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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用):简单的三角恒等变换(新人教A版)


第六节 简单的三角恒等变换

三年6考

高考指数:★★

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、

余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差
化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

1.利用公式变换,进行三角函数式的化简是高

考考查的热点.

2.常与实际应用问题、函数等结合命题.
3.高考主要以解答题的形式进行考查.

1.半角公式 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ????????????????????????? cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ???? ________ ________

? ???????????????????????以?代2?,???以 代?????????????? 2 ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ? 2sin 2 ??????????????????????????? 2cos 2 ? 1 ?? 2 2 ???????????________? ????????????________

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? ? ? 2 2 sin ? ________ ??????????????????????????? cos ? ________ ? 2 2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ?????????????????????????? ?
??????????????????????????????????????????? 1 ? cos ? ? ? ??????????????????????????? tan ? ________ ?? 1 ? cos ? 2

【即时应用】 (1)思考:你能用sinα、cosα表示 tan ? 吗?
2 ? ? ? sin sin ?2cos ? 提示:tan ? 2 ? 2 2 ? sin? , 2 cos ? cos ? ?2cos ? 1 ? cos? 2 2 2 ? ? ? sin sin ?2sin ? 2 ? 2 2 ? 1 ? cos? . tan ? 2 cos ? cos ? ?2sin ? sin? 2 2 2

(2)判断下列公式及其变形是否正确(请在括号中填写“√”或 “×”) ① cos ? ? ? 1 ? cos?
2 2 ② sin 2 ? ? 1 ? cos? 2 2 ③ tan ? ? 1 ? cos? 2 sin?

(

)

(
(

)
)

【解析】①根据公式可知根号下分子上应该是“+”,故错;②
等号右边分子上应该是“-”,故错;③等号右边分子上应该 是“-”,可以化简验证,故错. 答案:①× ②× ③×

(3)填空:①cos215°-sin215°=______.

②2sin215°-1=______.
【解析】①cos215°-sin215°=cos30°= ②2sin215°-1=-cos30°= ? 3 .
2 3 ; 2

答案:① 3
2

②? 3
2

2.形如asinx+bcosx的式子的化简
asinx+bcosx=________sin(x+φ) a 2 ? b2

(其中 sin? ?

b a ?b
2 2

,cos? ?

a a ?b
2 2

)

【即时应用】 (1)把下列三角函数式化成 ①sinα+
3cos? =______;
a 2 ? b 2 sin(x ? ?) 的形式

②sinα+cosα=______; ③5sinα+12cosα=______. (2)计算: cos10? ? 3sin10? =______.
1 ? cos80?

【解析】(1)① sin? ? 3cos? ? 1 ? ( 3) 2 sin(? ? ? ) ? 2sin(? ? ? ) ②sinα+cosα= 2sin(? ? ? );
4 3 3

③5sinα+12cosα= (其中 tan? ? 12 ).

52 ? 122 sin(? ? ?) ? 13sin(? ? ?)

5 1 3 2( cos10? ? sin10?) 2sin40? 2 (2)原式 ? 2 ? ? 2. 2 2sin40? 2sin 40?

答案:(1)① 2sin(? ? ? )

② 2sin(? ? ? )
4

3

③ 13sin(? ? ?)(其中tan? ? 12 )
5

(2) 2

三角函数式的求值 【方法点睛】三角函数式求值的类型和思路

(1)三角函数式求值的类型
三角函数式求值分为直接求值和条件求值,

①直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化
简变形求得三角函数式的值.

②条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求 得所需要的值,同时注意所给角的范围.

(2)条件求值的一般思路
①先化简所求式子或所给条件;

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入
手); ③将已知条件代入所求式子,化简求值.

【例1】求下列三角函数式的值

(1)sin50°(1+

3tan10? )=_______.
5 5

(2)若 cos(? ? ?) ? 1 ,cos(? ? ?) ? 3 , 则tanαtanβ=______.

(3)已知tan(

? 1 +α)=2,则 =______. 2 4 2sin?cos? ? cos ?

【解题指南】(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值,重 在公式的逆用;(2)利用两角和、差的余弦公式展开求 cosαcosβ,sinαsinβ,相除得结果;(3)根据已知条件求出 tanα,把所给的三角函数式变形,代入tanα即可.

【规范解答】(1)原式= sin50?(1 ? 3sin10? )
cos10?

1 3 2( cos10? ? sin10?) 2 ? sin50?? 2 cos10? sin30?cos10? ? cos30?sin10? ? 2sin50?? cos10? sin40? sin80? cos10? ? 2cos40?? ? ? ? 1. cos10? cos10? cos10?

(2)∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 1
5




cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 3
5

2 1 5 5 则 tan?tan? ? sin?sin? ? 1 . cos?cos? 2 (3)由 tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? 2, 得 tan? ? 1 , 4 1 ? tan? 3 2 2 1 sin ? ? cos ? 于是 ? 2sin?cos? ? cos 2? 2sin?cos? ? cos 2? 1 ( )2 ? 1 tan 2? ? 1 2 ? ? 3 ? . 2tan? ? 1 2 ? 1 ? 1 3 3 1 答案:(1)1 (2) (3) 2 2 3

由①②解得 cos?cos? ? ,sin?sin? ? ,

【反思·感悟】三角函数式求值问题的注意点 (1)三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思 路,否则会使求值过程繁琐. (2)条件求值要求准确利用所给的条件,在此可能涉及到式子 的变形和角的变换,同时要注意所给角的范围.

三角函数式的化简 【方法点睛】三角函数式化简的原则、要求及方法

(1)三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能
求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.

(2)
三角

①能求出值的应求出值;

函数
式化 简的

?

②尽量使三角函数种数最少; ③尽量使项数最少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数.

要求

(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化,异名化同名,异 角化同角. 【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用, 特别是“1”的代换经常用到.

【例2】化简 2 1 ? sin? ? 2(1 ? cos?), α∈(π,2π).

【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式,
化无理式为有理式,但要注意α的范围.

【规范解答】∵ 1 ? sin? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ?
? (sin ? ? ? cos ) 2, 2 2 2 2 2 2

2(1+cosα)= 2(1 ? 2cos 2 ? ? 1) ? 4cos 2 ? ,
? ? ? ? cos ? 2 cos . 2 2 2 ∵α∈(π,2π),∴ ? ? ( ? , ?),? cos ? ? 0, 2 2 2 当 ? ? ? ? 3 ?, 即 ? ? ? ? 3 ? 时, 2 2 4 2 ? ? sin ? cos ? 0, 2 2 ∴原式= 2(sin ? ? cos ? ) ? 2cos ? ? 2sin ? , 2 2 2 2
2 2

∴原式= 2 sin

当 3 ? ? ? ? ?, 即 3 ? ? ? ? 2? 时,sin ? ? cos ? ? 0,

∴原式 ? ?2sin ? ? 4cos ? ? ?2 5sin( ? ? ?) (其中 tan? ? 2 ),
2 2 2 ? 3 ? 2sin ,? ? ? ? ? ? 2 2 ∴原式= ? . ? ? 3 ??2 5sin( ? ?)(其中tan? ? 2), ? ? ? ? 2? ? 2 2 ?

4

2

2

2

2

【反思·感悟】本题利用了“1”的逆代技巧,即化1为
sin 2 ? ? 是欲擒故纵原则.一般地有 ? cos 2 , 2 2

1 ? sin2? ? sin? ? cos? , 1 ? cos2? ? 2 cos? , 1 ? cos2? ? 2 sin? .

三角恒等式的证明 【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点 (1)证明恒等式的方法: ①从左到右;②从右到左; ③从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简,必要时也可用分析法.

(2)三角恒等式证明的切入点:
①看角:分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化;

②看函数:统一函数,向结果中的函数转化.

【例3】证明:(1) 2sin( ? ? x)?sin( ? ? x) cos2x. ?
4 (2) 1 ? 2sin??cos? ? 1 ? tan? . cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan? 4

【解题指南】(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角,再

利用公式推导;
(2)从等号的左边证明,主要是利用同角三角函数关系式,注 意“1”的代换.

【规范解答】(1)左边= 2sin( ? ? x)?cos( ? ? x)

=sin( ? -2x)=cos2x=右边,原题得证.
cos 2 ? ? sin 2? ? 2sin??cos? (2)左边= (cos? ? sin?)?(cos? ? sin?) (cos? ? sin?) 2 ? (cos? ? sin?)(cos? ? sin?) = cos? ? sin? ? 1 ? tan? =右边,原题得证. cos? ? sin? 1 ? tan?
2

4

4

【反思·感悟】1.三角函数式的化简与证明的类型及思路
(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式; (2)对三角的分式,基本思路是分子与分母约分和逆用公式, 最终变成整式或数值; (3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式. 2.化简与证明的过程中体现了化归的思想,是一个“化异为 同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的

变换,即“单角化倍角”、“单角化复角”,“复角化单角”、
“复角化复角”等具体手段.

asinx ? bcosx ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?) 的应用

【方法点睛】三角函数性质的讨论 (1)三角函数性质的讨论,可通过变形为asinθ+bcosθ=
a 2 ? b 2 sin(? ? ?) (其中 tan? ?
b )的形式去讨论.这样的变形, a

主要是 ? 角的确定.
(2)通过恒等变形,可以将较为复杂的函数形式转化为较为简

洁的函数形式,有利于更好地讨论三角函数的性质,但要注意
是恒等变形,因为在某些情形下,变形会导致定义域的变化, 从而影响函数的值域和周期等性质.

【提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当φ为特殊

角即 | b | 的值为1或 3( 3 ) 时要熟练掌握.对φ是非特殊角时,
a

3

只要求会求最值即可.

【例4】已知函数 f (x) ? sin 2 ?x ? 3sin?xsin(?x ? ? ) (ω>0)的最
2

小正周期为π.

(1)求ω的值;
2 (2)求函数f(x)在区间[0, ? ]上的取值范围. 3

【解题指南】先利用三角恒等变换把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+
φ)+b的形式,求周期得到ω,再讨论三角函数的性质.

【规范解答】(1)f(x)=

1 ? cos2?x 3 ? sin2?x 2 2 3 1 1 ? sin2?x ? cos2?x ? 2 2 2 ? 1 ? sin(2?x ? ) ? 6 2

因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0, 所以 2? ? ?, 解得ω=1. (2)由(1)得f(x)= sin(2x ? ? ) ? 1 . 因为 0 ? x ? 2? , 所以 ? ? ? 2x ? ? ? 7? ,
6 6 6 3 6 2 2?

所以 ? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1.

因为 0 ? sin(2x ? ? ) ? 1 ? 3 ,所以f(x)在区间[0, 2 ?]上的取值
6 2 2 3

2

6

范围为 0, 3 ] [ .
2

【反思·感悟】此题第(1)问主要是要求正确的恒等变形,第
2 (2)问要注意[0,? ] 这样 2x ? ? 的范围就能具体求出,再求 . 3 6

f(x)的取值范围.

【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011·四川高考)已知函数f(x)=sin(x+
7? 3? ) ? cos(x ? ), x∈R. 4 4

(1)求f(x)的最小正周期和最小值;

(2)已知 cos(? ? ?) ? 4 ,cos(? ? ?) ? ? 4 , 0<α<β≤ , 求证: 2 5 5
[f(β)]2-2=0.

?

【解题指南】(1)把f(x)化成 Asin(?x ? ?) 的形式; (2)利用两角和与差的余弦公式展开,两式相加可得 2cosβcosα=0,结合 0 ? ? ? ? ? ? 可得 ? ? ? , 从而问题得证.
2 2 【规范解答】(1)∵ f (x) ? sin(x ? 7? ? 2?) ? sin(x ? 3? ? ? ) 4 4 2 ? ? ? sin(x ? ) ? sin(x ? ) 4 4 ? ? 2sin(x ? ). ??????????????????3分 4

∴f(x)的最小正周期T=2π,f(x)的最小值为-2.
????????????????????????5分

(2)由已知得 cosβcosα+sinβsinα= 4 ,
5

cosβcosα-sinβsinα= ? 4 ,
5

两式相加得2cosβcosα=0.
∵0<α<β≤ , ∴ ? ? ,
? 2

???????????8分

? 2 ∴[f(β)]2-2= 4sin 2 ? ? 2 ? 0. ??????????12分 4

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议: 解答本题时有三点容易失分: 失 分 警 示

(1)第(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错,得
不到化简后的正确结果. (2)由α,β的和差的余弦值得不到2cosβcosα=0而导 致后续计算无法进行. (3)在第(2)问中得到2cosβcosα=0后忽略 0 ? ? ? ? ? ? 得不到β的值,而无法继续往下做.
2

解答此类问题时还有以下几点容易造成失分,在备 考时要高度关注:

备 (1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错
考 误. 建 (2)忽略特殊角的值而使问题漏解. 议 另外,如果给出的三角函数的表达式较为复杂,必 须先通过恒等变换,将三角函数的表达式变形化简, 然后根据化简后的三角函数讨论其图象和性质.

1.(2011·大纲版全国卷)已知 ? ? ( ? , ?),sin? ? 5 , 则tan2α
2 5

=__________. 【解析】由 ? ? ( ? , ?),sin? ? 5 , 得 cos? ? ? 2 5 ,
sin? 1 ?? , cos? 2 2tan? 4 tan2? ? ?? . 1 ? tan 2 ? 3 答案:? 4 3 tan? ?

2

5

5

2.(2011·重庆高考)已知sinα= 1 +cosα,且α∈(0, ? ), 则
cos2? 的值为______. ? sin(? ? ) 4
2 2

【解析】由题意知sinα-cosα= 1 ,
2

两边平方可得 sin2? ? 3 ,
4

所以(sinα+cosα)2=1+sin2α=
2

又α∈(0, ? ),所以sinα+cosα=

7 , 4

7 , 2

cos2? cos 2? ? sin 2? ? ? 2 sin(? ? ) (sin? ? cos?) 4 2 14 ? ? 2 ? sin? ? cos? ? ? ? . 2 答案: ? 14 2

3.(2011·福建高考)设函数f(θ)= 3 sinθ+cosθ,其中,角θ 的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且0≤θ≤π. (1)若点P的坐标为 ( , ), 求f(θ)的值;
?x ? y ? 1 ? (2)若点P(x,y)为平面区域Ω: x ? 1 上的一个动点,试确 ? ?y ? 1 ?

1 3 2 2

定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.

【解析】(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得
? 3 sin? ? ? ? 2 . ? ?cos? ? 1 ? 2 ?

于是f(θ)=

3sin? ? cos? ? 3 ?

3 1 ? ? 2. 2 2

(2)作出平面区域Ω(即阴影部分)
如图所示,

其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).

于是0≤θ≤

? ), 6 ? ? 2? ? ? ? ? , 故当 ? ? ? ? ? ,即θ= ? 时, 且 6 6 3 6 2 3

? . 2

又f(θ)= 3 sinθ+cosθ=2sin(θ+

f(θ)取得最大值,且最大值等于2; 当 ??
? ? ? ,即θ=0时, 6 6

f(θ)取得最小值,且最小值等于1.


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