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【精品课件】2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示


2.3.2 平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向 量,叫作把向量正交分解

向量的坐标表示
在平面坐标系内,我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、作为基 j 底,由平面向量基本定 理可知,对任一 向量a,有且只有一对实数 、y使得 x a ? xi ? y j.

向量的

坐标表示
在平面坐标系内,我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、作为基 j 底,由平面向量基本定 理可知,对任一 向量a,有且只有一对实数 、y使得 x a ? xi ? y j.

我们把( x , y )叫做向量a的直角坐标, 记作a ? ( x,y ). 其中x叫做a在x轴上的 坐标x , y叫做a在y轴上的坐标, a ? ( x , y ) 叫做向量a 的坐标表示.

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j

4
3 C

2 1 j

a
x
2 3 4

O i 1

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (

4
3 C

2 1 j

a
x
2 3 4

O i 1

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (
以原点O为起点的 向量OC的坐标与点C的 坐标相等.

4
3 C

2 1 j

a
x
2 3 4

O i 1

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (

4
C

B

( 2) 如图,平面内有 、B两 3 A 点, 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢? 1
j

A

x

O i 1

2 3 4

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (

4
C

B

( 2) 如图,平面内有 、B两 3 A 点, 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢? 1
j

A

x

O i 1

2 3 4

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (

4
C

B

( 2) 如图,平面内有 、B两 3 A 点, 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢? 1
j

A

x

O i 1

2 3 4

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (

4
C

B

( 2) 如图,平面内有 、B两 3 A 点, 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢? 1
AB ? OB ? OA O i 1 ? 4i ? 4 j) ( 2i ? 1 j ) ( ? ? (4 ? 2)i ? (4 ? 1) j ? 2i ? 3 j
j

A

x

2 3 4

平面向量的坐标表示
(1) 如图,若 | i |?| j |? 1,以向量i、为基 j y 底表示向量a .

a ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3) a (

4
C

B

( 2) 如图,平面内有 、B两 3 A 点, 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢? 1
j

AB ? OB ? OA O i 1 2 3 4 ? 4i ? 4 j) ( 2i ? 1 j ) ( ? AB ( ? (4 ? 2)i ? (4 ? 1) j ? 2i ? 3 j 即: ? 2,3)

A

x

平面向量的坐标表示
如图, AB相等,其中 a与 a ? ( 2,), AB ? ( 2,). 由此可 y 3 3 4 见, 相等向量的坐标相等 .
3

B
C

2 1 j

a
A

x

O i 1

2 3 4

应用:
? ? ? a 例4. 如图,用基底 i ,j 分别表示向量 、 ? ? ? y b 、c 、d , 并求出它 ? 5 ? 们的坐标 .

b

a

2 ?

? ?4 ?2 O i 2 ? ?2 c
?5

j

4 x

? d

归纳:

1、向量的分解和正交分解 2、向量的坐标表示
作业:2.3.1-2


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