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2012年湖南高考试题(文数,word解析版)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(文科)
【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥(lbylfx@sina.com)
一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 M= ? ? 1, 0,1? ,N= ? x | x ? x ? ,则

M∩N=( B )
2

A. ? ? 1, 0,1? 【答案】 B

B. ? 0 ,1?

C. ?1?

D. ? 0 ?

【解析】? N ? ? 0,1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出 N ? ? 0,1? ,再利用交集定义得 出 M∩N. 2.复数 z ? i (i ? 1) ( i 为虚数单位)的共轭复数是( A ) A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i 【答案】 A 【解析】由 z=i(i+1)= ? 1 ? i ,及共轭复数定义得 z ? ? 1 ? i . 【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念,考查基本运算能力.先把 Z 化 成标准的 a ? bi ( a , b ? R ) 形式,然后由共轭复数定义得出 z ? ? 1 ? i . 3.命题“若 ? ? A.若 ? ?
?
4

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是( C ) B. 若 ? ?
?
4

,则 tan ? ? 1
?
4

,则 tan ? ? 1
?
4

C.若 tan ? ? 1 ,则 ? ? 【答案】 C

D. 若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ” ,所以 “若α = =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则α ≠
?
4

?
4

,则 tanα

”.

【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题 的能力. 4.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是 ...

-1-

【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下 面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可 能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩 形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据
y 一组样本数据(xi,yi) i =1,2,…,n) ( ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71,

则下列结论中不正确的是( D ) ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 ( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 【答案】D
y 【解析】由回归方程为 ? =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线性相关

? 关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y ? bx ? a ? bx ? y ? bx ( a ? y ? bx ) ,所以回

归直线过样本点的中心( x , y ) ,利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是 找不正确的答案,易错.

-2-

6.已知双曲线 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,

则 C 的方程为( A ) A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

20

5

5

20

80

20

20

80

【答案】A 【解析】设双曲线 C :
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 1 0, c ? 5 .
b a ?2 ,即 a ? 2 b .

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?
x
2

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5, b ?
2 2 2

5 ,? C 的方程为

20

-

y

2

5

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型. 7.设 a>b>1 , c ? 0 ,给出下列三个结论: ①
c a



c b

② a <b

c

c

③ lo g b ( a ? c ) ? lo g a ( b ? c ) . D ) C .② ③
1 b c a c b

其中所有的正确结论的序号是( A .① B.① ② 【答案】D 【解析】由不等式及 a>b>1 知
1 a ?

D.① ②③

,又 c ? 0 ,所以



,①正确;由指数函数的图像

与性质知②正确;由 a>b>1, c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的图像与性质知 ③正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像 与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8.在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60° ,则 BC 边上的高等于( B )
3 2 3 3 2 3? 2 6
3? 4 39

A . 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】设 A B ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 A C ? A B ? B C ? 2 A B ? B C ? cos B ,
2 2 2

即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c ? 2 c ? 3 ? 0, 即 ( c - 3)( c ? 1) =0.又 c ? 0,? c ? 3.
2

?

2

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S ? A B C ?
1 2
?

1 2

A B ?B C ?sin B ?

1 2

B C ?h ,知

? 3 ? 2 ? sin 6 0 ?

1 2

? 2 ? h ,解得 h ?

3 3 2

.

-3-

【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. 9.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2π 的偶函数, f ? ( x ) 是 f ( x ) 的导函数. 当 x∈[0,π] 时,0< f ( x ) <1; 当 x∈(0,π) 且 x ?
?
2

时 ,(x ?

?
2

) f ? ( x ) >0 .

则函数 y ? f ( x ) ? sin x 在[-2π,2π] 上的零点个数为( B ) A .2 【答案】B B .4
?
2
? ? x ? 0, ? 2 ?

C .5
?
2 ) f ? ( x ) ? 0 ,知

D. 8

【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠

时 ,(x ?

? ?? ? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为 减 函 数 ;x ? ? , ? ? ? 2

? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为 增 函 数 ? ?

又 x ? ? 0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标系 中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x ) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 4 个.
y

1
y ? f (x)
o

? 2?

2?
y ? sin x

x

?1

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 二、填空题,本大题共 7 小题,考生作答 6 小题.每小题 5 分共 30 分,把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上. (一)选做题, (请考生在第 10,,1 两题中任选一题作答,如果全做 ,则按前一题记分) 10.在极坐标系中,曲线 C 1 : ? ( 2 co s ? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C 2 : ? ? a ( a ? 0 ) 的一个交点在极轴上,则 a= 【答案】
2 2



【解析】曲线 C 1 的直角坐标方程是 2 x ? y ? 1 ,曲线 C 2 的普通方程是直角坐标方程
x ? y ? a ,因为曲线 C1: ? ( 2 co s ? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C2: ? ? a ( a ? 0 ) 的一个交点在
2 2 2

-4-

极轴上,所以 C 1 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等,由 y ? 0, x ?

2 2

,知 a =

2 2

.

【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的 思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线 C 1 与曲线 C 2 的极坐标方 程都转化为直角坐标方程,求出与 x 轴交点,即得. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为 29℃~63℃,精确度要求 ? 1 ℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要的最 少实验次数为 . 【答案】7 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7. 【点评】本题考查优选法中的分数法,考查基本运算能力. (二)必做题(12~16 题)
2

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12.不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为 【答案】 ? x 2 ? x ? 3?
( ) ? 3 【解析】 x2-5x+6≤0, ( x ?) 2x 0 由 得 ?



, 从而的不等式 x2-5x+6≤0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3? .

【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力. 13.图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场 比赛中得分的方差为 . (注:方差 s ?
2

1

? ( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ? , ? n ?

0 1 0

8 3

9 5

其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平均数) 【答案】6.8 【解析】 x ?
s ?
2

图2

1 5

(8 ? 9 ? 1 0 ? 1 3 ? 1 5) ? 1 1 ,

1

? (8 ? 1 1) 2 ? (9 ? 1 1) 2 ? (1 0 ? 1 1) 2 ? (1 3 ? 1 1) 2 ? (1 5 ? 1 1) 2 ? ? 6 .8 . ? 5?

【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图,输入 x ? 4 .5 ,则输出的数 i ? .

-5-

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【答案】4 【解析】算法的功能是赋值,通过四次赋值得 x ? 0 .5 ,输出 i ? 4 . 【点评】本题考查算法流程图,考查分析问题解决问题的能力,平时学习时注意对分析问题 能力的培养.
? 15. 如图 4, 在平行四边形 ABCD 中, AP⊥BD, 垂足为 P, AP =3, A A 且 则 P C ??? ???? ? ?



【答案】18 【解析】设 A C ? B D ? O ,则 A C ? 2 ( A B ? B O ) , A P ?A C = A P ? 2 ( A B ? B O ) ?
??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? 2 A P ?A B ? 2 A P ?B O ? 2 A P ?A B ? 2 A P ( A P ? P B ) ? 2 A P ? 1 8 .
???? ??? ? ????

??? ???? ?

??? ?

??? ?

????

【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、 等价转化思想等数学思想方法. 16.对于 n ? N ,将 n 表示为 n ? a k ? 2 ? a k ?1 ? 2
k
?

k ?1

? ? ? a1 ? 2 ? a 0 ? 2 ,
1 0

当 i ? k 时, a i ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时, a i 为 0 或 1.定义 b n 如下:在 n 的上述表示中, 当 a 0 , a1 , a 2 , ? , a k 中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0. (1) b 2 ? b 4 ? b6 ? b8 ? ;

(2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数, 则 cm 的最大值是 . 【答案】 (1)3; (2)2. 【解析】 (1)观察知 1 ? a 0 ? 2 , a 0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 , a1 ? 1, a 0 ? 0, b 2 ? 1 ;
0 1 0

一次类推 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , b3 ? 0 ; 4 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 , b 4 ? 1 ;
1 0 2 1 0

5 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 , b5 ? 0 ; 6 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 , b 6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
2 1 0
2 1 0

b2+b4+b6+b8=3; (2)由(1)知 cm 的最大值为2.

-6-

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量 顾客数(人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x

y
2.5

结算时间(分钟/人) 1

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) ... 【解析】 (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一次 购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:
1 ? 1 5 ? 1 .5 ? 3 0 ? 2 ? 2 5 ? 2 .5 ? 2 0 ? 3 ? 1 0 100 ? 1 .9 (分钟).

(Ⅱ) A 为事件 记 “一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” A1 , A2 , A3 分别表示事件 , “该 顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” “该顾客一次购物的结算时间为 1 .5 分钟” “该顾客 , , 一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得
P ( A1 ) ? 15 100 ? 3 20 , P ( A2 ) ? 30 100 ? 3 10 , P ( A3 ) ? 25 100 ? 1 4

.

? A ? A1 ? A2 ? A3 , 且 A1 , A2 , A3 是互斥事件, ? P ( A ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ?

3 20 7 10

?

3 10

?

1 4

?

7 10

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为

.

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表 和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%, 25 ? y ? 10 ? 100 ? 55% , x ? y ? 35, 知 从而解得 x , y ,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二 问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. ... 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0, 0 ? ? ?
?
2

的部分图像如图 5 所示.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; ? ? ) 的单调递增区间. (Ⅱ)求函数 g ( x ) ? f ( x ? ) ? f ( x ?
12 12

-7-

【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2 ( 因为点 (
5? 12

1 1? 12

? 5? 12

5? 12

) ? ? ,? ? ?

2? T 5? 6

? 2. ??) ? 0 .

, 0 ) 在函数图像上,所以 A sin ( 2 ?

? ? ) ? 0, 即 sin (

又? 0 ? ? ?

?
2

,?

5? 6

?

5? 6

?? ?

4? 3

,从 而

5? 6

? ? =?, ? = 即

?
6

.

( ) 又 点 0 , 1 在 函 数 图 像 上 , 所 以 A sin

?
6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为

f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
6

).
? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 ? x ? 12 ? 6 ? ? ?

? ? ? ? ? ? g ( x ) ? 2 sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2 sin (Ⅱ) 12 ? 6 ? ? ?

? 2 sin 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

)

? 2 sin 2 x ? 2 (

1 2

sin 2 x ?

3 2

co s 2 x )

? sin 2 x ?

3 co s 2 x

? 2 sin ( 2 x ?

?
3

), ? 2x ?

由 2k? ?

?
2

?
3

? 2k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? 12

, k ? z.

? 5? ? ? , k? ? , k ? z. ? g ( x ) 的单调递增区间是 ? k ? ? 12 12 ? ? ?

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 1 1? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A , 从而求出 (x) f
12 12 T

的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得. 19.(本小题满分 12 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.

-8-

(Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

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【解析】 (Ⅰ)因为 P A ? 平 面 A B C D , B D ? 平 面 A B C D , 所 以 P A ? B D . 又 A C ? B D , P A , A C 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 P C ? 平面 PAC,所以 B D ? P C . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ? D P O 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ? D P O ? 3 0 . 由 BD ? 平面 PAC, P O ? 平面 PAC,知 B D ? P O . 在 R t ? P O D 中,由 ? D P O ? 3 0 ,得 PD=2OD.
? ?

因为四边形 ABCD 为等腰梯形, A C ? B D ,所以 ? A O D ,? B O C 均为等腰直角三角形, 从而梯形 ABCD 的高为
S ? 1 2 ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 1 2 AD ? 1 2 BC ? 1 2 ? ( 4 ? 2 ) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积

在等腰三角形AOD中, O D ?

2 2

, AD ? 2 2 ,

所以 P D ? 2 O D ? 4 2 , P A ?

PD ? AD
2

2

? 4.

故四棱锥 P ? A B C D 的体积为 V ?

1 3

? S ? PA ?

1 3

? 9 ? 4 ? 12 .

-9-

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问 只要证明 BD ? 平面 PAC 即可,第二问由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,所以 ? D P O 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ?
1 3 ? S ? P A 算得体积.

20.(本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投入 生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业 从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底 企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 a n ? 1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示). 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50% ) ? d ? 3000 ? d ,
a 2 ? a 1 (1 ? 5 0 % ) ? d ? 3 2 a1 ? d , 3 2 an ? d .

a n ? 1 ? a n (1 ? 5 0 % ) ? d ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a n ?

3 2 3

a n ?1 ? d

3 2 ? ( ) an?2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an?2 ? d ) ? d 2 2 ??
3 n ?1 3 3 2 3 n?2 ? ? ? ( ) a1 ? d 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? ?. 2 2 2 2 ? ? 3 n ?1 a n ? ( ) (3 0 0 0 ? d ) ? 2 d 2 ? 3 n ?1 ? ( ) ?1 ? 2 ? ? ?

整理得

- 10 -

3 n ?1 ? ( ) (3 0 0 0 ? 3 d ) ? 2 d . 2 3 n ?1 由题意, a n ? 4 0 0 0,? ( ) (3 0 0 0 ? 3 d ) ? 2 d ? 4 0 0 0, 2

? 3 n ? ( ) ? 2 ? 1000 n n ?1 ? 2 ? 1 0 0 0 (3 ? 2 ) ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ?2 ( ) ?1 2
1 0 0 0 (3 ? 2
n n ?1

故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

)

3 ?2
n

n

时, 经过 m ( m ? 3) 年企业的剩余资金为4

000元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解 决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 a n ? 1 与 an 的关系式 a n ? 1 ? 只要把第一问中的 a n ? 1 ? 21.(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 离心率为 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
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3 2

a n ? d ,第二问,

3 2

a n ? d 迭代,即可以解决.

1 2

的椭圆 E 的一个焦点为圆 C: 2+y2-4x+2=0 x

(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 切时,求 P 的坐标.

1 2

的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相

【解析】 (Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆C的圆心为点
2 2 2 2

( 2 , 0 ), 从而可设椭圆E的方程为
c a
x
2

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 其焦距为 2 c ,由题设知

c ? 2, e ?
y
2

?

1 2

,? a ? 2 c ? 4, b ? a ? c ? 1 2 . 故椭圆E的方程为:
2 2

?

? 1.

16

12

( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ) , l1 , l 2 的 斜 分 率 分 别 为 k 1 , k 2 . 则 l1 , l 2 的 方 程 分 别 为
l1 : y ? y 0 ? k 1 ( x ? x 0 ), l 2 : y ? y 0 ? k 2 ( x ? x 0 ), 且 k 1 k 2 ?

1 2

. 由 l1 与 圆 c : ( x ? 2 ) ? y ? 2 相
2 2

切,得

- 11 -

2 k1 ?

y 0? k1 ? 1
2

k1 x 0 ? 2,

即 同理可得

2 ? ( 2 ? x 0 ) 2 ? 2 ? k 12 ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k 2 ? y 0 ? 2 ? 0 . ? ?

? ( 2 x0 ? ?

2

2 ) ? 2 2? ? ? k

? ( x2 2 0
2

y 0 k 2 ? y? ?) 0
2 2

.

2

0

从而 k 1 , k 2 是方程 ? ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? k ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k ? y 0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ?
0

2 ? ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ? ? ? 8 ? ( 2 ? x 0 ) ? y 0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?



且 k1 k 2 ?

y0 ? 2
2

(2 ? x2 ) ? 2
2

? 2.

2 2 ? x0 y ? 0 ? 1, ? 10 ? 16 12 2 . 由? 得 5 x 0 ? 8 x 0 ? 3 6 ? 0 . 解得 x 0 ? 2, 或 x 0 ? 2 5 y0 ? 2 1 ? ? ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 2 2 ?

由 x 0 ? ? 2 得 y 0 ? ? 3; 由 x 0 ?

18 5

得 y0 ? ?

57 5

, 它们满足①式,故点P的坐标为

( ? 2, 3) ,或 ( ? 2, ? 3) ,或 (

18 5

,

57 5

) ,或 (

18 5

,?

57 5

).

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c , a , b 即得椭圆 E 的方 程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为
1 2

,得出关于点 P 坐标的一个

方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标. 22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=ex-ax,其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k,证明:
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存在 x0∈(x1,x2),使 f ? ( x 0 ) ? k 恒成立.
x 【解析】解: f ? ( x ) ? e ? a , 令 f ? ( x ) ? 0 得 x ? ln a .

当 x ? ln a 时 f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 单调递减; x ? ln a 时 f ?( x ) ? 0, f ( x ) 单调递增, 当 故当 x ? ln a

- 12 -

时, f ( x ) 取最小值 f (ln a ) ? a ? a ln a . 于是对一切 x ? R , f ( x ) ? 1 恒成立,当且仅当
a ? a ln a ? 1 .



令 g ( t ) ? t ? t ln t , 则 g ?( t ) ? ? ln t . 当 0 ? t ? 1 时, g ?( t ) ? 0, g ( t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?( t ) ? 0, g ( t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g ( t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 e
x2

?

e

x2

?e

x1

x 2 ? x1

? a.

x 令 ? ( x ) ? f ?( x ) ? k ? e ?

?e

x1

x 2 ? x1

,则

? ( x1 ) ? ?

? e x 2 ? x1 ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? , ? x 2 ? x1 ? e
x2

e

x1

? ( x2 ) ?

? e x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? . ? x 2 ? x1 ?
t t

令 F ( t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ? ( t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?( t ) ? 0, F ( t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?( t ) ? 0, F ( t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F ( t ) ? F (0 ) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t

从而 e

x 2 ? x1

? ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e

x1 ? x 2

? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0, 又

e

x1

x 2 ? x1

? 0,

e

x2

x 2 ? x1

? 0,

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x 2 ) ? 0 . 因为函数 y ? ? ( x ) 在区间 ? x1 , x 2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 ? ( x 0 ) ? 0, 即 f ? ( x 0 ) ? k 成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力, 考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 f ( x ) 取最小值
f (ln a ) ? a ? a ln a . 对一切 x∈R, f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x ) m in ? 1 从而得出求 a 的取值集合;
- 13 -

第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过 构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.

- 14 -


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