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2.2.1 条件概率(一)


高二数学 选修2-3

2.2.1条件概率(一)

复习引入:
我们知道求事件的概率有加法公式: 若事件A与B互斥,则. P( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) 那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A ? B (或 A ? B );

r />2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, 记为 A ? B (或 A B );

3.若 A B 为不可能事件,则说事件A与B互斥.

探究:
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学 无放回的抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。

思考1?
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 一般地,在已知另一事件A发生的前提下,事件B发 生的可能性大小不一定再是P(B).即 P ( B | A ) ? P ( B ) 条件的附加意味着对样本空间进行压缩.

思考2?
对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢?
n( AB ) P (B | A) ? n( AB ) n( A) ? n (? ) n( A) n (? ) ? P ( AB ) P ( A)

P(B |A)相当于把A看作新的 基本事件空间求A∩B发生的 概率

?

B

A

基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”,叫做条件概率。 记作P(B |A).

2.条件概率计算公式:
注 :⑴ 0 ≤ P (B | A) ≤ 1 ; ⑵几何解释: ⑶可加性: 如 果 B和 C 互 斥 ,

P( A | B ) ?

P ( AB ) P( A )

?

B

A

那 么 P ? ( B ? C ) | A ? ? P ( B | A ) ? P (C | A )

引例:
掷红、蓝两颗骰子。 设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A),P(B),P(AB) (2)在“事件A已发生”的附加条件下事件B发 生 的概率?

(3)比较(2)中结果与P(B)的大小及三者概率之 间关系

基本概念
3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P ( AB ) 表示在样本空间 ? 中 , 计算 AB 发生 ?
A

的概率 , 而 P ( B A ) 表示在缩小的样本空间 计算 B 发生的概率 P (B A ) ? P ( AB ) ? ? .用古典概率公式 , ,则

中,

AB 中样本点数
A

中样本点数

AB 中样本点数 ? 中样本点数

一般来说 , P ( B A ) 比 P ( AB ) 大 .

小试牛刀:
1在6道题中有4道理科题和2道文科题,如果不放回
的依次抽取2道题 (1)第一次抽到理科题的概率 (2)第一次与第二次都抽到理科题的概率 (3)第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科 题的概率.

练习

抛掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷

出6点,问:掷出点数之和大于等于10的概率。

变式 :抛掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少
有一个是6点的概率?

2 考虑恰有两个小孩的家庭.(1)若已知某一家有
一个女孩,求这家另一个是男孩的概率;(2)若已 知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第 二个也是男孩)的概率.(假定生男生女为等可能)
1

3 设P(A|B)=P(B|A)=

,P(A)= ,求P(B).
2

1

3

4

盒中有球如表. 任取一球 玻璃 红 蓝 2 4 木质 3 7 总计 5 11

总计

6

10

16

若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.

变式 :若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.

1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P ( A ) ? 0.7, P ( B ) ? 0.56

由 于 B ? A故 A ? B ? B,
所求概率为
P ( B A) ? P( AB) P ( A) ? P(B) P ( A) ? 0 .8

?

0.56

0.7

B
5

A

2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}={1,3,5} A={出现的点数不超过3}={1,2,3}

若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数 的概率
解:即事件 A 已发生,求事件 B 的概率 也就是求:P(B|A) ? A B 都发生,但样本空 间缩小到只包含A的样本点 1 5 A n( AB ) 2 3 2 P (B | A) ? ?
n( A) 3

B

4,6

3.

设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规 定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得一 等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品 的概率. 解 设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则
70 100 ? 0 .7

P (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, ( B ) ?

(2)方法1: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以
? B ? A ? AB ? B 70 P (B A) ? ? 0 .7 3 6 8 95

方法2:
P (B A) ?

?

P( AB ) P ( A)

?

70 100 95 100

? 0 .7 3 6 8

B
5

70

95

A


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