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河南省实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


河南省实验中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩?RB=() A.(1,2] B.[2,4) C.(2,4) D.(1,4) 2. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B

.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

3. (5 分)如图中阴影部分的面积是()

A.

B.

C.
x

D.

4. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3 ﹣2x+a(a∈R) ,则 f(﹣2) =() A.﹣1 B . ﹣4 C. 1 D.4 5. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A.f(x)=x 和 g(x)= B. f(x)=|x|和 g(x)=

C. f(x)=x|x|和 g(x)=

D.f(x)=

和 g(x)=x+1, (x≠1)

6. (5 分)不等式

成立的一个充分不必要条件是() D.x>1

A.﹣1<x<0 或 x>1 B.x<﹣1 或 0<x<1 C.x>﹣1

7. (5 分)奇函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(4+x)+f(﹣x)=0,且 f(1)=9 则 f+f+f 的 值为() A.6 B. 7 C. 8 D.0 8. (5 分)已知函数 f(x)是定义在区间[﹣2,2]上的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)是减函 数,如果不等式 f(1﹣m)<f(m)成立,则实数 m 的取值范围是()

A.

B.[1,2]

C.[0, )

D.(



9. (5 分)已知函数

是 R 上的增函数,则 a 的取值范

围是() A.﹣3≤a<0

B.﹣3≤a≤﹣2

C.a≤﹣2

D.a<0

10. (5 分)函数

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.
2

11. (5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f'(x) ,且满足 f'(x)>f(x) ,则 f 与 fe 的大小关系为() A.f<fe 2 C. f>fe
3 2 2

B. f=fe D.不能确定

2

12. (5 分)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3 2 (f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= 的定义域为.

14. (5 分)对任意两个实数 x1,x2,定义 ﹣2,g(x)=﹣x,则 max(f(x) ,g(x) )的最小值为.

若 f(x)=x

2

15. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(2﹣x)=f(x+2) ,且 当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)在区 间(﹣2,6)内恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是.
x

16. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(﹣1,4]时,f(x) =x ﹣2 ,则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个数是.
2 x

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17. (12 分) 已知集合 , 集合 B={x|y=ln (4﹣3x﹣x ) }, 集合 C={x|m+2
2

<x<2m﹣3}. (Ⅰ)设全集 U=R,求(?UA)∩B; (Ⅱ)若 C∩(?RA)=?,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f (1)=1,若 m,n∈[﹣1,1], m+n≠0 时有 >0.

(1)判断 f (x)在[﹣1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+ )<f(
2

) ;

(3)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围. 19. (12 分)对于函数 f(x) ,若存在 x0∈R,使方程 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不 2 动点,已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣1(a≠0) . (1)当 a=1,b=﹣2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)当 a=1,b=﹣2 时,求 f(x)在[t,t+1]上的最小值 g(t) . (3)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. 20. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (1)若 a=﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1, 2],函数 g(x)=x +x [f′(x)+ ](f′(x)是 f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函 数,求 m 的取值范围; (3)求证: × × ×…× < (n≥2,n∈N ) .
* 3 2

21. (12 分)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写 清题号. 【选修 4-1 几何证明选讲】 22. (10 分)已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 AB,直线 AF 交⊙O 于 F(不与 B 重合) , 直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC.求证: (1)∠BAC=∠CAG; 2 (2)AC =AE?AF.

【选修 4--4;坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. )=2 .

【选修 4--5;不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|,其中 a>1 (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2 的解集{x|1≤x≤2},求 a 的值.

河南省实验中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩?RB=() A.(1,2] B.[2,4) C.(2,4) D.(1,4)

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 求出集合 A 中其他不等式的解集,确定出 A,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交 集即可. 解答: 解:集合 A 中的不等式变形得:log41<log4x<log44, 解得:1<x<4,即 A=(1,4) , ∵B=(﹣∞,2], ∴?RB=(2,+∞) , 则 A∩?RB=(2,4) . 故选 C 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= ,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.

解答: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= 函数是增函数 故选 D. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题. 3. (5 分)如图中阴影部分的面积是() ,∴

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用.

专题: 计算题. 分析: 求阴影部分的面积,先要对阴影部分进行分割到三个象限内,分别对三部分进行积 分求和即可. 2 解答: 解:直线 y=2x 与抛物线 y=3﹣x 解得交点为(﹣3,﹣6)和(1,2) 2 抛物线 y=3﹣x 与 x 轴负半轴交点(﹣ ,0) 设阴影部分面积为 s,则

= = 所以阴影部分的面积为 ,

故选 C. 点评: 本题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割,关键是要注意在 x 轴下方 的部分积分为负(积分的几何意义强调代数和) ,属于基础题. 4. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3 ﹣2x+a(a∈R) ,则 f(﹣2) =() A.﹣1 B . ﹣4 C. 1 D.4 考点: 专题: 分析: 解答:
x x

函数的值. 函数的性质及应用. 根据奇函数的性质 f(0)=0,求得 a 的值;再由 f(﹣2)=﹣f(2)即可求得答案. 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,解得 a=﹣1.∴当 x≥0 时,f(x)

=3 ﹣2x﹣1. 2 ∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣(3 ﹣2×2﹣1)=﹣4. 故选 B. 点评: 本题考查了奇函数的性质,充分理解奇函数的定义及利用 f(0)=0 是解决此问题的 关键. 5. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A.f(x)=x 和 g(x)= B. f(x)=|x|和 g(x)=

C. f(x)=x|x|和 g(x)=

D.f(x)=

和 g(x)=x+1, (x≠1)

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 若两个函数是同一个函数,则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同,所以只 要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可.

解答: 解;对于 A 选项,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为[0,+∞) ,∴不是同一函 数. 对于 B 选项,由于函数 y= =x,即两个函数的解析式不同,∴不是同一函数;

对于 C 选项,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠0},∴不是同一函数 对于 D 选项,f(x)的定义域与 g(x)的定义域均为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ,且 f(x) = =x+1

∴是同一函数 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数三要素的判断,只有三要素都相同,两函数才为同一函数,属 基础题.

6. (5 分)不等式

成立的一个充分不必要条件是() D.x>1

A.﹣1<x<0 或 x>1 B.x<﹣1 或 0<x<1 C.x>﹣1 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.

分析: 由选项 D:x>1 能推出 x﹣ >0,但由 x﹣ >0 不能推出 x>1,从而得出结论. 解答: 解:由 x>1 能推出 x﹣ >0; 但由 x﹣ >0 不能推出 x>1(如 x=﹣ 时) , 故不等式 成立的一个充分不必要条件是 x>1,

故选 D. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,通过给变量取特殊值,举反 例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题. 7. (5 分)奇函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(4+x)+f(﹣x)=0,且 f(1)=9 则 f+f+f 的 值为() A.6 B. 7 C. 8 D.0 考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(4+x)+f(﹣x)=0,得 f(4+x)=﹣f(﹣x)=f(x) ,得函数的周期,然后利 用周期性分别进行求解即可. 解答: 解:因为 f(x)为奇函数,所以由 f(4+x)+f(﹣x)=0,得 f(4+x)=﹣f(﹣x) =f(x) ,即函数的周期是 4. 所以 f=f(503×4﹣1)=f(﹣1)=﹣f(1) ,f=f(503×4)=f(0) ,f=f(503×4+1)=f(1) , 所以 f+f+f=﹣f(1)+f(0)+f(1)=f(0) , 因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=0, 所以 f+f+f=f(0)=0. 故选 D.

点评: 本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用,利用条件求出函数的周期 是解决本题的关键. 8. (5 分)已知函数 f(x)是定义在区间[﹣2,2]上的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)是减函 数,如果不等式 f(1﹣m)<f(m)成立,则实数 m 的取值范围是() A. B.[1,2] C.[0, ) D.( )

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由题设条件知,偶函数 f (x)在[0,2]上是减函数,在[﹣2,0]是增函数,由此可以 得出函数在[﹣2,2]上具有这样的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小,其函数值就越小,由此

抽象不等式 f(1﹣m)<f(m)可以转化为

,解此不等式组即为所求.

解答: 解:偶函数 f (x)在[0,2]上是减函数, ∴其在(﹣2,0)上是增函数,由此可以得出,自变量的绝对值越小,函数值越大

∴不等式 f(1﹣m)<f(m)可以变为

解得 m∈[﹣1, ) 故选 A. 点评: 本题考查偶函数与单调性,二者结合研究出函图象的变化趋势,用此结论转化不等 式,这是解本题的最合适的办法,中档题.

9. (5 分)已知函数

是 R 上的增函数,则 a 的取值范

围是() A.﹣3≤a<0

B.﹣3≤a≤﹣2

C.a≤﹣2

D.a<0

考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数 f(x)上 R 上的增函数可得函数,设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5,h(x)= ,则可 知函数 g(x)在 x≤1 时单调递增,函数 h(x)在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1) ,从 而可求
2

解答: 解:∵函数

是 R 上的增函数

设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5(x≤1) ,h(x)= (x>1) 由分段函数的性质可知,函数 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5 在(﹣∞,1]单调递增,函数 h(x)= 在 (1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1)
2

2





解可得,﹣3≤a≤﹣2 故选 B 点评: 本题主要考查了二次函数的单调性的应用,反比例函数的单调性的应用,主要分段 函数的单调性应用 中,不要漏掉 g(1)≤h(1)

10. (5 分)函数

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别根据函数的定义域,单调性,取值符号进行排除判断. x 解答: 解:要使函数有意义,则 3 ﹣1≠0,解得 x≠0,∴函数的定义域为{x|x≠0},排除 A. 当 x<0 时,y>0,排除 B. 当 x→+∞时,y→0,排除 D. 故选 C. 点评: 本题考查函数的图象的判断,注意函数的值域,函数的图形的变换趋势,考查分析 问题解决问题的能力. 11. (5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f'(x) ,且满足 f'(x)>f(x) ,则 f 与 fe 的大小关系为() 2 2 A.f<fe B. f=fe 2 C. f>fe D.不能确定
2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 构造函数 F(x)=e f(x) ,求导,判断函数的单调性,得到 2011 与 2009 的函数值 大小,从而得到所求. 解答: 解:令 F(x)=e f(x) ,则 F'(x)=e f'(x)﹣e f(x)>0,所以 F(x)单调 递增,于是 F>F,即 e f>e f, 2 所以 f>fe . 故选:C. 点评: 本题考查了导数的运算以及构造函数判断单调性,利用函数单调性判断函数值的大 小. 12. (5 分)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3 2 (f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 2 分析: 求导数 f′(x) ,由题意知 x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,从而关于 f(x)的方 2 程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 有两个根,作出草图,由图象可得答案. 2 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+b,x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,不妨设 x2>x1, 2 由 3(f(x) ) +2af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立,x1=f(x1) ,x2>x1=f(x1) , 如下示意图象: 如图有三个交点, 故选 A.
3 2
﹣2011 ﹣2009 ﹣x ﹣x ﹣x ﹣x

点评: 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形结合思想. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= 的定义域为(﹣3,0].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 直接由根式内部的代数式大于等于 0,分母不等于 0 联立不等式组求解. 解答: 解:由 ,得 ,

解得:﹣3<x≤0. ∴函数 f(x)= 的定义域为: (﹣3,0].

故答案为: (﹣3,0]. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题.

14. (5 分)对任意两个实数 x1,x2,定义 ﹣2,g(x)=﹣x,则 max(f(x) ,g(x) )的最小值为﹣1.

若 f(x)=x

2

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 新定义. 2 分析: 通过求解不等式 x ﹣2≥﹣x,得出 f(x)≥g(x)和 f(x)<g(x)的 x 的取值范围, 结合新定义得到分段函数 max(f(x) ,g(x) )的解析式,在平面直角坐标系中作出分段函数的图象,则分段函数的最 小值可求. 解答: 解:因为对任意两个实数 x1,x2,定义 又 f(x)=x ﹣2,g(x)=﹣x, 2 2 由 x ﹣2≥﹣x,得 x≤﹣2 或 x≥1,则当 x ﹣2<﹣x 时,得﹣2<x<1. 所以 y=max(f(x) ,g(x) ) 其图象如图, ,
2



由图象可知函数 max(f(x) ,g(x) )的最小值为﹣1. 故答案为﹣1. 点评: 本题考查了新定义,考查了函数的图象与图象的变化,考查了分段函数图象的画法, 分段函数的值域要分段求,最后取并集,是基础题.

15. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(2﹣x)=f(x+2) ,且 当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)在区 间(﹣2,6)内恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是( ,2].
x

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中可以得到函数 ( f x) 的图象关于直线 x=2 对称, 结合函数是偶函数, 及 x∈[﹣ x+2 2,0]时的解析式,可画出函数的图象,将方程 f(x)﹣loga =0 恰有 3 个不同的实数解,转 x+2 化为函数 f(x)的与函数 y=loga 的图象恰有 3 个不同的交点,数形结合即可得到实数 a 的 取值范围. 解答: 解:∵对于任意的 x∈R,都有 f(2﹣x)=f(x+2) , ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称 又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 若在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0 恰有 3 个不同的实数解, 则函数 y=f(x)与 y=loga(x+2)在区间(﹣2,6)上有三个不同的交点,如下图所示:
x

又 f(﹣2)=f(2)=3,则有 loga(2+2)<3,且 loga(6+2)≥3, 解得: <a≤2, ,2].

故答案为 (

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,指数函数与对数函数的图象与性 质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是解 答本题的关键,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题. 16. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(﹣1,4]时,f(x) 2 x =x ﹣2 ,则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个数是 604. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 2 x 分析: 根据 y=x 与 y=2 的函数曲线在区间(0,4]有两个交点,在区间(﹣1,0]区间有 2 x 2 x 一个交点,f(x)=x ﹣2 =16 无根,可得 x∈(﹣1,4]时,f(x)=x ﹣2 有 3 个零点,且 x∈ 2 x (﹣6,﹣1]时,f(x)=x ﹣2 无零点,进而分析出函数的周期性,分段讨论后,综合讨论结 果可得答案. 2 x 解答: 解:y=x 与 y=2 的函数曲线在区间(0,4]有两个交点,在区间(﹣1,0]区间有 一个交点,

但当 x∈(﹣1,4]时,f(x)=x ﹣2 =16 无根 2 x 即当 x∈(﹣1,4]时,f(x)=x ﹣2 有 3 个零点 由 f(x)+f(x+5)=16, 2 x 即当 x∈(﹣6,﹣1]时,f(x)=x ﹣2 无零点 又∵f(x+5)+f(x+10)=f(x)+f(x+5)=16, ∴f(x+10)=f(x) ,即 f(x)是周期为 10 的周期函数, 在 x∈[0,2013],分为三段 x∈[0,4],x∈(4,2004],x∈在[0,2013]上的零点个数是 604 故答案为:604 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的零点,其中熟练掌握对数 函数和二次函数的图象和性质,分析出一个周期上函数的零点个数是解答的关键. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17. (12 分) 已知集合 , 集合 B={x|y=ln (4﹣3x﹣x ) }, 集合 C={x|m+2
2

2

x

<x<2m﹣3}. (Ⅰ)设全集 U=R,求(?UA)∩B; (Ⅱ)若 C∩(?RA)=?,求实数 m 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (I)求出函数 和 y=ln(4﹣3x﹣x )的定义域 A,B,集合交集,
2

并集,补集的定义,可得答案. (Ⅱ)若 C∩(?RA)=?,则 C=?或 C 与?RA 没有公共元素,即 C?A,进而可得实数 m 的取 值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵集合 集合 B={x|y=ln(4﹣3x﹣x )}=(﹣4,1) , ∴?UA=(﹣2,9) , ∴(?UA)∩B=(﹣2,1) . (Ⅱ)∵C∩(?RA)=?, ∴C?A, 当 C=?时,m+2≥2m﹣3,解得 m≤5, 当 C≠?时,则 或 ,解得:m≥7,
2

=(﹣∞,﹣2]∪[9,+∞) ,

综上:实数 m 的取值范围是 m≤5 或 m≥7. 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 18. (12 分)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f (1)=1,若 m,n∈[﹣1,1], m+n≠0 时有 >0.

(1)判断 f (x)在[﹣1,1]上的单调性,并证明你的结论;

(2)解不等式:f(x+ )<f(
2

) ;

(3)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数恒成立问 题. 分析: (1)由单调性定义判断和证明; (2)由 f(x)是奇函数和(1)的结论知 f(x)在上[﹣1,1]是增函数,再利用定义的逆用求 解; (3)先由(1)求得 f(x)的最大值,再转化为关于 a 的不等式恒成立问题求解. 解答: 解: (1)任取﹣1≤x1<x2≤1,则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)= ∵﹣1≤x1<x2≤1,∴x1+(﹣x2)≠0, 由已知 >0,又 x1﹣x2<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x)在[﹣1,1]上为增函数; (2)∵f(x)在[﹣1,1]上为增函数,

故有

(3)由(1)可知:f(x)在[﹣1,1]上是增函数, 且 f(1)=1,故对 x∈[﹣l,1],恒有 f(x)≤1. 2 所以要使 f(x)≤t ﹣2at+1,对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立, 2 2 即要 t ﹣2at+1≥1 成立,故 t ﹣2at≥0 成立. 2 即 g(a)=t ﹣2at 对 a∈[﹣1,1],g(a)≥0 恒成立, 只需 g(a)在[﹣1,1]上的最小值大于等于零. 故 解得:t≤﹣2 或 t=0 或 t≥2. 点评: 本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想. 19. (12 分)对于函数 f(x) ,若存在 x0∈R,使方程 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不 2 动点,已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣1(a≠0) . (1)当 a=1,b=﹣2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)当 a=1,b=﹣2 时,求 f(x)在[t,t+1]上的最小值 g(t) . (3)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围.

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)首先利用信息要求解出结果. (2)二次函数的轴固定区间不固定的讨论. (3)恒成立问题的应用. 2 解答: 解: (1)由题意得:f(x)=x ﹣x﹣3 由于 x0 是不动点 因此得: 即: 解得:x0=﹣1 或 3 即 3 和﹣1 是 f(x)的不动点. (2)①当 t≤ 时,g(t)=t +t﹣3
2

②当﹣ <t< 时,g(t)=﹣ ③当 t≥ 时,g(t)=t ﹣t﹣3 (3)因为 f(x)恒有两个不动点 2 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣1=x 2 即:ax +bx+b﹣1=0 恒有两个不等实根 2 即对于任意的实数都有△ =b ﹣4a(b﹣1)>0 恒成立 2 进一步得:对任意的实数 b,b ﹣4ab+4a>0 恒成立.
2

得到:a ﹣a<0 0<a<1 故答案为: (1)3 和﹣1 是 f(x)的不动点 (2) )①当 t≤ 时,g(t)=t +t﹣3
2

2

②当﹣ <t< 时,g(t)=﹣ ③当 t≥ 时,g(t)=t ﹣t﹣3 (3)0<a<1 点评: 本题考查的知识点:信息抽象函数的应用,二次函数的轴固定区间不固定的讨论, 恒成立问题的应用及一元二次不等式和一元二次方程的解法. 20. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (1)若 a=﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1, 2],函数 g(x)=x +x [f′(x)+ ](f′(x)是 f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函 数,求 m 的取值范围;
3 2 2

(3)求证:

×

×

×…×

< (n≥2,n∈N ) .

*

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)a=﹣1 时, (2)由 ,由此能求出 f(x)的单调增区间和单调减区间. , (2,f(2) )点切线倾斜角为 45°,求出 f'(x)=﹣ +2,由此能求

出 m 的取值范 (3)构造函数 f(x)=x﹣ln(x+1) ,x>1,由导数性质求出当 n≥2,n>ln(n+1) ,由此能证 明 × × ×…× < (n≥2,n∈N ) .
*

解答: (1)解:a=﹣1 时,f(x)=﹣lnx+x﹣3, ∴x>0, 由 , ,得 x=1.

x>1 时,f′(x)>0;0<x<1 时,f′(x)<0. ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞) ,单调减区间为(0,1) . (2)解:∵f(x)=alnx﹣ax﹣3,∴ ∵(2,f(2) )点切线倾斜角为 45°, ∴f'(2)=1,即 ﹣2=1,则 a=﹣2,f'(x)=﹣ +2, 则 g(x)=x +x (﹣ +2+ )=x +(2+ )x ﹣2x, g'(x)=3x +(4+m)x﹣2, ∵函数不单调,也就是说在(t,3)范围内,g'(x)=0 有解, ∵g'(0)=﹣2<0,∴当且仅当 g'(t)<0 且 g'(3)>0 时方程有解, 2 2 ∴3t +(4+m)t﹣2<0 且 3×3 ﹣3(4+m)﹣2>0, 解得﹣ ∴﹣ <m< ﹣3t﹣4,又∵t∈[1,2], <m<﹣9, ,﹣9) .
2 3 2 3 2



∴m 的取值范围(﹣

(3)证明:先证明当 n≥2,n∈Z 时,n>lnn 构造函数 f(x)=x﹣ln(x+1) ,x>1 则 f′(x)=1﹣ = ,

∵x>1,∴f′(x)>0, ∴f(x)>f(1)=1﹣ln(1+1)>0

∴当 n≥2,n∈N 时,n>ln(n+1) , ∴ ∴ < = . , ,…, , ,

*

点评: 本题考查函数的单调区间的求法,考查实数的取值范围的求法,考查不等式的证明, 解题时要认真审题,注意导数性质和构造法的合理运用. 21. (12 分)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)m=e 时,f(x)=lnx+ ,利用 f′(x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极 小值; (Ⅱ)由函数 g(x)=f′(x)﹣ ,令 g(x)=0,求出 m;设 φ(x)=m,求出 φ(x)的值 域,讨论 m 的取值,对应 g(x)的零点情况; (Ⅲ)由 b>a>0, <1 恒成立,等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立;即

h(x)=f(x)﹣x 在(0,+∞)上单调递减;h′(x)≤0,求出 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=e 时,f(x)=lnx+ ,

∴f′(x)=



∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数; ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2;

(Ⅱ)∵函数 g(x)=f′(x)﹣ = ﹣

﹣ (x>0) ,

令 g(x)=0,得 m=﹣ x +x(x>0) ; 设 φ(x)=﹣ x +x(x≥0) , ∴φ′(x)=﹣x +1=﹣(x﹣1) (x+1) ; 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数, 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数; ∴x=1 是 φ(x)的极值点,且是极大值点, ∴x=1 是 φ(x)的最大值点, ∴φ(x)的最大值为 φ(1)= ; 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象,如图; 可知: ①当 m> 时,函数 g(x)无零点; ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 综上,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点;
2 3

3

(Ⅲ)对任意 b>a>0, 等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立; 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0) , ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减; ∵h′(x)= ﹣ ∴m≥﹣x +x=﹣ ∴m≥ ; 对于 m= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立; ∴m 的取值范围是[ ,+∞) .
2

<1 恒成立,

﹣1≤0 在(0,+∞)上恒成立, + (x>0) ,

点评: 本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及 求函数的极值和最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题,是难题. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写 清题号. 【选修 4-1 几何证明选讲】 22. (10 分)已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 AB,直线 AF 交⊙O 于 F(不与 B 重合) , 直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC.求证: (1)∠BAC=∠CAG; 2 (2)AC =AE?AF.

考点: 圆周角定理;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: (1)连接 BC,根据 AB 为⊙O 的直径得到∠ECB 与∠ACG 互余,根据弦切角得到 ∠ECB=∠BAC,得到∠BAC 与∠ACG 互余,再根据∠CAG 与∠ACG 互余,得到 ∠BAC=∠CAG; (2)连接 CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得∠GCF=∠ECB,再用外角进行等量代换, 得到∠AFC=∠ACE,结合∠FAC=∠CAE 得到△ FAC∽△CAE,从而得到 AC 是 AE、AF 的 2 比例中项,从而得到 AC =AE?AF. 解答: 证明: (1)连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径…(2 分) ∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°…(1 分) ∵GC 与⊙O 相切于 C, ∴∠ECB=∠BAC ∴∠BAC+∠ACG=90°…(4 分) 又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90°

∴∠BAC=∠CAG…(6 分) (2)由(1)可知∠EAC=∠CAF,连接 CF ∵GE 与⊙O 相切于 C, ∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB ∵∠AFC=∠GCF+90°,∠ACE=∠ECB+90° ∴∠AFC=∠ACE…(8 分) ∵∠FAC=∠CAE ∴△FAC∽△CAE…(10 分) ∴ ∴AC =AE?AF…(12 分)
2

点评: 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点,属于中 档题.解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换,方可得到相似三角形. 【选修 4--4;坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐 标,最后化成极坐标即可; (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= x﹣ +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的值.
2 2

)=2



解答: 解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x +(y﹣2) =4,x+y﹣4=0, 解 得 或 ,

∴C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) .

(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) , 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0, 由参数方程可得 y= x﹣ +1,





解得 a=﹣1,b=2. 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法, 方程思想的应用,属于基础题. 【选修 4--5;不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|,其中 a>1 (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2 的解集{x|1≤x≤2},求 a 的值. 考点: 带绝对值的函数;绝对值不等式的解法. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (1)当 a=2 时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,直接求出不等式|x﹣2|+|x ﹣4|≥4 的解集即可.

(2)设 h(x)=f(2x+a)﹣2f(x) ,则 h(x)=

.由|h(x)|≤2 解得

,它与 1≤x≤2 等价,然后求出 a 的值. 解答: 解: (1)当 a=2 时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4, 当 x≤2 时,得﹣2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,得 2≥4,无解; 当 x≥4 时,得 2x﹣6≥4,解得 x≥5; 故不等式的解集为{x|x≥5 或 x≤1}.

(2)设 h(x)=f(2x+a)﹣2f(x) ,则 h(x)=

由|h(x)|≤2 得



又已知关于 x 的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2 的解集{x|1≤x≤2},

所以



故 a=3. 点评: 本题是中档题,考查绝对值不等式的解法,注意分类讨论思想的应用,考查计算能 力,常考题型.


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