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2013届六校高三第三次联考试题理数


2013 届 广东省六校高三第三次联考 理科数学试题
命题:广州二中张和发、田立新 审校:邓军民、胡守标 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2.

答第 I 卷时, 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 用 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工 .... 整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫 ... 米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域 ...... 书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 ..................... 4. 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式:如果事件 A 与 B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 与 B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) I 卷 (选择题) 一、 选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求,把答案填涂在答卷相应地方上)

(1 1. 复数 z 满足 z ? ? i ) ? 2i , 则 z 等于(
A.1 A. {x | 0 ? x ? 1} 3.已知甲: ? B.

) C. 2 D. 3 ) D. {x | x ? 1} )

2

2.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? ? B ? ( U B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0}

?a ? 1 ?a ? b ? 2 , 乙: ? ,则甲是乙的( ?b ? 1 ? ab ? 1

A.充分非必要条件 C.充要条件 4. 函数 f ( x) ? 2sin ? A.

B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

? x ?? ? ? 的最小正周期为( ?3 ??
B.

) D. 6? ) D.30

? 3

2? 3

C. 3?

5. 等差数列 ?a n ? 中, a6 ? a10 ? 30 , a4 ? 10 ,则 a16 的值为( A.15 B.20 C.25

6.若 m n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( ) , A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? B.若 m ? ?,m // ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? // ?

六校高三第三次联考理数试卷,第 1 页 共 4 页

7. 已知实数 a , b 满足 ? A. 1 C. 3

? ?1 ? a ? b ? 1 , 则 2a ? b 的最大值是 ( ? ?1 ? a ? b ? 1
B. 2 D. 4 开始 n=0, s=0

)

8. 利用随机模拟方法可估计某无理数 m 的值, 为此设计如右图所示的程序框图,其中 rand() 表示产生区间(0,1)上的随机数, P 为 s 与 n 之 比值,执行此程序框图,输出结果 P 是 m 的 估计值,则 m 是 ( A. ) B. n<10000 是 x=rand(), y=rand() 否

P=s / n
输出 P

1 e

1 ?

C. ln2

D. lg3

y?

1 x?1
是 s=s+1



结束

n=n+1 II 卷 (非选择题) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷相应地方上)
频率

(一)必做题:第 9~13 题为必做题 9. 统计某校 1000 名学生的数学期中考成绩,得到 样本频率分布直方图如右图示,若不低于 80 分 即为优秀。据此估计,从这 1000 名学生中随机 选出 1 名学生,其数学期中考成绩为优秀的概 率是 .

0.04 组距 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0005 40 50 60 70 80 90 100

分数

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且离心率为 2 的 10. 与椭圆 25 9
双曲线标准方程是_______.

11. 已知 O 为坐标原点,点 C 是线段 AB 上一点, 且 A(1,1), C(2,3) , BC ? 2 AC , 则向量 OB 的坐标是_____ . 12. 设 P 为曲线 C: y ? x ? x 上的点,则曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角取值范围为_____.
3

??? ?

??? ?

??? ?

六校高三第三次联考理数试卷,第 2 页 共 4 页

13. 下图所示一系列数表依次是三项式 (a ? b ? c)n (n ? 0,1, 2, 3,? )展开式系数按一定规律排 列所得,可发现数表的第 k 行共有 k 个数。依此类推, 数表 6 的第 3 行第 1 个数为______, 数表 6 的第 5 行第 3 个数为______.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生任选做一题,全答的只计算前题的得分. 14、 已知直线 L 的参数方程为: ?

?x ? t ? ( t 为参数) 圆 C 的参数方程为: , ? y ? a ? 3t ?

? x ? sin ? ( ? 为参数). 若直线 L 与圆 C 有公共点,则常数 a 的取值范围是____. ? ? y ? cos ? ? 1
15. 如图所示,圆 O 的直径 AB=12,C 为圆周上一点, BC=6,过 C 作圆 O 的切线 l ,过 A 做直线 l 的垂线, 垂足为 D,AD 交圆 O 于 E, 则 DE= .

D

E A

C

O

B

l

三、解答题: (共 6 题,满分 80,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,必须在答卷指定 区域作答,否则不给分) 16.(本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,a ,b ,c 分别为内角 A , B ,C 所对的边,且满足 3a ? 2b sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ? 17. (本小题满分 12 分) 某厂批量试验生产一种零件,对其中每个零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,各项 技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 标的概率为

??? ??? ? ? 7 ,求 AB ? AC 的值.

2 ,有且仅有一项技术指标达 3

5 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检测,求其中至少 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意抽取该种零件 3 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? .

六校高三第三次联考理数试卷,第 3 页 共 4 页

18. (本小题满分 14 分) 某企业某年生产某种产品,通过合理定价及促销活动,确保产销平衡(根据市场情况确 定产量,使该年所生产产品刚好全部销售完毕) ,年产量、年销量均为 x 万件。已知每生产 1 万件产品需投入 32 万元的生产费用, 另外该年生产设备折旧、 维修等固定费用总共为 4 万元。 每件产品定价为平均每件生产成本的 150%进行销售, 年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间 满足关系: 6 ? x ?

k ( k 为常数),当年促销费用 t ? 0 万元时年销量是 x ? 2 万件。 t ?1

(Ⅰ)将年的利润 y (万元)表示为促销费 t (万元)的函数; (Ⅱ) 该企业年促销费投入多少万元时, 企业年利润最大?相应年产量及最大年利润为多少? 注:生产成本=固定费用 ? 生产费用 (不包括促销费用) 利润=销售收入 ? 生产成本 ? 促销费

19.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,

AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 .
(Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角 的正弦值为

P

PQ 3 ,求 的值. PB 3
B

A C

D

20.

(本小题满分 14 分) 数列 an 的前 n 项和为 Sn , 已知 Sn ? an ? ? n ( n ? N * ) 恒成立. (1) 求数列 an 的通项公式; (2) bn ? ln(an ? 1) ,求 ?an bn ? 的前 n 项和; (3) 求证:

? ?

? ?

1 1 1 ? 2 ??? n ?2. 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (ax ? 1)ln( x ? 1) ? x . (1) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 求证:当 x ? 0 时 (3) 若 (1 ?

1 1 1 ? ? 恒成立; ln( x ? 1) x 2

1 n? a ) ? e 对任意的 n ? N * 都成立(其中 e 是自然对数的底), n 求常数 a 的最小值。
六校高三第三次联考理数试卷,第 4 页 共 4 页


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