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山东省淄博市2013高三文科数学复习:27高考模拟试卷(三)


高考模拟试卷(三)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 A ? CU B = ( A. {x | 0 ? x ? 1} C.

{x | 0 ? x ? 2} 2.复数 z ? B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1} ) D.第四象限 )

1 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

3.给出如下四个命题: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ② 命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”; ③ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”; “ ④ 在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件.其中不正确的命题的个数是( ... A.4 B.3 C.2 )
2



D.1

4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( A. (5 ? 5 )? C. (10 ? 10)? B. (20 ? 2 5 )? D. (5 ? 2 5 )?

2 主视图

2 左视图

5.对于数列 ?an ? ,“ an , an?1 , an?2 (n=1,2,3, …)成等比数列”是
2 “ an?1 ? an an?2 ”的( )

2

俯视图

(第 7 题图) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A. 必要不充分条件 C. 充要条件

6. 容量为 100 的样本数据,依次分为 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 ) 3 4 5 15 6 13 7 12 8 9

3x

x

则第三组的频率是(

-1-

A.0.12

B.0.21

C.0.15

D. 0.28

7.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环 体的 A. 2 判断框内① 处应填( B. 3 C. 5 ) D. 7

? x? y ?2 ? 8.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? 5 x ? y 的最 ?3x ? y ? 6 ? 0 ?
大值 为( A.12 ) B.10 C.8 D. ? 2

9.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 是( ) B. a ? b C. a ? b

? ,那么下列结论中一定成立的 2

A. | a |?| b |

D. a // b

10.已知双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 a 2 b2
)



5 c (c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率为( 3
A.

5 2

B.

3 2

C.

3 5 2

D.

2 3
)

11. 已知 x ? 0, y ? 0 ,若 A. m ≥ 4 或 m ≤ ?2 C. ?2 ? m ? 4

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y
B. m ≥ 2 或 m ≤ ?4 D. ?4 ? m ? 2 D )

12.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 ( ??, 0) 内有解,则 y ? f ( x ) 的图象是(

-2-

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 ) 13.已知 f ( x) ?

1 ,则 f ( f (0)) = x ?1
2

14.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ? 1 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? 15.若 f (n ) 为 n 2 ? 1(n ?N*) 的各位数字之和,如: 142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17, 则 f (14) ? 17; 记
f1 (n) ? f (n), f 2 (n) ? f ( f1 (n)),?, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)), k ?N * ,则 f 2012 (8) ?

.

16.三角形 ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 所对的三边;能得出三角形 ABC 一定是锐角三角 形的条件是 ③b ? 3, c ? 3 3, B ? 30? ( 只 写 序 号 ) ① sin A ? cos A ? ④tan A ? tan B ? tan C ? 0

1 5

??? ??? ? ? ② AB ? BC ? 0

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 已知向量 a =( cos ? x,sin ? x ) b =( cos?x , 3 cos?x ) , ,其中( 0 ? ? ? 2 ) .函数

?

?

f ( x) ? a ? b ?

1 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? . 2 6

(I)求函数 f ( x) 的表达式及单调递增区间; (Ⅱ )在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为其面积,若 f ( ) =1,b=l, S△ABC= 3 ,求 a 的值.

A 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PD ⊥底面

ABCD , PD 底面 ABCD 为正方形, = DC ,

E , F 分别是 AB , PB 的中点.
(I)求证: EF // 平面 PAD ; (II)求证: EF ? CD ; (III) PD=AD=a, 求三棱锥 B-EFC 的体积. 设

19.(本小题满分 12 分) 从含有两件正品和一件次品的 3 件产品中,每次任取 1 件

-3-

(Ⅰ)每次取出后不放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件次品的概率; (Ⅱ)每次取出后放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件次品的概率;

20. (本小题满分 12 分) 一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如 图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米, 池底建造单价为 80 元/米 2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? 是定义在实数集 R 上的奇函数, x >0 时, f ?x ? ? ax ? ln x, 其中a ? R. 当 (1)已知函数 f ?x ? 的解析式; (2)若函数 f ?x ? 在区间 ?? ?,?1? 上是单调减函数,求 a 的取值范围;
/ (3)试证明对 ?a ? R, 存在 ? ? ?1, e ?, 使f ?? ? ?

f ?e ? ? f ?1? e ?1

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

y 2 x2 2 ? 2 ? 1?a >b> 0 ? 的离心率为 , 且椭圆上一点到两个焦点的距离之 2 a b 2

和为 2 2 .斜率为 k ?k ? 0? 的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M(0,m). (1)求椭圆的标准方程; (2)求 m 的取值范围. (3)试用 m 表示△MPQ 的面积 S,并求面积 S 的最大值.

-4-

高考模拟试卷(三)参考答案及评分标准
一、选择题 BACAB 二、填空题 13. BBBAB DD

1 2

14.360 15.5 16.④

三、解答题

由余弦定理得 a ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ?1cos 60? ? 13
2 2 2

………………………11 分

故 a ? 13 ………………………………………………………………………12 分 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )证明:? E,F 分别是 AB,PB 的中点,

? EF // AP.
又? EF ? 平面PAD, AP ? 平面PAD ,

? EF // 平面PAD .………………………4 分
(Ⅱ )证明:? 四边形 ABCD 为正方形,? AD ? CD .
-5-

0

又? PD ? 平面ABCD ,

? PD ? CD ,且AD ? PD=D .

?CD ? 平面PAD , 又? PA ? 平面PAD ,
? CD ? PA .

又? EF // PA ,
? EF ? CD . ………………………8 分
(Ⅲ )解:连接 AC,DB 相交于 O,连接 OF, 则 OF⊥ ABCD, 面

V ∴ B ? EFC ? VF ? EBC ?
19(1)

1 1 1 a a 1 2 S ?EBC ? OF ? ? ? a ? ? ? a . ………………………12 分 3 3 2 2 2 24

2 5 (2) 9 3
x

20.解: (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 162 米 则总造价 f ( x) ? 400 ? (2 x ? 2
? 1296x ?

162 ) ? 248 ? 2 x ? 80 ? 162 x

………………………4 分

129600 100 100 ? 12960? 1296 x ? ( ) ? 12960? 1296? 2 x ? ? 12960? 38880(元) x x x

………………………6 分 当且仅当 x ? 100 ( x ? 0) ,即 x ? 10 时取等号 x 宽为 10 米时总造价最低, 最低总造价为 38 880 元 ? 当长为 16.2 米, 8分
?0 ? x ? 16 1 (2)由限制条件知 ? ,?10 ? x ? 16 ? 162 8 ?0 ? x ? 16 ?

………………………

………………………9 分 设 g ( x) ? x ? 100 (10 1 ? x ? 16). x 8
1 g (x) 在 [10 ,16 ] 上是增函数, 8
1 , ? 当 x ? 10 时(此时 162 ? 16 ) g (x) 有最小值,即 f (x) 有最小值 8 x
? 当长为 16 米,宽为 10

1 米时,总造价最低 8

………………………

12 分 21.解: (1) f (0) ? 0 ………………………1 分

-6-

x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ax ? ln(? x)

………………………3 分

?ax ? ln x, x ? 0 所以 f ( x) ? ?0, x ? 0 ? ?ax ? ln(? x), x ? 0 ?

………………………4 分

(2)函数 f (x) 是奇函数,则 f (x) 在区间 (??,?1) 上单调递减,当且仅当 f (x) 在区间 (1,??) 上 单调递减,当 x ? 0 时, f ( x) ? ax ? ln x, f ' ( x) ? a ? 1 x 分 由 f ?? x ? ? a ? 分) 所以 a 的取值范围为 ?? ?,?1? ………………………(9 分) (3) ………………………6

1 1 1 <0 得 a < ? ,? 在区间(1,+ ? )的取值范围为 ?? 1,0? ………………(8 x x x

f ?e ? ? f ?1? ?qe ? 1? 1 ? ?a? ………………………(10 分) e ?1 e ?1 e ?1

解 f ??? ? ? a ?

1

?

?a?

1 e ?1

因为 1<e—1<e,所以 ? ? e ? 1 为所求………………………(12 分)

22.解: (1)依题意可得 ?

?a ? c ? 2 ? 1, ? ?a ? c ? 2 ? 1, ?
2 2

解得 a ? 2 , c ? 1.

从而 a ? 2, b ? a ? c ? 1. 所求椭圆方程为
2 2

y2 ? x 2 ? 1. ………………………4 分 2

(2)直线 l 的方程为 y ? kx ? 1.

? y ? kx ? 1, ? 2 2 由 ? y2 可得 k ? 2 x ? 2kx ?1 ? 0. 2 ? ? x ? 1, ?2

?
2

?

该方程的判别式△ 4k ? 4 2 ? k =

?

2

? ? 8 ? 8k

2

>0 恒成立.

设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ?, 则 x1 ? x2 ? 分 可得 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ?

? 2k 1 , x1 x2 ? ? 2 . ………………………5 2 k ?2 k ?2

4 . k ?2
2

-7-

设线段 PQ 中点为 N,则点 N 的坐标为 ?

2 ? ? ?k , 2 ?. ………………………6 分 2 ?k ?2 k ?2?

线段 PQ 的垂直平分线方程为 y ? 令 x ? 0 ,由题意 m ?

2 1? k ? ? ?x? 2 ?. k ?2 k ? k ?2?
2

1 . ………………………7 分 k ?2 1 又 k ? 0 ,所以 0< m < . ………………………8 分 2
2

(3)点 M ?0, m ? 到直线 l : y ? kx ? 1 的距离 d ?

m ?1 1? k 2

?

1? m 1? k 2

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
2

4 ? ? 2k ? ? 1? k ? ? 2 ? ? 2 ?k ?2? k ?2

1? k 2 ?

8k 2 ? 8 k2 ? 2

于是 S ?MPQ?

1 1 1? m 8k 2 ? 8 ? d ? PQ ? ? ? 1? k 2 ? 2 2 2 1? k 2 k ?2
? 1 ? m 8k 2 ? 8 ? 2 . 2 k ?2

由m ? 即S ?

1 1 3 , 可得 k 2 ? ? 2. 代入上式,得 S ?MPQ ? 2m?1 ? m ? , k ?2 m
2

1? 3 2m?1 ? m ? ?0 < m < ? .………………………11 分 2?
3

设 f ?m? ? m?1 ? m? , 则 f ??m? ? ?1 ? m? ?1 ? 4m?.
2

而 f ??m? >0 ? 0<m<

1 1 1 , f ??m ? <0 ? <m< , 4 2 4

所以 f ?m ? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ?

? ?

1? 4?

?1 1? , ? 上单调递减. ?4 2?

所以当 m ?

1 ? 1 ? 27 时, f ?m ? 有最大值 f ? ? ? . ………………………13 分 4 ? 4 ? 256 1 3 6 . ………………………14 分 时,△ MPQ 的面积 S 有最大值 4 16
-8-

所以当 m ?

-9-


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