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高考一轮复习专题:导数及其应用


导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ? x , 那么函数 y 相应地有增量 ? y =f x 0 + ? x ) ( -f(x 0 ) 比值 ,
?y ?x

?y ?x

叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ? x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 。如果当 ? x ? 0 时,
?y ?x

=

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0

处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x 。
0

即 f(x 0 )= lim 说明:

?y ?x

?x? 0

= lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0



(1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ? x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。

?y ?x

有极限。如果

?y ?x

不存在极限,

(2) ? x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ? x ? 0 时,而 ? y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ? y =f(x 0 + ? x )-f(x 0 ) ;
?y ?x
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

(2)求平均变化率

=



(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y ?x

?x? 0



函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线 的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相 应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数: ① C ? ? 0;
x x
/

②? x

n

?? ? n x
x

n ?1

;

③ (sin x ) ? ? co s x ; ⑦ ? ln x ? ? ?
1 x

④ (cos x ) ? ? ? sin x ; ⑧ ? l o g a x ?? ?
1 x lo g a e .

⑤ ( e ) ? ? e ; ⑥ ( a ) ? ? a ln a ;
x

;

1

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v ) ? u ? v .
' ' '

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: ( uv ) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为常数,则 ( Cu ) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以
' ' ' ' '

函数的导数: ( Cu ) ? Cu .
' '

法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方: ? 形如 y=f ?? ( x )
u ' v ? uv ' ?u? (v ? 0) 。 ? ‘= 2 v ?v?

? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:

y'| X = y'| U ·u'| X

(二)典型例题分析 题型一:导数的概念及其运算 例1.
如果质点 A 按规律 s ? 2 t 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为(
3



A. 6m/s

B. 18m/s

C. 54m/s

D. 81m/s

变式:定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x ) | ≤M 成立,则称 f ( x ) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界. 【文】 (1)若已知质点的运动方程为 S ( t ) ?
1 t ?1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ? ) 上的每一时刻

的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

【理】 (2)若已知质点的运动方程为 S ( t ) ?

2 t ? 1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ? ) 上的每一时

刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

2

例2.

已知 f ( x ) ?
1 4

1 x

, 则 lim

f (2 ? ?x) ? f (2) ?x 1 4
f ?3 ? h ? ? f ?3 ? 2h

?x? 0

的值是( )

A. ?

B. 2

C.

D. -2

变式 1: 设 f ? ?3 ? ? A.-1

4 , 则 lim

h? 0





) D.1

B.-2
f

C.-3

变式 2: 设 f ? x ? 在 x 0 可 导 , 则 lim A. 2 f ? ? x 0 ?

? x0

? ?x ? ? f ?x

? x0

? 3? x ?

?x? 0

等于



) D. 4 f ? ? x 0 ?

B. f ? ? x 0 ?

C. 3 f ?? x 0 ?

例3. 求所给函数的导数:
( 文 科 ) y ? x ? lo g 2 x ; y ? x e ; y ?
3 n x

x ?1
3

sin x

( 理 科 ) y ? ( x ? 1) ; y ? 2 e ;
99

?x

y ? 2 x sin ? 2 x ? 5 ?

变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) > 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) ) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

题型二:导数的几何意义
① 已知切点,求曲线的切线方程; 注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数
f ? ( x ) ,并代入点斜式方程即可.

例4.

曲线 y

? ? x ? 3 x ? 1 在点 (1, 1)
3 2

处的切线方程为( C. y
? ?4 x ? 3

) D. y
? 4x ? 5

A. y

? 3x ? 4

B. y

? ?3x ? 2

3

② 已知斜率,求曲线的切线方程; 注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.

例5.

与直线 2 x ?
y?3?0

y?4?0

的平行的抛物线 y
y?3?0

? x

2

的切线方程是(
y ?1? 0

) D. 2 x ?
y ?1? 0

A. 2 x ?

B. 2 x ?

C. 2 x ?

③ 已知过曲线外一点,求切线方程; 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.

例6.

0 求过点 ( 2, ) 且与曲线 y

?

1 x

相切的直线方程.

变 式 1 、已 知 函 数 y ? f ( x ) 的 图象 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方程 是 y ?
f (1 ) ? f ? (1 )?

1 2

x ? 2 ,则



变式 2、

4

考点二:导数应用
(一)知识清单
1. 单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x ) 在某个区间可导,
' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;

' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数;

' 如果在某区间内恒有 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为常数;

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数? ( x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间 [a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式

In= ? f (ξ i)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限叫做函
i= 1 n

n

数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: ? f ( x ) dx ,即 ? f ( x ) dx = lim
a a

b

b

n? ?

?

f (ξ i)△x。

i ?1

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0 dx =C;
?x
m

dx =

1 m ?1

x

m ?1

+C(m∈Q, m≠-1) ;

?

1 x
x

dx=ln x +C;
dx = e +C;
x

?e

x

? a dx =
x

a

+C;

ln a

5

? cos
? sin
b

xdx =sinx+C; xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。

(2)定积分的性质 ① ? kf ( x ) dx ? k ? f ( x ) dx (k 为常数) ;
a a b

② ? f ( x ) ? g ( x ) dx ?
a

b

?

b

f ( x ) dx ?

a

?

b

g ( x ) dx ;

a

③ ? f ( x ) dx ?
a

b

?

c

f ( x ) dx ?

a

?

b

f ( x ) dx (其中 a<c<b ) 。

c

(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线 x=a,x=b(a<b) x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲 , 边梯的面积 S ?

?

b

f ( x ) dx 。

a

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,

x=b (a<b) 围成, 那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC= ? f 1 ( x ) dx ?
a

b

?

b

a

f 2 ( x ) dx 。

(二)典型例题分析
题型一:单调性

例7.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
3

(1) f ( x ) ? x ? 3 x ;

(2 ) f ( x ) ? x ? 2 x ? 3;
2

(3 ) f ( x ) ? sin x ? x , x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 24 x ? 1.
3 2

6

变式 1:函数 f ( x ) ? x ? e A. ?? 1, 0 ? B. ?2 ,8 ?
1 3

?x

的一个单调递增区间是( D. ?0 , 2 ?



C. ?1, 2 ?
3 2

变式 2:已知函数 y ?

x ? x ? ax ? 5

(1)若函数的单调递减区间是(-3,1) ,则 a 的是 (2)若函数在 [1, ?? ) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是
3 变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x ) ? x ? ax 与 g ( x ) ? bx 2

. .
? c 的图象的一个公

共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

例8.

设函数 f ( x ) ? x ? ax
3

2

? 9 x ? 1( a ? 0 )

若曲线 y ? f ( x ) 的斜率最小的切线与直

线 12 x ? y ? 6 平行,求: (Ⅰ)a 的值;(Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.

7

例9.

3 2 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R ) , 函数 y ? f ( x ) 的图像在点 P (1, f (1)) 的

切线方程是 y ? x ? 4 . (Ⅰ)求函数
f (x)

的解析式;

2? ? ? k,k ? ? f (x) 3? (Ⅱ)若函数 在区间 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.

题型二:极值与最值

例10. 求函数

f (x) ? 1 3
3

1 3

x ? 4 x ? 4 的极值.
3

求函数 f ( x ) ?

x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3 ? 上的最大值与最小值..

8

变式 1: 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ,导函数 f ? ( x ) 在 ( a , b ) 内的图象如图所示,则 函数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

y

y ? f ?(x)

b

a

O

x

变式 2:已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx 在点 x 0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x ) 的图
3 2

象经过点 (1, 0) , ( 2, 0 ) ,如图所示.求: (Ⅰ) x 0 的值; (Ⅱ) a , b , c 的值.

变式 3:若函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x ) 极值 ?
3

4 3



(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x ) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

9

例11.

设函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? b ( a ? 0 ) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 ) ) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点以及极值.

例12. 已知三次函数

f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c
3 2

在x

? 1 和 x ? ? 1 时取极值,且 f ( ? 2) ? ? 4



(1) 求函数 y ? f ( x ) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x ) 的单调区间和极值;

10

3 2 例13. 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c , 过曲线 y ? f ( x ) 上的点 P (1, f (1)) 的切线方

程为 y=3x+1 (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? ? 2 处有极值,求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x ) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x ) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围

题型三:导数综合运用 ① 导数单调区间、极值、最值在选择题中的应用

例14.

? (1).已知函数 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f ( x ) 的图像如下,则

( y



A.函数 f ( x ) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f ( x ) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f ( x ) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f ( x ) 有 1 个极大值点,3 个极小值点
? x1 ? x2 ? x3 O

x4

?

x

o O

11

? ? (2) 、已知函数 y ? xf ( x ) 的图象如图1所示(其中 f ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数) ,下面四

个图象中 y ? f ( x ) 的图象大致是(

)

(3).、若函数 y ? f ( x ) 的导函数在区间 [ a , b ] 上是增函数,则函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] ... 上的图象可能是 ( )

y

y y

y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

(4) 、.右图为函数 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f ( x ) 为函数 f ( x ) 的
3 2
'

导函数,则不等式 x . f ( x ) ? 0 的解集是
'

3 2 ? (5).设 a 为实数, 、 函数 f ( x ) ? x ? ax ? ( a ? 2) x 的导函数是 f ( x ) 是偶函数, a = 则

.

12

② 导数与不等式、函数等的综合问题

利用单调性、极值求参数的取值范围

例15.

已知 f ? x ? ? ax ? 3 x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。
3 2

变式:设函数 f(x)?2x3?3(a?1)x2?6ax?8,其中 a?R。 (1) 若 f(x)在 x?3 处取得极值,求常数 a 的值; (2) 若 f(x)在(??,0)上为增函数,求 a 的取值范围。

13

3 2 变式: 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R ) , 函数 y ? f ( x ) 的图像在点 P (1, f (1)) 的切

f (x) 线方程是 y ? x ? 4 . (Ⅰ)求函数 的解析式;
2? ? ? k,k ? ? f (x) 3? (Ⅱ)若函数 在区间 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.

例16.

设 a ? R ,函数 f ( x ) ? ax 3 ? 3 x 2 .

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,求 a 的值;
2 (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ), x ? [0, ] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值

范围.

14

③导数中的一些恒成立问题
f (x) ? ? 1 3 x ? 2 ax
3 2

例17. 设函数

? 3 a x ? b ,0 ? a ? 1 .
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间、极值.
? (2)若当 x ? [ a ? 1, a ? 2 ] 时,恒有 | f ( x ) |? a ,试确定 a 的取值范围.

例18. 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x ? c 在 x ? ?
(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间
2

2 3

与 x ? 1 时都取得极值

(2)若对 x ? [ ? 1, 2] ,不等式 f ( x ) ? c 恒成立,求 c 的取值范围

15

变式:设函数 f ( x ) ?

1 3

x ? (1 ? a ) x ? 4 a x ? 2 4 a ,其中常数 a>1
3 2

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

课后作业
? 1、曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点 (1, 3) 处的切线方程是
3 2



2 、.已知 曲 线 C: y ? x ? 3 x ? 2 x ,直线 l : y ? kx ,且 直线 l 与曲 线 C 相切于 点
3 2

?x0 , y 0 ?

x 0 ? 0 ,求直线 l 的方程及切点坐标。

16

3、设函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
3

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x ) 的最小值为 ? 12 。 (1)求 a , b , c 的值;

(2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 [ ? 1, 3] 上的最大值和最小值。

3 2 4、设函数 f ? x ? ? x ? b x ? cx ( x ? R ) ,已知 g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ) 是奇函数。

(1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x ) 的单调区间与极值。

17

5、已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;
? (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3? ? 2 1?

6、已知函数 f ( x ) ? x ? (1 ? a ) x ? a ( a ? 2 ) x ? b ( a , b ? R ) .
3 2

(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ? 3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x ) 在区间 ( ? 1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

18

7、已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ? 9 a x ? a .
3 2 2 3

(1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?
1 4

,且当 x ? ?1, 4 a ? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
'

8、 若函数 f ? x ? ?

1 3

x ?
3

1 2

ax

2

? ? a ? 1 ? x ? 1 在区间 ?1, 4 ? 上是减函数, 在区间 ? 6 , ??

?上

是增函数,求实数 a 的取值范围.

19

附加:
) 1 . 福 建 ) 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x ) ? ? f ( x, g (? x ) ? g ( x ) 且 x ? 0 时 , ( , f ? ( x ) ? 0 g? ( x ? , ) 0 ,则 x ? 0 时(



A. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 C. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0
1 x

B. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 D. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 )

2 2. (海南)曲线 y ? e 2 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

A.

9 2

e

2

B. 4 e
x

2

C. 2 e
2

2

D. e

2

3. (海南)曲线 y ? e 在点 (2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 4
2



A.

e

2

B. 2 e

2

C. e

2

D.

e

2

2

4. (江苏)已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x ) ? 0 ,则
f (1) f '( 0 )

的最小值为(
5 2


3 2

A. 3 5.若 0 ? x ? A. sin x ?
3 π π 2 x

B.

C. 2 )
4 π
2

D.

,则下列命题中正确的是( B. sin x ?
π 2 3 π x

C. sin x ?

x

2

D. sin x ?

4 π
2

x

2

6. (江西)若 0 ? x ? A. sin x ?
2 π x

,则下列命题正确的是(
2 π x


3 π x

B. sin x ?

C. sin x ?

D. sin x ?

3 π

x

7. (辽宁)已知 f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x ) 与 g ( x ) 仅当 x ? 0 时的 函数值为 0,且 f ( x ) ≥ g ( x ) ,那么下列情形不可能出现的是( ... A.0 是 f ( x ) 的极大值,也是 g ( x ) 的极大值 B.0 是 f ( x ) 的极小值,也是 g ( x ) 的极小值 C.0 是 f ( x ) 的极大值,但不是 g ( x ) 的极值 D.0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x ) 的极值 )

20

8. (全国一)曲线 y ?
1 9 2 9

1

? 4 3 x ? x 在点 ? 1, 3 ? 3

? ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ?



A.

B.

C.
x
2

1 3

D.

2 3
1 2

9. (全国二)已知曲线 y ? A.1 B.2

的一条切线的斜率为 C.3

,则切点的横坐标为( D.4



4

10. (浙江)设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是( )

11. (北京) f ? ( x ) 是 f ( x ) ?

1 3

3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?( ? 1) 的值是

12. (广东)函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0) 的单调递增区间是 13. (江苏)已知函数 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? 8 在区间 [ ? 3, 3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,
3

则M ? m ? 14. (福建)设函数 f ( x ) ? tx ? 2 t x ? t ? 1( x ? R , t ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h ( t ) ;
2) (Ⅱ)若 h ( t ) ? ? 2 t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21

15. (广东)已知 a 是实数, 函数 f ( x ) ? 2 ax ? 2 x ? 3 ? a . 如果函数 y ? f ( x ) 在区间 [ ? 1,1]
2

上有零点,求 a 的取值范围.

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