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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.2导数的概念导学案 新人教A版选修1-1


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.2 导数的概念导学案 新 人教 A 版选修 1-1
【学习目标】 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数. 【重点难点】 【学习内容】 一、创设情景 探究: 计算运动员在 0 ? t ? 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.

65 这 段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

(1)运动员在这段时间内使静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 二、学习新知 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的 瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附近的情况:

思考: 当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论: 2.导数的概念 从函数

y ? f ( x) 在 x

? x0 处的瞬时变化率是:
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

?x ? 0

lim

我们称它为函数 记作

y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,

f ' ( x0 ) 或

y' |x? x0
1

即 说明: (1)导数即为函数 (2) ?x

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率;

? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0
三、典例分析 例 1 (1)求函数 y ? 3x 2 在 x ? 1 处的导数. (2)求函数 f ( x) ? ? x 2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求 ?f ? ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,再求 解: (1)

?y ?y ,最后求 lim . ?x ?0 ?x ?x

(2)

例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第

xh 时,原油的温度(单位: C )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2 h 时和第

6 h 时,原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解:

注: 一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 四、课堂练习 1.质点运动规律为 s

? t 2 ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

2

2.求曲线 y ? f ( x) ? x 3 在 x ? 1 时的导数.

3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

五. 【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】 1.自变量由 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( A 在区间 [ x0 , x1 ] 上的平均变化率 B 在 x0 处的变化率 C 在 x1 处的变化率 D 在区间 [ x0 , x1 ] 上的导数 2.下列各式中正确的是( A y ' | x ? x0 ? ) )

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
f ( x0 ? ?x) ? f (?x) ?x

B f ' ( x 0 ) ? lim C y | x ? x0 ?
'

?x ?0

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
f ( x 0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?x


D f ' ( x0 ) ?

lim

?x ?0

' 3.设 f ( x) ? ax ? 4 , 若 f (1) ? 2 ,则 a 的值(

A C

2 3

B . -2 D -3
3

4. 任一做直线运动的物体, 其位移 s 与时间 t 的关系是 s ? 3t ? t , 则 物体的初速度是 (
2



A C

0 -2

B D

3

3 ? 2t

5.函数 y ? x ?

1 x

, 在x

? 1 处的导数是

6.

y ? x 3 ? 1,当 x ? 2 时

, lim ?y ? ?x ? 0 ? x

7 . ( 1 ) 已 知 f ( x ) 在 x ? x0 处 的 导 数 为 A , 求

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 及 ?x

lim

?x ? 0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 的值。 ?x

(2)若 f ?( x0 ) ? 2 ,求

lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值. h

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