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1986年(高考数学试题文理科)


一九八六年(理科)
一. (本题满分 30 分) (1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是
? ? ? i sin ) 4 4 ? ? (C) 2(sin ? i cos ) 4 4





(A) 2(cos

(B) 2(cos

? ? ? i

sin ) 4 4 ? ? (D) ? 2(sin ? i cos ) 4 4

(2)函数 y ? (0.2) ? x ? 1的反函数是 (A) y ? log5 x ? 1 (C) y ? log5 ( x ? 1)
4 3





(B) y ? logx 5 ? 1 (D) y ? log5 x ? 1 ( )

(3)极坐标方程 ? cos ? ? 表示

(A)一条平行于 x 轴的直线 (B)一条垂直于 x 轴的直线 (C)一个圆 (4)函数 y ? 2 sin 2x cos2x 是
? 2 ? (C)周期为 的奇函数 4

(D)一条抛物线 (
? 2 ? (D)周期为 的偶函数 4



(A)周期为 的奇函数

(B)周期为 的偶函数

(5)给出 20 个数:





87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91, 86,89,92,95,88 它们的和是 (A)1789 (B)1799 (C)1879 (D)1899

(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件, 那么丁是甲的 (A)充分条件 (C)充要条件 (B)必要条件 (D)既不充分也不必要的条件
1

( )

(7)如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么必有 (A)D=E (B)D=F (C)E=F ( ) (D)D=E=F

(8)在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的 中点,现在沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1 、 G2 、G3 三点重合,重合后的点记为 G,那么,在四面体 S-EFG 中必有 ( ) (A)SG⊥△EFG 所在平面 (B)SD⊥△EFG 所在平面 (C)GF⊥△SEF 所在平面 (D)GD⊥△SEF 所在平面
G1 E G2 S G3 F D

(9)在下列各图中,y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是 ( )
(A) Y (B) Y (C) Y (D) Y X O O X O X X O

(10)当 x ? [?1,0] 时,在下面关系式中正确的是

( )

(A) ? ? arccos(? x) ? arcsin 1 ? x2 (B) ? ? arcsin(? x) ? arccos 1 ? x 2 (C) ? ? arccosx ? arcsin 1 ? x 2 (D) ? ? arcsin x ? arccos 1 ? x 2

二. (本题满分 24 分)(只要求直接写出结果)

2

(1)求方程 25( x ? x?0.5) ? 4 5 的解。

2

(2)已知 ? ?

? 1 ? 3i , 求?2 ? ? ? 1 的值。 2

(3)在 xoy 平面上,四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0) 、 (1,0) 、 (2,1)及(0,3) 。求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到 的几何体的体积。

(4)求 lim

3n ? (?2) n n ?? 3 n ?1 ? (?2) n ?1

(5)求 (2 x 3 ?

1 5 ) 展开式中的常数项。 x2

(6)已知 sin ? ? cos ? ? , 求 sin 3 ? ? cos 3 ? 的值。

1 2

三. (本题满分 10 分)
3

如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上 不同于 A、B 的任一点,求证:平面 PAC 垂直于平面 PBC。
P


A

C O B

4

四. (本题满分 12 分) 当 sin2x>0,求不等式 log0.5 ( x 2 ? 2x ? 15) ? log0.5 ( x ? 13) 的解集。

五. (本题满分 10 分)

5

如图,在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴(坐标原点除外) 上给定两点 A、B。试在 x 轴的正半 轴(坐标原点除外)上求点 C,使∠ ACB 取得最大值。
A Y

B α β O C X

6

六. (本题满分 10 分) 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素,A∩B 含有 4 个元素,试 求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数: (1)C ? A ? B 且 C 中含有 3 个元素, (2) C ? A ? ? ( ? 表示空集)

7

七. (本题满分 12 分) 过点 M(-1,0)的直线 L1 与抛物线 y2=4x 交于 P1、P2 两点。记: 线段 P1P2 的中点为 P;过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2;L1 的 斜率为 k。试把直线 L2 的斜率与直线 L1 的斜率之比表示为 k 的函数, 并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它 是增函数还是减函数。
L2 Y P2 P M P1 F -1 O L1

X

8

八. (本题满分 12 分) 已知 x1>0,x1≠1,且 xn?1 ?
2 xn ( xn ? 3) , (n ? 1,2,?).试证:数列{xn}或 2 3x n ? 1

者对任意自然数 n 都满足 xn<xn+1,或者对任意自然数 n 都满足 xn> xn+1.

9

九. (附加题,本题满分 10 分) (1)求 y ? xarctgx2 的导数。 (2)求过点(-1,0)并与曲线 y ? 解: (1) y ? ? arctgx2 ? (2) y ? ?
1 , ( x ? 2) 2
x ?1 上, y ? | x??1 ? 1, 所以所求的切线方程为 y=x+1 x?2 x ?1 相切的直线方程。 x?2

2x 2 . 1? x4

而点 (-1, 0) 在曲线 y ?

10


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