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1990年全国高中数学联赛试题及详细解析


(10 月 14 日上午 8∶00—10∶00) 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 α ∈( , ),则(cos?) 4 2

? ?

cos?

,(s in?)

cos?

,(cos?)

sin?

的大小

顺序是

A.(cos?)cos?<(sin?)cos?<(cos?)sin? B.(cos?)cos?<(cos?)sin? <(sin?)cos? C.(sin?)cos?<(cos?)cos?<(cos?)sin? D.(cos?)sin? <(cos?)cos?<(sin?)cos?

5.设非零复数 x、y 满足 x +xy+y =0,则代数式? ?
2 2

x ?1990 ? y ?1990 ? +? ? 的值是( ?x+y? ?x+y?

)

A.2-1989 x y a b
2 2

B.-1

C.1

D.以上答案都不对

6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴 影表示是下面图中的(
y
(2,1)

)
y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

A.

B.

C.

D.

二.填空题(本题满分 3 0 分,每小题 5 分) 1 1 1. n 为自然数, 、 为正实数, 设 a b 且满足 a+b=2, 则 n + n的最小值是 1+a 1+b .

2.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60°),cos(2t-60°))为动点,则当 t 由 15°变到 45°时,线段 AP 扫过的面积是 . 2 2 2 2 4 4 4 3.设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x +y +z ) ≤n(x +y +z )成立,则 n 的 最小值是 . 4. 对任意正整数 n, 连结原点 O 与点 An(n, +3), f(n)表示线段 OAn 上的整点个数(不 n 用

1

计端点),试求 f(1)+f(2)+…+f(1990). 5.设 n=1990,则 1 2 2C4 3 6 994 1998 995 1990 n(1-3Cn+3 n-3 Cn+…+3 C n -3 C n = 2



6.8 个女孩与 25 个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和排列方法.(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的). 三.(本题满分 20 分) 已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ = 证:对于一切自然数 n,An 均为整数. 2ab π 2 2 n ,(其中 0<θ < ),An=(a +b ) sinnθ .求 a2+b2 2

2

第二试 (10 月 14 日上午 10∶30—12∶30) 一.(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4.求证 OP、O1O3、O2O4 三直线共点.

D O3 O4 O O1 F B P O2 C
[来源:学|科|网]

A

二.(本题满分 35 分) 设 E={1,2,3,……,200},

G={a1,a2,……,a100}?E. ?
且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1≤i<j≤100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ ai=10080. i=1

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为 一个定数.

三.(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名代表(1≤Ci≤39,1≤i≤n)来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为 Σ Ci=1990.看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须 i=1 坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下.

n

3

1990 年全国高中数学联赛解答 第一试
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 α ∈( , ),则(c os?) 4 2

? ?

cos?

,(sin?)

cos?

,(cos?)

sin?

的大小顺序是

A.(cos?)cos?<(sin?)cos?<(cos?)sin? B.(cos?)cos?<(cos?)sin? < (sin?)cos? C.(sin?)cos?<(cos?)cos?<(cos?)sin? D.(cos?)sin? <(cos?)cos?<(sin?)cos?
【答案】D 【解析】α ∈( , )?0<cosα <sinα <1, 4 2 ∴ (cos?)
cos?

? ?

<(sin?)

cos?

;(cos?)

sin?

<(cos?)

cos?

;选 D.

2.设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时, f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( ) A.f(x)=x+4 B. f(x)=2-x C. f(x)=3-|x+1| D. f(x)=2+|x+1|

3.设双曲线的左右焦点是 F1、F2,左右顶点是 M、N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上, 则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( ) A.在线段 MN 内部 B.在线段 F1M 内部或在线段 NF2 y 内部 P F C.点 M 或点 N D.不能确定的 I E D 【答案】C F1 M O N F2 x 【解析】设内切圆在三边上切 点分别为 D、E、F,当 P 在右支 上时,PF1-PF2=2a. 但 PF1-PF2=F1D-F2D=2a,即 D 与 N 重合,当 P 在左支上时,D 与 M 重合.故选 C.
3 1 3 1 4.点集{(x,y)|lg(x + 错误!未指定书签。y + )=lgx+lgy}中元素个数为( 3 9

)

A.0
【答案】B

B.1

C.2

D.多于 2

3 1 3 1 3 1 3 1 【解析】x + y + =xy>0.但 x + y + ≥3 3 9 3 9

3

x3· y3·

1 3

1 =xy 错误!未指定书签。 ,等号 9

4

1 3 1 3 当且仅当 x = y = 时,即 x= 3 9 3
3

3

3

,y=

9 3

时成立.故选 B.

6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴 影表示是下面图中的(
y
(2,1)

x2 y2 a b

)
y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

A.

B.

C.

D.

【答案】C 4 1 1 4 1 5 4 1 5 2 2 2 【解析】 2+ 2=1,由 a >b ,故得 2<1< 2+ 2= 2,1<b< 5. 2+ 2=1? 2<1,a >5.故选 C.

a b

b

b b b

a b

a

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 1 1. n 为自然数, 、 为正实数, 设 a b 且满足 a+b=2, 则 n + n的最小值是 1+a 1+b 【答案】1 【解析】ab≤( .

a+b

1 1 1+a +1+b 2 n n ) =1,从而 a b ≤1,故 n + n = n n n n≥1.等号当且仅当 2 1+a 1+b 1+a +b +a b

n

n

a=b=1 时成立.即所求最小值=1.
[来源:学科网]

2.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60°),cos(2t-60°))为动点,则当 t 由 15°变到 45°时,线段 AP 扫过的面积是 . 【答案】 ? 【解析】点 P 在单位圆上,sin(2t -60°)=cos(150°-2t),cos(2t - 1 3 60°)=sin(150°-2t).当 t 由 15°变到 45°时,点 P 沿单位圆从(- , ) 2 2
O x

1 6

y

5

1 3 1 运动到( , ).线段 AP 扫过的面积=扇形面积= π . 2 2 6 3.设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x +y +z ) ≤n(x +y +z )成立,则 n 的 最小值是 . 【答案】3 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 【 解 析 】 (x +y +z ) =x +y +z +2x y +2y z +2z x ≤ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 x +y +z +(x +y )+(y +z )+(z +x )=3(x +y +z ).等号当且仅当 x=y=z 时成立.故 n=3.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2

2

2 2

4

4

4

5.设 n=1990,则

[来源:学#科#网]

1 2 2C4 3 6 994 1998 995 1990 n(1-3Cn+3 n-3 Cn+…+3 C n -3 C n = 2 【答案】 ?



1 2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1 3 1990 1 3 1990 1 3 【解析】取(- + i) 展开的实部即为此式.而(- + i) =- + i.故原式= 2 2 2 2 2 2 1 - . 2

三.(本题满分 20 分)

6

已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ = 证:对于一切自然数 n,An 均为整数.

2ab π 2 2 n ,(其中 0<θ < ),An=(a +b ) sinnθ .求 a2+b2 2

四.n 个正数排成 n 行 n 列 a11 a12 a13 a14 ……a1n a21 a22 a23 a24 ……a2n a31 a32 a33 a34 ……a3n a41 a42 a43 a44 ……a4n …………………………………… an1 an2 an3 an4 ……ann 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知 a24=1,

2

a42= ,a43= ,
求 a11+a22+……+ann.(1990 年全国高中 数学联赛) 分析 由 a42、a43 或求 a44,由 a24,a44 可求公比. 【解析】 设第一行等差数列的公差为 d,各列的公比为 q. ∴ 由 a44=a24? q ,得,
2

1 8

3 16

a44=2a43-a42= .

1 4

q= .
∴ ∴ ∴ ∴ 令 Sn= a11+a22+…+ann. 则

1 2

a12=a42? q-3=1. a14-a12 1 d= = ,
4-2 2

a1k=a12+(k-2)d= k(k=1,2, 3,…,n) akk=a1kqk-1= k·( )k-1=( )k·k.
1 2 1 2 1 2

1 2

n n+1 n 1 k k-1 1 1 n S- S= Σ k- Σ = + Σ k- n+1 k 2 k=12 k=2 2 2 k=22 2

7

= + - n-
∴ S=2-

1 2

1 2

1 2

n
2
n+1

=1-

n+2
2
n+1

.

n+2
2
n



五.设棱锥 M—ABCD 的底面为正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD 的面积为 1,试 求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

8

第二试 (10 月 14 日上午 10∶30—12∶30) 一.(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4.求证 OP、O1O3、O2O4 三直线共点. 【解析】证明 ∵O 为⊿ABC 的外心,∴ OA=OB. ∵ O1 为⊿PAB 的外心,∴O1A=O1B. ∴ OO1⊥AB. 作⊿PCD 的外接圆⊙O3,延长 PO3 与所作圆交于点 E,并与 AB 交于点 F,连 DE,则 ?1=?2=?3,?EPD=?BPF, ∴ ?PFB=?EDP=90?. E ∴ PO3⊥AB,即 OO1∥PO3. 1 D 同理,OO3∥PO1.即 OO1PO3 是平行四边形. ∴ O1O3 与 PO 互相平分,即 O1O3 过 PO 的中点. O3 2 C 同理,O2O4 过 PO 中点. O4 ∴ OP、O1O3、O2O4 三直线共点. P
O2

二.(本题满分 35 分) 设 E={1,2,3,……,200},

O O1 F

G={a1,a2,……,a100}?E. ?
且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1≤i<j≤100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ ai=10080. i=1

A

3

B

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为一个定数.

∴ x1 +x2 +…+x100 +(201-x1) +(201-x2) +…+(201-x100) =2(x12+x22+…+x1002)-2×201×(x1+x2+…+x100)+100×2012 =2(x12+x22+…+x1002)-2×201×10080+100×2012

2

2

2

2

2

2

9

=12+22+32+…+2002.
2 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴ x1 +x2 +…+x100 = [(1 +2 +3 +…+200 )+2×201×10080-100×201 ] 2

= [ ×200×201×401+201×20160-20100×201] = ×[100×67×401+201×60]=1349380.为定值.
三.(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名代表(1≤Ci≤39,1≤i≤n)来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为 Σ Ci=1990.看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须 i=1 坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下. 1 2

1 1 2 6

n

10


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