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湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学文试题 Word版含答案


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湖南省长郡中学 2015 届高三第五次月考数学文试题(word 版)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U={1

,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},集合 B={3,4},则( ? U A) B=

A.{3} B.{4} C.{3,4} D.{2,3,4} 2.在复平面内,复数 3 -4i,i(2+i)对应的点分别为 A、B,则线段 AB 的中点 C 对应的复数 为 A.- 2+21 B.2- 21 C.-l 十 i D.l-i 3.“m<

1 ”是“方程 x2+x+m=0 有实数解”的 4

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该 几何体的体积是 A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3 5.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 . f '( x) 为

f ( x) 的导函数,已知函数 y= f '( x) 的图象如图所
示.若两正数 a,6 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 值范围是 A. ( ,

b?2 的取 a?2

1 1 ) 3 2

B. ? ??,

? ?

1? ? ? (3, ??) 2?

C. (

1 ,3) 2

D. (??, ?3)

6 . 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数

?? ? y ? a ? A cos ? ( x ? 6)? ( x ? 1, 2,3, ?6 ?

,12) 来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,

为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为 A.20℃ B.20.5℃ C.21℃ D.21.5℃

x2 y 2 2 2 2 7.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F(一 c,0)作圆 x ? y ? a '的切线,切 a b

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点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P,若 E 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为 A. 5 B.

2

5 2

C. 5 +1

D.

5 ?1 2

8 . 设 函 数 f ( x) ? ( x 2 ? 8 x ? c1 )( x 2 ? 8 x ? c2 )( x 2 ? 8 x ? c3 )( x 2 ? 8 x ? c4 ) , 集 合

M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 ,
A.11 B.13

, x7 } ? N * ,设 c1≥c2≥c3≥c4,则 c1—c4=
C.7 D.9

9.在△ABC 中,已知 AB. AC ? 9,sin B ? cos A.sin C , S△ABC=6,P 为线段 AB 上的一点,且

CP ? x.
7 6

1 1 CA CB 则 ? 的最小值为 ? y. | CA | | CB | x y
B.

A.

7 12

C.

7 3 ? 12 3

D.

3 7 + 6 3

10. 已知 m∈R, 函数 f ( x) ? ?

? ? 2 x ? 1 , x ? 1, 2 ,若函数 g ( x) ? x ? 2m ? 1 y ? f ( g ( x )) ? m ? ?1og 2 ( x ? 1), x ? 1,
?3 3? ? ?5 4? ?3 ? ,1? ?4 ?

有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

3? 5?

B. ? ,

C. ?

D. (1,3)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 11. 已知实数 z∈[0, 10], 执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 47 概率为 。

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12.在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 与 ? ?

?
3

( ? ? 0) 所表示的图形的交点的极坐标是____.

13.设 b,c 表示两条直线, ? , ? 表示两个平面,现给出下列命题: ①若 b ? a,c∥a,则 b∥c; ②若 b ? a,b∥c,则 c∥a; ③若 c∥ ? , ? ⊥ ? lp,则 c⊥ ? ; ④若 c∥a,c⊥ ? ,则 a⊥ ? . 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号) 14.设 x 为实数,[x]为不超过实数 x 的最大整数,记{x}=x 一[x],则{x})的 取值范围为[0, 1) . 现定义无穷数列{an}如下: a1={a}, 当 an≠0 时, 以 an ?1 ? ?

?1? 当 an=0 时, an+1=0. 当 ?; ? an ?

1 1 ? a ? 时,对任意的自然数 n 都有 an=a,则实数 a 的值为____. 3 2
15.给机器人输入一个指令(m,2m+48) (m>0) ,则机器人在坐标平面上先面向 x 轴正方 向行走距 离 m,接着原地逆时针旋转 90°再面向 y 轴正方向行走距离 2m+ 48,这样就完成一次操 作.机 器人的安全活动区域是: ? x,轴正 方向,经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点 Q 处,且点 Q 恰好也在函数 f ( x) 图 象上,则向量 PQ 的坐标是 ,

?x ? 6 x 开始时机器人在函数 f ( x) ? 2 图象上的点 P 处且面向 ?y? R

三、觯答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) =m.n,其中向量 m=(2cos x,1) ,n=(cos x, 3 sin 2x) ,x∈R. (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 f ( A) ? 2, b ? 1, △ABC 的面

积为

3 b?c ,求 的值. 2 sin B ? sin C

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17. (本小题满分 12 分) 某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中, 随机抽取了 100 份问卷进行统计, 得到相关的数据如下表:

(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关?并说明原因. (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的 有多少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率.

18. (本小题满分 12 分) 平面图形 ABB1 Al C1C 如图 l 所示,其中 BBlC1C 是矩形,BC=2,BB1 =4,AB=AC= 2 , A1B1=A1C1= 5 可,现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使△ABC 与△A1B1C1 所在平 面都与平面 BBlC1C,垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 2 所示的空间图形, 对此空间图形解答下列问题. (1)证明:AA1⊥BC; (2)求 AA1 的长; (3)求二面角 A—BC—A1 的余弦值.

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19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 . 2 a b 2 2
1 与椭圆 C 相交于 A.B 两点,以 线段 OA,OB 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0,| k |?

为邻边作平行四边形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上,O 为坐标原点.求|OP|的取值范 围.

20. (本小题满分 13 分) 一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数 n≥5) :第一行是以 4 为首项,4 为公 差的等差数列, 从第二行起, 每一个数是其肩上两个数的 和, 例如: f (2, 1) = f (1, 1)+ f (1,2) ; f (i,j)为数表中第 i 行的第 j 个数.

f (l,1) f (2,1)

f (1,2) … f (2,2) …

f (l,n-l) f (2,n-l)

f (l,n)

f (3,1) …
……

f (3,n-2)

f (n,1)

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(1)求第 2 行和第 3 行的通项公式 f (2,j)和 f (3,j) ; (2)证明:数表中除最后 2 行外每一行的数都依次成等差数列,并求 f '(i,1) 关于: i(i=1,2,…,n)的表达式; (3)若 f (i,1) ? (i ? 1)( ai ? 1), bi ? 得 S n ? b1 g (1) ? b2 g (2 ?

1 ,试求一个等比数列 g(i) (i=1, 2,…n) ,使 ai ai ? 1

n ? ? 时,都有 Sn>m.

1 1 1 ? bn g (n) ? ,且对于任意的 m ? ( , ) 均存在实数 ? ,当 3 4 3

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? x
2

(1)若函数 g(x)= f ( x) 一 ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,若

a ? 1, h( x) ? e3 x ? 3ae x , x ? [0,1n2]

,求 h(x)的极小值;

(3)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3 x ? kx(k ? R ) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<rn<n) ,
2

且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0) )处的切线 能否平行于 x 轴?若能,求 出该切线方程;若不能,请说明理由,

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