1= x,y2=cos x,则它们的图象如下页图所 示.故选 B.

1 2. (2011 全国新课标)函数 y= 的图象与函数 y=2sin x-1 πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A.2 B.4 C.6 D.8 )

【答案】D

1 【解析】 图象法求解. 函数 y= 的图象的对称中心是(1,0) x-1 也是函数 y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象的中心,它们的图象在 x =1 的左侧有 4 个交点,则 x=1 右侧必有 4 个交点. 不妨把它 们的横坐标由小到大设为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,则 x1 +x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2.故选 D.


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