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志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-2 2.4 导数的四则运算法则


§4 导数的四则运算法则

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§4 导数的四则运算法则

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HONGNAN JVJIAO

D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI

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1.了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导. 2.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则,并能运用求导法则求某些简 单函数的导数.

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2

1.导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差), 即[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x), [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x). 【做一做 1-1】 求函数 y=3x2+4x+5 的导数. 解:y'=(3x2)'+(4x)'+5'=6x+4. 【做一做 1-2】 设 f(x)=aex+bx,若 f'(-1)= ,f'(1)=e,则 a+b= 解析:∵f'(x)=aex+b,
1 e

.

∴f'(-1)=a· +b= ,f'(1)=a· e+b=e, e e ∴a=1,b=0.∴a+b=1.
答案:1

1

1

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2.导数的乘法与除法法则 一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),我们有: [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
() ()

'=

'()()-()'() . 2 ()

【做一做 2】 函数 y=(x-a)(x-b)的导数是( A.y'=ab B.y'=-a(x-b) C.y'=-b(x-a) D.y'=2x-a-b 解析:∵y=x2-(a+b)x+ab, ∴y'=(x2)'-(a+b)· (x)'+(ab)'=2x-a-b. 答案:D

)

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1.如何记忆函数的和、差、积、商的导数? 剖析:(1)两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差).这 个法则可推广到任意有限个可导函数的和(差),即 [f1(x)± f2(x)± f3(x)± …± fn(x)]'=f1'(x)± f2'(x)± …± fn'(x). (2)两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上 第一个函数乘上第二个函数的导数. (3)两个函数的商的导数,等于分子的导数乘分母减去分子乘分母的导 数,再除以分母的平方.

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2.导数公式应用的注意事项 剖析:应用导数公式解答问题要注意以下四点: (1)熟记基本初等函数的导数公式表,善于利用导数公式求解有关实际 问题; (2)对幂函数的求导,要将根式、分式转化为指数式,这样可以方便应用 公式; (3)熟记导数的四则运算法则是求解较复杂导数的基础; (4)在求导时,有些函数虽然表面形式上为函数的商或积,但在求导前利 用代数或三角恒等变形可将函数先化简,然后进行求导.这样可避免使用积、 商的求导法则,减少运算量.

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题型一

题型二

题型一

利用导数的运算法则求导数

【例 1】 求下列函数的导数: (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x2· sin x; (3)y=x-sin · cos . 分析:仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运算法则,联系基本 函数求导公式,不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形. 解:(1)y'=(x4-3x2-5x+6)' =(x4)'-3(x2)'-5x'+6' =4x3-6x-5. (2)y'=(x2)'· sin x+x2· (sin x)' 2 =2x· sin x+x · cos x. 1 (3)∵y=x-sin · cos =x- sin x,
2 2

∴y'= - 2 sin

1

2

2 2 1 '=1- cos x. 2

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题型一

题型二

反思理解和掌握求导法则及公式的结构规律是灵活进行求导运算的前 提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则的实质,特别是商 的求导法则;求导过程中符号判断不清,也是导致错误的因素.

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题型一

题型二

【变式训练 1】 求下列函数的导数.
1 2 5 3 1 (3)y= · cos

(1)y= x5+ x3;(2)y=lg x-ex; x.

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题型二

解:(1)y'=

1 -ex. ln10 1 1 1 (3)方法一:y'= · cos '= 'cos x+ (cos 1 3 1 1 1 =( -2)'cos x- sin x=- -2 cos x- sin x 2 cos 1 =- 3 ? sin x. 2 1 cos 方法二:y'= · cos '= ' (cos)' -cos( )'

1 5 5

+ 3 '=

2 3

1 5 5

'+

2 3 3

'=x4+2x2.

(2)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=

x)'

= =

1 1 -2 -sin· -cos· · 2

( )

2

=-

cos sin+
2

cos+2sin =. 2
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题型一

题型二

题型二 导数的运算法则的综合运用

【例 2】 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提 高,所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x%时所需费用 (单位:元)为 c(x)=
5 284 (80<x<100). 100-

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%;(2)98%.

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题型一

题型二

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. c'(x)=
5 284 (100-)
2.

5 284 100-

'=

5 284'× (100-)-5 284× (100-)' (100-)
2

=

0× (100-)-5 284× (-1) (100-)
2

=

(1)因为 c'(90)= (2)因为 c'(98)=

5 284

(100-90) 5 284

2=52.84,所以纯净度为

90%时,所需净化费用的

瞬时变化率是 52.84.
(100-98)
2=1

321,所以纯净度为 98%时,所需净化费用的

瞬时变化率是 1 321. 反思函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢,由上述 计算可知:c'(98)=25c'(90).它表示纯净度为 98%左右时净化费用的变化率大 约是纯净度为 90%左右时净化费用变化率的 25 倍.这说明,水的纯净度越 高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
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题型二

【变式训练 2】 设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ +b(a>0). (1)求 f(x)的最小值; (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 分析:(1)由均值不等式即可求解;(2)由导数的几何意义可解决. 解:(1)f(x)=ax+ +b≥2 · +b=b+2, 当且仅当 ax=1 =
3 2 1 1 1 3 2

1

时,f(x)的最小值为 b+2.
1 1 3 2

(2)由题意,得 f(1)= ,即 a+ +b= . 因为 f'(x)=a由①②及 a>0,得 a=2,b=-1.
1 ,所以 2


3 2

f'(1)=a- = .



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1 函数 y=3x-4 的导数是( A.y'=3 B.y'=-4 答案:A

) C.y'=-1 D.y'=12

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2 函数 y=sin xcos x 的导数是( ) 2 2 A.y'=sin x B.y'=cos x C.y'=sin 2x D.y'=cos 2x 解析:y'=(sin xcos x)'=(sin x)'cos x+sin x(cos x)'=cos2x-sin2x=cos 2x. 答案:D

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3f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f'(x)=g'(x), 则 f(x)与 g(x)满足( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数 答案:B

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-1 的导数是 +1 -1 解析:方法一:y'= ' +1 (-1)'(+1)-(-1)(+1)'

2

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4 函数 y=

.

= =

(+1) (+1)-(-1) (+1)
2

2

答案:y'=

(+1) -1 2 方法二:∵y= =1- , +1 +1 2 2 ∴y'= 1- +1 '= - +1 ' 1 -1 2 =-2 '=-2× = 2 2. +1 (+1) (+1) 2 (+1)
2

=

2

2.

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5 曲线 y=x3-2x2-4x+2 在点(1,-3)处的切线方程是 . 解析:y'=3x2-4x-4,当 x=1 时,y'=-5,则曲线在点(1,-3)处切线的斜率为-5.故切 线方程为 y+3=-5(x-1),即 5x+y-2=0. 答案:5x+y-2=0

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6 若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切,求 k 的值. 解:设切点坐标为(x0,y0),y'=3x2-6x+2. 2 将 x=x0 代入导函数得 k=30 -6x0+2. 若 x0=0,则 k=2. 若 x0≠0,则 k= 0, 所以
0 2 30 -6x0+2= , 0
0 3 0 -32 0 +20

2 即 30 -6x0+2=

3 2 3 2 3 1 故 k=3× -6× +2=- . 2 2 4 1 综上所述,k=2 或 k=- . 4

0

,

解得 x0= ,

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