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安徽省望江县10-11学年度高一上学期期末统考(数学)


2010望江县 2010-2011 学年(上)期末联考
高一年级(数学) 高一年级(数学)试题 命题: 命题:金盛林
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分为 150 分, 考试用时 120 分钟。 第 I 卷(选择题 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 选择题( 项是符合题目要求的) 只有一项是符合题目要求的) 1. 设全集 I 是实数集 R. M = {x | x 2 > 4}与N = {x |1 < x ≤ 3} 都是 I 的子集 (如图所示,则 阴影部分所表示的集合为: ( A. x x < 2 )

{ {

} }

B. x ?2 ≤ x < 1 D. x 1 < x ≤ 2

{

}

C. x ?2 ≤ x ≤ 2

{

}
D. sin α -tan α

) 2.若 α 为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( A. tan α +sin α B. sin α +cos α C. cos α -cot α 3. 下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0 0 0

) B. sin168 < sin11 < cos10
0 0 0 0 0

C. sin11 < sin168 < cos10
0 0

0

D. sin168 < cos10 < sin11 )

0

4.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( A. y = sin( x +

π
6

) ) ) )

B. y = sin(2 x ? C. y = cos(4 x ?

π
6

π π
3 6

D. y = cos(2 x ?

5.已知函数 f ( x ) = sin(ω x + A.关于点 ( C.关于点 (

π
3

)(ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数图象(
B.关于直线 x = D.关于直线 x =



π
3

, 0) 对称 , 0) 对称

π π
4

对称 对称

π

3 uuu uuu r r uuu r 6.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2 BP ,则(
A. PA + PB = 0

4

) D. PA + PB + PC = 0

uuu uuu r r

r

B. PB + PC = 0

uuu uuu r r

r

C. PC + PA = 0

uuu uuu r r

r

uuu uuu uuu r r r

r

7. 将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 析式是( ).

π
4

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解

A. y = cos 2 x 8.已知函数 f ( x ) = log a 围是( A. a <1 )

B. y = 2 cos x
2

C. y = 1 + sin( 2 x +

π
4

)

D. y = 2sin x
2

( ax 2 ? x )

(a > 0且a ≠ 1) 。若 f ( x) 在[2,4]上是增函数,则 a 的取值范

B. a >1

C. a <2

D. a >2

9.函数 f ( x ) 、 f ( x + 2) 均为偶函数,且当 x∈[0,2]时, f ( x ) 是减函数,设

1 a = f (log 8 ), b = f (7.5) , c = f (?5) ,则 a、b、c 的大小是( 2
A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c

) D. c > a > b

10. 已知函数 y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 在 [ ?2,2] 的图象如下所示: .

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x )] = 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x )] = 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 A. ①②③ ( ) B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ ②方程 g[ f ( x )] = 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] = 0 有且仅有 4 个根

第Ⅱ卷(非选择题 100 分) 小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 填空题(
11.已知点 P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[0,2π)内α的取值范围是__________。 12.

3 ? sin 70o = __________。 2 ? cos 2 10o

函数 f ( x ) = 2 sin ? x 在 [ ? 13. ? > 0 , 若

π π

, ] 上单调递增,则? 的取值范围__________。 3 4

14.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,点 A 坐标为 (1,2),点 B 坐标为(3,0).定义函数 g ( x ) = ( x ? 1) ? f ( x ) . 则函数 g(x)最大值为_____________。 15.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? _____________。
2

y A

B o 1 3 x

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ,则 f(2010)的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0

( 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: 推演步骤) 推演步骤)
16.(本小题满分 12 分) 记集合 A= ( ?∞, ?1) U [1, +∞ ) , g ( x ) = lg[( x ? 2 a )( x ? a ? 1)]( a < 1) 的定义域为集合 B. (1)求集合 B; (2)若 CR B ? A ,求实数 a 的范围(R 为实数集) 。

17. (本小题满分 12 分) 已知 α ∈ (

π
2

, π ) ,且 sin

α
2

+ cos

α
2

=

2 3 . 3

(Ⅰ)求 cos α 的值; (Ⅱ)若 sin(α + β ) = ?

3 π , β ∈ (0, ) ,求 sin β 的值. 5 2

18. (本小题满分 13 分) 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市。通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元 /102kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 50 150 110 108 250 150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的 变化关系,并求出这个函数的解析式。

Q = at + b, Q = at 2 + bt + c, Q = a ? bt , Q = a ? log tb .
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = 1 + 2 sin( wx ?

π
4

) ,它的最小正周期为 π 。

(1)求函数 f (x ) 的最大值以及相应自变量的取值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y = f (x ) 在区间 [ ?

π π

, ] 上的图象。 2 2

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)= 3 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? )(0 < ? < π , ω > 0) 为偶函数,且函数 y=

f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

21. (本小题满分 13 分) 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x ∈R,有 f(x+T)=T·f(x)成立. (1)函数 f(x)= x 是否属于集合 M?说明理由; x x (2)设函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明:f(x)=a ∈M; (3)若函数 f(x)=sinkx∈M ,求实数 k 的取值范围.

2010望江县 2010-2011 学年(上)期末联考
高一年级(数学) 高一年级(数学) 答题卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分为 150 分, 考试用时 120 分钟。 第Ⅱ卷(非选择题 100 分) 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.____________.
14.____________. 12.____________. 15.____________. 13.____________.

( 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: 推演步骤) 推演步骤)
16.(本小题满分 12 分). (

17.(本小题满分 12 分). (

18.(本小题满分 13 分). (

19.(本小题满分 12 分). (

20.(本小题满分 12 分). (

21.(本小题满分 13 分). (

2010望江县 2010-2011 学年(上)期末联考
高一年级(数学) 高一年级(数学) 参考答案
第 I 卷(选择题 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 选择题( 项是符合题目要求的) 只有一项是符合题目要求的) 1.D 2.A 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B

第Ⅱ卷(非选择题 100 分) 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. (π/4,π/2)∪(π,5π/4) 12. 2 13. [ , 2] 14. 1 15.0

3 2

( 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: 推演步骤) 推演步骤)
16.(本小题满分 12 分) (1)B={x|x>a+1 或 x<2a } 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 sin 因为 α ∈ ( (Ⅱ)因为 α ∈ ( (2)

1 ≤ a < 1或a < ?2 2

α
2 2

+ cos

α
2

=

2 3 α α 4 1 ,所以 1 + 2 sin cos = , sin α = . 3 2 2 3 3

π

, π ) ,所以 cos α = ? 1 ? sin 2 α = ? 1 ?

1 2 2 =? . 9 3

π

π π 3π , π ), β ∈ (0, ) ,所以 α + β ∈ ( , ) 2 2 2 2
3 4 ,得 cos(α + β ) = ? . sin β = sin [ (α + β ) ? α ] 5 5

又 sin(α + β ) = ?

3 3 2 4 1 6 2+4 = sin(α + β ) ? cos α ? cos(α + β ) ? sin α = (? ) ? (? ) ? (? ) ? = . 5 3 5 3 15
18. (本小题满分 13 分) (1)Q=1/200t -3/2t+225/2 (2)当第 150 天上市时,最低种植成本为 100 元/102kg。
2

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)函数 f (x ) 的最小正周期为 π ,所以 f (x ) = 1 + 最大值为 1 +

2 ,x= kπ+
x y ?

(2)由(1)知

? 8 8 8 8 8 1 1? 2 1 1+ 2 1

3π (k∈Z) 。 8 3π π π 3π 5π

2 sin(2 x ? ) 。 4

π

故函数 y = f (x ) 在区间 [ ?

π π

, ] 上的图象是 2 2

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? ) = 2 ? =2sin( ωx + ? -

? 3 ? 1 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? )? 2 ? 2 ?

π ),因为 f(x)为偶函数,所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成 R 6 π π 立,因此 sin(- ωx + ? - )=sin( ωx + ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ωx cos( ? - )+cos ωx sin( ? - )=sin ωx cos( ? - )+cos ωx sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ωx cos( ? - )=0.因为 ω >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. R 6 6 π π π 又因为 0< ? <π,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ωx + )=2cos ωx . 6 2 2

由题意得 ω

= 2?

π
2

,   所以  ω =2.

故 f(x)=2cos2x.

所以 f ( ) = 2 cos

π

π
4

8

= 2.

(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

π
6

个单位后,得到 f ( x ?

π
6

) 的图象,再将所得图象横坐标

伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f (

π

? ) 的图象. 4 6

π

所以    g ( x) = f (

π

π π π ? π π ? ? ) = 2 cos ?2( ? )? = 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?



2kπ≤

π
2

?

π
3

≤2 kπ+ π (k∈Z),



4kπ+

2π 8π ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3

因此 g(x)的单调递减区间为 21. (本小题满分 13 分)

2π 8π ? ? ?4kπ + 3 ,4kπ + 3 ? ? ?

(k∈Z)

[解](1)对于非零常数 T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T= Tx 不能恒成 立,所以 f(x)= x ? M . x (2)因为函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点, 所以方程组: ?

?y = ax ?y = x
x

有解,消去 y 得 a =x,
T

x

显然 x=0 不是方程 a =x 的解,所以存在非零常数 T,使 a =T. 于是对于 f(x)=a 有 f ( x + T ) = a x +T = a T ? a x = T ? a x = Tf ( x) 故 f(x)=a ∈M.
x x

(3)当 k=0 时,f(x)=0,显然 f(x)=0∈M. 当 k≠0 时,因为 f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数 T,对任意 x∈R,有

f(x+T)=T f(x)成立,即 sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为 k≠0,且 x∈R,所以 kx∈R,kx+kT∈R, 于是 sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1], 故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立, 只有 T= ± 1 ,当 T=1 时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则 k=2mπ, m∈Z . 当 T=-1 时,sin(kx-k)=-sinkx 成立, 即 sin(kx-k+π)= sinkx 成立, 则-k+π=2mπ, m∈Z ,即 k=-2(m-1) π, m∈Z . 综合得,实数 k 的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}


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