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高中数学课件 棱柱、棱锥、棱台的结构特征


第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.了解多面体和旋转体的含义.
2.利用实物初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征. 3.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义.

1.多面体的相关概念 平面多边形 所围成的几何体. (1)定义:由若干个______

_____ (2)相关概念:
顶点 多边形 ①面:围成多面体的各个_______;

公共边 ②棱:相邻两个面的_______;
棱与棱 的公共点. ③顶点:_______




(3)多面体的分类:按围成多面体
面 的个数分为四面体、五面体、六面体等. 的___

2.旋转体

(1)定义:由一个平面图形绕它所在 定直线 旋转所形成的 平面内的一条_______
封闭 几何体. _____ 定直线 (2)轴:这条_______.


3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
类别 定义 图形 相关概念 分类
依据:底 面多边形 边数 的_____. 举例: 三棱柱 _______ (底面是 三角形)、 四棱柱 _______ (底面是四 边形)??

棱 柱

一般地,有两 底面:两 平 个面互相 个互相___ 行 的面. 平行 其余各 ____, ___ 四 其 侧面 面都是___ 侧面:___ 底面 边形 并且 侧棱 余各面 _____, _______. 每相邻两个 侧棱:相 顶点 四边形的公 邻侧面的 公共边 共边都互相 _______. 如图,棱柱可记作: 平行 侧 _____,由这 顶点: ___ ABCDEF棱柱________ 面 与底面 些面所围成 ___ A′B′C′D′E′F′ ___________________ 的多面体叫 的公共顶 做棱柱 点

类别

定义 一般地,有 一个面是 多边形 其 _______, 余各面都是 一个公共 有_________ 顶点 的三角 _____ 形,由这些面 所围成的多 面体叫做棱 锥

图形
顶点

相关概念

分类 依据:底 面多边形 的边数. 举例:三 棱锥(底 面是三角 形)、四 棱锥(底 面是四边 形)??

棱 锥

多边 底面:_____ 形的面 侧 _______. 侧棱 侧面 公共 面:有_____ 顶点 的各个 _____ 底面 三角形面.侧 棱:相邻侧 公共边 面的_______. 如图,棱锥可记 顶点:各侧 公共顶 S-ABCD 面的_______ 作:棱锥_______ 点 ___

类别

定义

图形

相关概念

分类 依据:由 几棱锥截 得. 举 例:三棱 台(由三 棱锥截 得)、四 棱台(由 四棱锥截 得)??

棱 台

用一个 平行于 棱锥底 面的平 面去截 棱锥,底 面与截 面之间 的部分 如图,棱台可记作:棱 ABCD-A′B′C′D′ 叫做棱 台__________________ 台

上底面:原 棱锥的截面. 下底面:原 棱锥的底面. 侧面:其余 各面.侧棱: 相邻侧面的 公共边.顶 点:侧面与 上(下)底面 的公共顶点.

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱 都相等.( ) ) ) )

(2)五棱锥只有五条棱.( (3)一个棱柱至少有五个面.(

(4)棱台的各侧棱延长后交于一点.(

提示:(1)错误.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,
也可以不相等.

(2)错误.五棱锥除了五条侧棱外,底面上还有五条棱,故共10
条棱.

(3)正确.因为一个棱柱最少有三个侧面,两个底面,故至少有
五个面. (4)正确.因为棱台是由平行于棱锥底面的截面截得,所以棱台 的各侧棱延长后交于一点. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线

上).
(1)如图中的几何体叫做 面PBC,平面PCD叫它的 ,PA,PB叫它的 ,平面ABCD叫它的 ,平 .

(2)棱柱的顶点最少有 最少有 条.

个,侧棱最少有

条, 棱

(3)下列几何体中,是棱柱的是

(填序号).

【解析】(1)观察该几何体为四棱锥,根据棱锥的结构特征可
知PA,PB叫它的侧棱,平面PBC,平面PCD叫它的侧面,平面ABCD

叫它的底面.
答案:四棱锥 侧棱 侧面 底面

(2)最简单的棱柱是三棱柱,有6个顶点,3条侧棱,9条棱. 答案:6 3 9

(3)根据棱柱的定义知,这4个几何体都是棱柱. 答案:①②③④

一、棱柱的结构特征 探究1:观察下面的棱柱,思考下面的问题:

(1)棱柱的侧棱长相等吗?侧面是什么四边形? 提示:棱柱的侧棱长相等,侧面是平行四边形.

(2)两个底面多边形是全等关系吗?与平行于底面的截面呢? 提示:两个底面多边形是全等关系,与平行于底面的截面也是 全等关系. (3)过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形? 提示:因为棱柱每条侧棱都相等,每个侧面都是平行四边形,

所以侧棱平行且相等,因此过不相邻的两条侧棱的截面是平行
四边形.

探究2:若一个几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行
四边形,这个几何体是否是棱柱?

提示:如图所示的几何体有两个面互相平
行,其余各面都是平行四边形,但这个几何 体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体. 其原因是不具备条件“每相邻两个四边形 的公共边都互相平行”.

【探究提升】对棱柱的两点说明 (1)“面”:两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形. (2)“线”:每相邻两个四边形的公共边互相平行 .

【拓展延伸】几类常见的特殊棱柱
(1)直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱.

(2)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱 .
(3)直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体 . (4)长方体:底面是矩形的直平行六面体. (5)正方体:棱长都相等的长方体.

二、棱锥的结构特征
探究1:观察下面的几何体,思考问题:

(1)一个棱锥至少有
底面, 个侧面,

个面;一个N棱锥分别有_____个
条侧棱, 个顶点.

答案:4

1

N

N

1

(2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关 系如何? 提示:它们是相似的多边形. (3)棱锥所有的面可以都是三角形吗? 提示:可以,当棱锥的底面为三角形时,其所有的面都是三角 形.

探究2:有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是 棱锥吗? 提示:未必是棱锥.如图所示的几何体,满 足各面都是三角形,但这个几何体不是棱 锥,因为它不满足条件“其余各面都是有 一个公共顶点的三角形”.

【探究提升】棱锥具有的三个特征

(1)有一个面是多边形.
(2)其余的各面是三角形. (3)这些三角形有一个公共顶点. 三者缺一不可.

三、棱台的结构特征

探究1:观察下面的几何体,思考问题:

(1)图①是棱台吗?

提示:不是,因为该几何体的侧棱延长后不交于同一点,因此
该几何体不是棱台.

(2)用任意一个平面去截棱锥,一定能得到棱台吗?
提示:不一定,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得 到棱台.

探究2:若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则 它一定是棱台吗?

提示:未必是棱台,因为它们的侧棱延
长后不一定交于一点,如图,用一个平

行于楔形几何体底面的平面去截楔形
几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行 ,其余各面

是梯形,但它不是棱台,所以看一个几何体是否是棱台,不仅要
看是否有两个面平行,其余各面是否是梯形,还要看其侧棱延

长后是否交于一点.

【探究提升】对棱台的三点说明 (1)画棱台:为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画 棱台. (2)转化:如果解棱台问题遇到困难时 ,可以将它还原为棱锥 再求解,因为它是由棱锥截来的. (3)计算:可以利用两底是相似多边形进行有关运算 .

类型 一

几何体概念的理解与应用

尝试解答下面的问题,体会棱柱、棱锥、棱台的概念,并 总结解决概念辨析题的关注点. 1.下面描述中,不是棱锥的结构特征的为( A.三棱锥有四个面是三角形 B.棱锥都是有两个面是互相平行的多边形 C.棱锥的侧面都是三角形 D.棱锥的侧棱相交于一点 )

2.下列说法中正确的是(

)

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形 的几何体叫棱锥

【解题指南】1.根据棱锥的结构特征判断.
2.由棱柱、棱锥、棱台的概念及主要结构特征判断选项的正 误. 【解析】1.选B.根据棱锥的结构特征,知棱锥中不存在互相平 行的多边形. 2.选D.根据棱柱的结构特征可知A,B不符合,所以A,B错误;C不 符合棱台的结构特征,所以错误;D满足棱锥的定义正确.

【技法点拨】解答空间几何体概念辨析题的关注点

(1)认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征 ,采用举
反例法排除错误的选项.

(2)从底面多边形的形状,侧面形状以及它们之间的位置关系
等角度紧扣几何体的结构特征进行判断.

(3)棱柱、棱锥、棱台的判断要细心分析所给条件 ,不要凭直
觉下结论.

提醒:判断说法正误问题,要紧扣几何体的结构特征,理解棱
柱、棱锥、棱台的概念.

【变式训练】下列说法正确的是( A.棱柱的面中,至少有两个互相平行

)

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形

【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;正 方体相对的两个面平行,但其也可以是侧面,故B错误;棱柱的

侧棱相等,但是各条棱不一定相等,故C错误;棱柱的侧面一定
是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他

多边形,故D错误.

类型 二

几何体的结构特征

试着解答下面的问题,并总结判断一个几何体为棱柱、棱 锥、棱台的关键及三者之间的关系. 1.下面的多面体中,棱台有 个.

2.如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几 棱柱?为什么? (2)用平面BCF′E′把这个长方体分成 两部分后,各部分形成的几何体还是棱 柱吗?如果是,是几棱柱?如果不是,说明理由.

【解题指南】1.判断每一个几何体是否满足棱台的结构特征 . 2.根据棱柱的结构特征判断几何体是否为棱柱 ,再根据棱柱的 分类标准确定是几棱柱.

【解析】1.根据棱台的定义,可得到判断一个多面体是不是棱 台的标准有三个:一是各侧棱延长后要交于一点 ;二是上下两 个底面要平行;三是侧面是梯形.据此,在图(1)中多面体侧棱 延长线不相交于同一点,故不是棱台;图(2)中多面体不是由棱 锥截得的,不是棱台;图(3)中多面体虽由棱锥截得,但截面与 底面不平行,因此也不是棱台. 答案:0

2.(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底
面都是四边形,其余各面都是矩形,并且几何体的四条侧棱互

相平行.
(2)截面BCF′E′上方部分是棱柱,且是三棱柱BE′B′-

CF′C′,其中△BE′B′,△CF′C′是底面.截面BCF′E′下
方部分是棱柱,且是四棱柱ABE′A′-DCF′D′,其中四边形

ABE′A′和四边形DCF′D′是底面.

【技法点拨】1.棱柱的三个特征

2.判断一个几何体是否为棱台关键看三点
(1)两底面相互平行且相似.

(2)各侧棱延长后交于一点.
(3)侧面是梯形.

3.棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形 ,棱 台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到 的图形,它们的关系可用如图表示:

【变式训练】用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A′B′C′ 分为三个三棱锥.

【解析】如图,三棱柱ABC-A′B′C′可分为三棱锥C′-ABC、 三棱锥B-A′B′C′和三棱锥C′-ABA′.

类型 三

多面体的展开图

通过解答下面的问题,总结多面体的展开与折叠问题的解 决技巧和面上两点间最短距离的求解方法. 1.如图代表未折叠的正方体的展开图,将其折叠起来,变成正 方体后,图形是( )

2.如图是一个几何体的展开图,每个面内都给了字母,请根据 要求回答问题:

(1)如果字母A在多面体的底面,那么 (2)如果F面在前面,从左边看是面B,那么

面会在上面. 面会在上面.

3.已知三棱柱ABC-A′B′C′,底面是边长 为1的正三角形,侧面为全等的矩形且高为 8,求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕

行一周后到达A′点的最短路线长.

【解题指南】1.将几何体折叠后,根据三条线段的位置关系可
判断正确选项.

2.将该几何体的展开图折起,折成立体图形,每个面上标上对
应的字母,然后根据题目要求判断求解.

3.将三棱柱沿一条侧棱剪开,展到一个平面上,转化为平面内
两点间的距离.

【解析】1.选B.由图可知,折叠后三条线段在相邻的三个平面
内,并且互相平行,故排除A,C.又由原平面图知,只有两个平面 是空白的,排除D,故选B.

2.将该平面图形折叠成立体图形如图,其中A面与F面对面,E面

与C面对面,B面与D面对面,所以可得:
(1)因为A面与F面对面,字母A在多面体的底面,所以F面在上面.

(2)因为E面与C面是对面,所以当E面在底面时,C面在上面;当C
面在底面时,E面在上面. 答案:(1)F (2)E或C

3.将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开,展成

平面图形如图,则AA″即为所求的最短
路线.在Rt△AA1A″中,AA1=3, A1A″=8,所以AA″=
32 ? 82 ? 73.

【互动探究】题3条件不变,求一点自A点出发沿着三棱柱的 侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.

【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的

侧面都沿AA′剪开,然后展开并拼接成如
图所示,则AA″即为所求的最短路线.

在Rt△AA1A″中,AA1=6,A1A″=8,
所以AA″= 62 ? 82 ? 100 ? 10.

【技法点拨】 1.多面体的展开与折叠问题解决技巧 (1)解决与多面体表面展开图有关的问题,要结合多面体的结 构特征,可以先给多面体的顶点标上字母,先画底面,然后依次 画出各侧面,即可得到多面体的展开图. (2)对于平面图形的折叠,要根据展开图的特点,分析折叠后哪

些边或点重合是关键.

2.多面体面上两点间最短距离问题解决方法 空间中,求分别在几何体两个表面上的两点间的最短距离问题 , 其解决方法一般是展开一个表面,把问题转化为平面内两点距 离最短问题来解决.

1.如图所示的几何体是(
A.五棱锥

)
B.五棱台

C.五棱柱

D.五面体

【解析】选C.根据多面体的结构特征, 知该几何体为棱柱,又该几何体有5条 侧棱,所以该几何体为五棱柱.

2.下列图形不是正方体表面展开图的是(

)

【解析】选C.图C不能围成正方体.

3.关于棱台,下列说法正确的是(
A.两底面可以不相似

)

B.侧面都是全等的梯形
C.侧棱长一定相等 D.侧棱延长后交于一点 【解析】选D.只有D符合棱台的特征.选项A,B,C均不正确.

4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过
BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1

于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何
体中,棱柱的个数是 .

【解析】三个几何体都是棱柱. 答案:3

5.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边 后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的 水形成的几何体的形状是 .

【解析】可看作是以左右或前后两面为底面 的四棱柱.

答案:四棱柱

6.说出图中几何体的名称,并用字母表示出该几何体,同时指 出其顶点、侧面、底面及侧棱.

【解析】该几何体为五棱锥,用字母可表示为棱锥P-ABCDE,顶 点为点P,侧面为平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PDE,平面PEA,

底面为平面ABCDE,侧棱为PA,PB,PC,PD,PE.


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