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广东省珠海市2013届高三9月摸底数学理试题(2013珠海一模)


珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2}, B ? { x | 0 ? x ? 5}, 则集合 ( CU A ) ? B = A. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} B. { x | 0 ? x ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那 么 2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?

A.—3 3.函数 f ( x ) ? a ? a
x

B.—2
?x

C.1
?x

D.2 ,其中 a ? 0, a ? 1 ,则
B . f ( x )、 g ( x ) 均为奇函数 D . f ( x ) 为奇函数 , g ( x ) 为偶函数

? 1 , g ( x) ? a ? a
x

A . f ( x )、 g ( x ) 均为偶函数
C . f ( x ) 为偶函数 , g ( x ) 为奇函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. A、 是 x 轴上的两点, P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 设 B 点 则直线 PB 的方程是 A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况

统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计
n ( ad ? bc )
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

由K ?
2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? 5.56

ks5u

附表:
P(K ? k )
2

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

则下列说法正确的是:

ks5u

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B..在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ; 8.设 U 为全集,对集合 X 、 Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、 Y 、 Z , X ? (Y ? Z ) ? A . ( X ? Y ) ? ( CU Z ) D. ( CU X ) ? ( CU Y ) ? Z 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6 , c ? 7 ,则 cos C ?
x a
2 2

B . ( X ? Y ) ? ( CU Z )

C . [( CU X ) ? ( CU Y )] ? Z

.

10. 已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,
2

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______.

11.不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 12.右图给出的是计算
1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 20

. 的值的一个程序框图, .

2 4 6 其中判断框内应填入的条件是

? 1 x ?( ) ? 2 13. f ( x ) ? ? 2 ? 2x ? 2 ?

x?0 x?0

, 则 f ( x) ? x 的 零 点 个 数 是

________________. 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则 BF ? . FC

A D C

E B F

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 1 ? sin 2 x 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x ) ? . cos x 4 (1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ? ,求 f (? ) 的值. 3 17. (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x 2 。根据市场分 析, x1 和 x 2 的分布列分别为:
x1

5% 0.8

10% 0.2

x2

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

P

P

(1) A、 两个项目上各投资 100 万元,y1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 在 B 求方差 Dy1 、 Dy 2 ; (2)将 x (0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x ) 的最小值, 并指出 x 为何值时,
f ( x ) 取到最小值.(注: D ( ax ? b ) ? a Dx )
2

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ? ADC ? 90 ? , CD / / AB , AB ? 2 AD , AD ? CD , M 为

线段 AB 的中点.将 ? ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如 图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C D

C A M 图1

.

B
第 18 题图

19.(本小题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ? a ?

2 b ?1
x

M 图2 ( a ? R , b ? 0且 b ? 1)

A

B

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e .

(1)若 e ?

3 2

,求椭圆的方程;

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若
2 2 ?e? 3 2

坐标原点 O 在以 M N 为直径的圆上,且 21.(本小题满分 14 分)

,求 k 的取值范围.

已知正项数列 ?a n ?中, a 1 ? 6 , 点 A n ( a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上;数列 ?b n ? 中,
2

点 B n ( n , b n ) 在过点(0,1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上. (1)求数列 ?a n ?, ?b n ? 的通项公式;
? a n , ( n 为奇数 ) ,问是否存在 k ? N , 使 f ( k ? 27 ) ? 4 f ( k ) 成立,若存 (2)若 f ( n ) ? ? ? b n , ( n 为偶数 )

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式
(1 ? a 1 b1 )(1 ?
n ?1

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

? )

a

n

n ? 2 ? an

? 0 恒成立,

求正数 a 的取值范围.

高三理科数学试题第 4 页(共 14 页)

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题与参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2}, B ? { x | 0 ? x ? 5}, 则集合 ( CU A ) ? B =( A. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} B. { x | 0 ? x ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2}

)B

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那 么 2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?



)C

A.—3 3.函数 f ( x ) ? a ? a
x

B.—2
?x

C.1
?x

D.2 ,其中 a ? 0, a ? 1 ,则(
B . f ( x )、 g ( x ) 均为奇函数 D . f ( x)

? 1 , g ( x) ? a ? a
x

)C

A . f ( x )、 g ( x ) 均为偶函数
C . f ( x ) 为偶函数 , g ( x ) 为奇函数

为奇函数 , g ( x ) 为偶函数 4. 如图是某几何体的三视图, 则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180 B

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. A、 是 x 轴上的两点, P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 设 B 点 则直线 PB 的方程是( A. 2 x ? y ? 7 ? 0 )B C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 5 ? 0

7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况

高三理科数学试题第 5 页(共 14 页)

统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计
n ( ad ? bc )
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

由K ?
2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? 5.56

附表:
P(K ? k )
2

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

则下列说法正确的是:

C

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B..在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ; 8.设 U 为全集,对集合 X 、 Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、 Y 、 Z , X ? (Y ? Z ) ? A . ( X ? Y ) ? ( CU Z ) D. ( CU X ) ? ( CU Y ) ? Z 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6 , c ? 7 ,则 cos C ? . 1/5 D C . [( CU X ) ? ( CU Y )] ? Z

B . ( X ? Y ) ? ( CU Z )

10. 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,
2

那么双曲线的焦点坐标为______; ( ? 2, 0) 渐近线方程为_______., 3 x ? y ? 0 (两问全对 5 分,只答对一问 3 分)
高三理科数学试题第 6 页(共 14 页)

11. 不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是

5 1 . ( ?? , ? ) ? ( , ?? ) 2 2

12.右图给出的是计算

1

2 4 6 其中判断框内应填入的条件是 即 i>a,10<a ? 11,例如 i>10.1,i=11 等)

?

1

?

1

? ??? ?

1 20

的值的一个程序框图, . i ? 10 (答案不唯一,

? 1 x ?( ) ? 2 13. f ( x ) ? ? 2 ? 2x ? 2 ?

x?0 x?0

, 则 f ( x) ? x 的 零 点 个 数 是

________________.2 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________;1

15. (几何证明选讲选做题)

A
如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则 BF 1 ? . FC 2

E B F

D C

高三理科数学试题第 7 页(共 14 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x ) ?
1 ? sin 2 x cos x
4 3

。 ,求 f (? ) 的值.

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ? 16.解:(1)由 cos x ? 0 得 x ? k ? ?

?
2

(k∈Z), ?3 分

故 f ( x ) 的定义域为{x| x ? k ? ? (2)由 tan ? = ?
4 3

?
2
2

,k∈Z}?5 分
2

,得

sin ? cos ?

??

4 3

,而 sin ? ? cos ? ? 1
4 5

且α 是第二象限的角, 解得 sin ? =
1 ? sin 2? cos ? 1 ? 2 sin ? cos ? cos ?

, cos ? = ?
4

3 5

,?9 分

1? 2?

故 f (? ) =

=

=

3 ? (? ) 5 5 = ? 49 .?12 分 3 15 ? 5

17. (本小题满分 12 分) A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x 2 。根据市场分析, x1 和 x 2 的分布列分 别为:
x1

5% 0.8

10% 0.2

x2

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

P

P

(1) A、 两个项目上各投资 100 万元,y1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 在 B 求方差 Dy1 、 Dy 2 ; (2)将 x (0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x ) 的最小值, 并指出 x 为何值时,
f ( x ) 取到最小值.(注: D ( ax ? b ) ? a Dx )
2

17. 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为
Y1

5 0.8

10 0.2

Y2

2 0.2

8 0.5

12 0.3

P

P

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ………………………………………….1 分
DY1 ? (5 ? 6) ? 0.8 ? (10 ? 6) ? 0.2 ? 4 …………………………...3 分
2 2

EY 2 ? 2 ? 0 .2 ? 8 ? 0 .5 ? 12 ? 0 .3 ? 8 ………………………………..4 分
DY2 ? (2 ? 8) ? 0.2 ? (8 ? 8) ? 0.5 ? (12 ? 8) ? 0.3 ? 12 ………..6 分
2 2 2

(Ⅱ) f ( x ) ? D (
?( ? ? x 100 4
2

x

) DY1 ? (
2 2

100 100 ? x 100

Y1 ) ? D (
2

100 ? x 100

Y2 ) ………………………….7 分

) DY2 ……………………………………….8 分

100 4

[ x ? 3(100 ? x ) ]
2

100 600 ? 75 时, f ( x ) ? 3 为最小值。…………………………12 分 当x ? 2? 4

2

(4 x ? 600 x ? 3 ? 100 ) ……………………………………..10 分
2 2

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ? ADC ? 90 ? , CD / / AB , AB ? 2 AD , AD ? CD , M 为 线段 AB 的中点.将 ? ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如 图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C C

A

M 图1

.

B
第 18 题图

A

M 图2

B

18. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)在图 1 中,设 AD ? CD ? a ,可得 AC ? BC ? 2 a ,从而 AC ? BC ? AB , 故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ……4 分 ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ……6 分
2 2 2

另解:在图 1 中, 设 AD ? CD ? a ,可得 AC ? BC ? 2 a ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ADC ? 面 ABC ,面 ADC ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD (Ⅱ)法一.连接 M O ,过 O 作 OE ? CD 于 E ,连接 ME ∵ M 、 O 分别是 AB 、 AC 中点 ∴ MO ? 平面 ACD ……………………………………….7 分 ∴ DC ? MO ……………………… ks5u……….8 分 ∴ DC ? 平面 M OE ……………………………………….9 分 ∴ DC ? ME ∴ ? OEM 是二面角 A ? CD ? M 的平面角……………………………………….11 分
2 2 2

由 S ? DOC ?

1 2

OE ? a ?

1 4

a 得 OE ?
2

1 2

a , ME ?

3 2

a

∴ Rt ? MOE 中 cos ? OEM ?

OE ME

? 3 3

3 3

……………………………………….13 分

∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 ( Ⅱ )
2 2

.……14分 系
O ? xyz

建 立 空
2 2





角 坐 标
2 2 a)





所 示

,



M (0,

a , 0) , C ( ?

a , 0, 0) , D (0, 0,

???? ? ???? 2 2 2 2 CM ? ( a, a , 0) , CD ? ( a , 0, a) 2 2 2 2 ?? 设 n1 ? ( x , y , z ) 为面 CDM 的法向量,

8分 z D

? 2 2 ?? ???? ? ? n1 ? C M ? 0 ? 2 ax ? 2 ay ? 0 ?y ? ?x ? ? 则 ? ?? ???? 即? ,解得 ? ?z ? ?x 2 ? n1 ? C D ? 0 ? 2 ? ax ? az ? 0 ? 2 ? 2 ?? 令 x ? ? 1 ,可得 n1 ? ( ? 1,1,1) ?? ? 又 n 2 ? (0,1, 0) 为面 ACD 的一个发向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 1 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n 2 ?? ?? ?? ? 3 | n1 || n 2 | 3

C O A x M B y

∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 ……14分

3 3

.

19.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ? a ?
2
x

b ?1 (1)判断函数的单调性并证明;

( a ? R , b ? 0且 b ? 1)

(2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。 19.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明:设 x1 < x2 ;

??2 分

f (x1) – f (x2) = a?

2 b
x1

?1

?( a?

2 b
x2

?1

)=

2 (b (b
x

x1

?b

x2

) ? 1)

x1

? 1)( b
x2

x2

当 b ? 1时

? x1<x2

?b1?b
x

x2

得b 1 ? b

<0

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数;

??6 分

当 0 ? b ? 1时 ? x1<x2 ? b 1 ? b
x

x2

得b 1 ? b
x

x2

?0

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R, 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .
2 b
?x

??10 分

?11 分
b b
?x ?x

当 a ? 1 时, f ( ? x ) ? 1 ?

?1

?

?1 ?1

?

1? b 1? b

x x

, f ( x) ? 1 ?

2 b ?1
x

?

b ?1
x

b ?1
x



满足条件 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?14 分

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e .

(1)若 e ?

3 2

,求椭圆的方程;

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若
2 2 ?e? 3 2

坐标原点 O 在以 M N 为直径的圆上,且 20. (本小题满分 13 分)

,求 k 的取值范围.

?c ? 3 ? 解: (1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a

??????2 分

结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2

2

??????4 分

所以,椭圆的方程为

x

2

12

?

y

2

3

?1.

??????5 分

? x2 y2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx , ?

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) . 所以 x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ?
?a b
2 2 2 2 2

b ?a k



?

ks5u??7 分

依题意, OM ? ON , 易知,四边形 O M F2 N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 ,
???? ? ???? ? 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x 2 ? 3, y 2 ) , ???? ???? ? ? 2 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3) ( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k ) x x2 ? 9 ? 0 . 1

??????8 分

??????9 分

[即

? a ( a ? 9)(1 ? k )
2 2 2

a k ? ( a ? 9)
2 2 2
4

?9 ? 0,

??????10 分

将其整理为 k ?
2

a ? 18 a ? 81
2

2

? a ? 18 a
4

2

? ?1 ?

81 a ? 18 a
4 2

.

因为

2 2

?e?

3 2

,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 .
2

??????12 分

所以 k ?
2

1 8

,即 k ? ( ?? , ?

2 4

]? (

2 4

, ?? ] .

??????14 分

21.(本小题满分 14 分) 已知正项数列 ?a n ?中, a 1 ? 6 , 点 A n ( a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上;数列 ?b n ? 中,
2

点 B n ( n , b n ) 在过点(0,1) ,以 k ? 2 为斜率的直线上。 (1)求数列 ?a n ?, ?b n ? 的通项公式;
? a n , ( n 为奇数 ) ,问是否存在 k ? N , 使 f ( k ? 27 ) ? 4 f ( k ) 成立,若存 (2)若 f ( n ) ? ? b n , ( n 为偶数 ) ?

在,求出 k 值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式
(1 ? a 1 b1 )(1 ?
n ?1

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

? )

a

n

n ? 2 ? an

? 0 恒成立,

求正数 a 的取值范围。 21.解: (Ⅰ)将点 A n ( a n ? 1, a n ?1 ) 代入 y ? x 中得 a n ?1 ? a n ? 1
2

? a n ?1 ? a n ? d ? 1,? a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 5 ????????2 分

∵直线 l : y ? 2 x ? 1
? b n ? 2 n ? 1 ????????????????4 分

? n ? 5 , ( n 为奇数 ) (Ⅱ) f ( n ) ? ? ? 2 n ? 1, ( n 为偶数 )

当 k 为偶数时,k+27 为奇数,
? f ( k ? 27 ) ? 4 f ( k ), ? k ? 27 ? 5 ? 4 ( 2 k ? 1),
? k ? 4 ????6 分

当 k 为奇数时,k+27 为偶数,
? 2 ( k ? 27 ) ? 1 ? 4 ( k ? 5 ), ? k ? ( 舍去 ) 2 综上,存在唯一的 k=4 符合条件??????????????8 分
a (1 ? 1 b1 )(1 ?
n ?1

35

(Ⅲ)由

1 b2
1 b1

) ? (1 ?

1 bn

? )

a

n

n ? 2 ? an

? 0,

即a ?

1 2n ? 3 1

(1 ?

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

) ??????????9 分

记 g (n) ?

2n ? 3 1

(1 ?

1 b1

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

)

? g ( n ? 1) ?

2n ? 5

(1 ?

1 b1

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

)(1 ?

1 bn ? 1

)

? ? ?

g ( n ? 1) g (n)

?

2n ? 3 2n ? 5

(1 ?

1 bn ?1

)

2n ? 3 2n ? 4 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 4 n ? 16 n ? 16
2

2n ? 4 2n ? 5 ? 2n ? 3

4 n ? 16 n ? 15
2

?1

? g ( n ? 1) ? g ( n ), 即 g ( n ) 递增????????13 分

? g ( n ) min ? g (1) ?

1 4 5 3

?

4 5 15

?0 ? a ?

4 5 15

??????????

ks5u????14 分


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