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函数的对称性专题练习试卷及解析


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函数的对称性专题练习试卷及解析
1.2015 年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第 8 题

已知抛物线 y ?

1 2 1 x 和 y ? ? x 2 ? 5 所围成的封闭曲线如图所示,给定点 A(0, a) ,若在 4 16

此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是 ( )

A. (1,3) B. (2, 4)

3 2 5 D. ( , 4) 2
C. ( ,3)

2.2012 年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第 8 题 下图展示了一个由区间 (0,1) 到实数集 R 的映射过程: 如图 1 , 在区间 (0,1) 中数轴上的点 M 对应实数 m ;如图 2 ,将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A 、 B 恰好重合;如图 3 ,将这 个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0,1) ,射线 AM 与 x 轴交 于点 N (n,0) .则 n 就是 m 的象,记作 f (m) ? n .下列说法:

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① f ( x ) 的定义域为 (0,1) ,值域为 R ; ② f ( x ) 是奇函数; ③ f ( x ) 在定义域上是单调函数; ④ f( )?

1 4

1 ; 2 1 2

⑤ f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称. 其中正确命题的序号是( )

A. ②③⑤ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ③④⑤

3.2015 年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第 9 题 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ?

3 对称,且对任意实数 x 都有 2

3 f ( x)? ? f ( x? ) , f ? ( 1? ) 2
A. 0 B. ?2

1f ,

(? 0 ,则 ) ? f2 (2013 )

?(2014) f

(2015 ? f)

?(



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C. 1 D. 2

4.2015 年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第 14 题 已知函数 f ( x) ?

sin ? x ( x ? R) ,下列命题: ? x ? ? 1? x

①函数 f ( x ) 既有最大值又有最小值; ②函数 f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 在区间 [ ?? , ? ] 上共有 7 个零点; ④函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. 其中真命题是______. (填写出所有真命题的序号)

5.2013 年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第 15 题

? x 2 ? 2, x ? [0,1) ? f (x , ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 : f ( x) ? ? , 且 f ( x? 2 ) 2 ?2 ? x , x ? [?1,0)
g ( x) ? 2x ? 5 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [?8,3] 上的所有实根之和为________. x?2

6.2012 年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试 D 数学试题第 15 题 已 知 函 数 f ? x ? ? 5sin ? 2x ? ? ? , 若 对 任 意 x ? R , 都 有 f (? ? x) ? f (? ? x) , 则

?? ? f ? a ? ? ? _____ 4? ?

7.2015 年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第 21 题

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已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ?1 ( a ? R 是常数) .

(1) 设 a ? ?3 , x ? x1 、 x ? x2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,试证明曲线 y ? f ( x) 关于点
M( x1 ? x2 x ?x , f ( 1 2 )) 对称; 2 2

(2) 是否存在常数 a ,使得 ?x ?[?1,5] , | f ( x) |? 33 恒成立?若存在,求常数的值或取值
范围;若不存在,请说明理由. (注: ,对于曲线 y ? f ( x) 上任意一点 P ,若点 P 关于 M 的对称点为 Q ,则 Q 在曲线

y ? f ( x) 上. )

8.2014 年高中数学全国各省市理科导数精选 22 道大题练习题第 19 题 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R 的图象与 g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

(1) 若直线 y ? kx ? 1 与 g ( x) 的图像相切, 求实数 k 的值;
1 2 x ? x ? 1 公共点的个数. 2 f ( a ) ? f (b) f (b) ? f ( a ) (3) 设 a ? b ,比较 与 的大小,并说明理由. 2 b?a

(2) 判断曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

9.2013 年上海市虹口区高考一模数学试卷第 23 题 如 果 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x , 存 在 实 数 a 使 得

f ( x? a) ? f (? x ) P (a ) 性质” 成立,则称此函数具有“ .

(1) 判断函数 y ? sin x 是否具有“ P (a ) 性质” ,若具有“ P ( a ) 性质”求出所有的值;若不
具有“ P ( a ) 性质” ,请说明理由.
2 (2) 已 知 y ? f ( x) 具 有 “ P(0) 性 质 ” , 且 当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m) , 求 y ? f ( x) 在

[0, amp;1] 上的最大值.

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,且当 ? (3) 设函数 y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质”

1 1 ? x ? 时, g ( x) ? x .若 y ? g ( x) 与 2 2

y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.

答案和解析
1.2015 年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第 8 题 答案:D 分析:转化为方程有解问题求解,由选项可知实数 a 的最大取值范围是 (1, 4) ,则必有一对

1 2 1 x 和 y ? ? x 2 ? 5 ,解得 x ? 4 或 ?4 ,则另外一对 4 16 1 2 1 2 x ? 5 ,x ? (0, 4) , 是抛物线 y ? x ,x ? (?4, 0) 上的一点和 y ? ? 再将这两点关于 y 4 16 1 2 1 2 轴对称, 共 3 对, 设 P( x0 , x0 ), x0 ? ( ?4, 0) , 则点 P 关于点 A 的对称点 Q(? x0 , 2a ? x0 ) 4 4 1 2 1 2 1 2 3 2 x ? 5 , x ? (0, 4) 上,所以 2a ? x0 ? ? x0 ? 5, 2a ? x0 ? 5 ? (5,8) , 在y?? 16 4 16 16 5 则 a ? ( , 4) ,故选 D . 2
关于 y 轴对称的点满足;联立 y ?

2.2012 年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第 8 题 答案:B 分析:

3.2015 年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第 9 题 答案:A 分析:由 f ( x ) ? ? f ( x ? ) 得 f ( x ? ) ? ? f ( x ) ,

3 2

3 2

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即 f ( x ? 3) ? ? f ( x ? ) ? f ( x) , 即函数的周期是 3 , 则

3 2

f (2013) ? f (2014) ? f (2015) ? f (671? 3) ? f (671? 3 ? 1) ? f (671? 3 ? 2)
? f (0) ? f (1) ? f (2) ,
因为函数的图象关于直线 x ? 所以 f ( ? x) ? f ( ? x) , 则 f ( ? ) ? f ( ? ), 则 f (2) ? f (1) , 因为 f (2) ? f (2 ? 3) ? f (?1) ? 1 , 所以 f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (0) ? 2 f (2) ? ?2 ? 2 ? 0 , 故 f (2013) ? f (2014) ? f (2015) ? 0 , 故选 A .

3 对称, 2

3 2

3 2

3 2

1 2

3 2

1 2

4.2015 年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第 14 题 答案:①②③ 分 析 : 设 g ( x) ? sin ? x, h( x) ?

1 [ 1, 1 ] g ( x) 为 周 期 函 数 , , 则 g ( x )? ? 且 ? ? ? 1??
?

h( x) ? (0,

1 2 ?

],

当且仅当 x ?

1 1 时, h( x) 取得最大值 ,且当 x ??? 或 x ??? 时, h( x) ? 0 , 2 2 ?

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则在平面直角坐标系内作出 f ( x) ? g ( x) ? h( x) 的图像如图所示, 由图易得 f ( x ) 既有最大值 又有最小值,①正确;

f ( x) ? f (1 ? x) ?
以x?

sin ? x sin ? (1 ? x) sin ? x sin ? x ? 1?? ? ? ? 1?? ? 0 ,所以 f ( x) 是 ? 1?? 1? (1?? ) 1?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???

1 为对称轴的周对称图形,②正确; 2 1 由①得 h( x) ? x 不存在零点,则 g ( x) ? sin ? x 的零点即为 f ( x ) 的零点,因为 ? ? ? 1? x

g ( x) ? sin ? x 在 [?? , ? ] 内有 7 个零点,所以 f ( x) 在 [?? , ? ] 内有 7 个零点,③正确;
由图象易得 f ( x ) 在 (0,1) 上不单调,④错误,综上所述,真命题的序号为①②③.

5.2013 年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第 15 题 答案: ?11 分析:由 f ( x ? 2) ? f ( x) 可知函数 f ( x ) 周期为 2 ,作出两函数图象如下,观察图像可知两 函数有 5 个交点,其中一个为 ?3 ,另外 4 个关于点 (?2, 2) 对称,所以所有交点横坐标之和 为 ?2 ? 2 ? 2 ? (?3) ? ?11 .

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6.2012 年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试 D 数学试题第 15 题 答案: 0 分析:

7.2015 年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第 21 题 答案:见解析 分析: (1) f ( x) ? x ? 3x ?1 , f ?( x) ? 3x ? 6x
3 2 2

解 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? 2 ,

M(

x1 ? x2 x ?x , f ( 1 2 )) 即 M (1, ?3) 2 2
对 称 的 点 为

曲 线 y ? f ( x) 上 任 意 一 点 P( x0 , x03 ? 3x02 ?1) 关 于 M

Q(2 ? x0 , ? x03 ? 3x02 ? 5)
直接计算知,f (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 )3 ? 3(2 ? x0 )2 ?1 ? ? x03 ? 3x02 ? 5 , 点 Q 在曲线 y ? f ( x) 上,所以,曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称

(2) | f ( x) |? 33 即 | x3 ? ax2 ?1|? 33 , ?33 ? x3 ? ax2 ? 1 ? 33

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x ? 0 时,不等式恒成立;
x ? 0 时,不等式等价于 ?

32 ? x3 34 ? x3 ? a ? x2 x2

作 g1 ( x) ? ?

64 32 ? x3 32 34 ? x3 34 ? ? x ? g ( x ) ? ? ? x ? 2 , g1? ( x) ? ?1 ? 3 , , 2 2 2 2 x x x x x 68 ,解 g1? ( x) ? 0 、 g2? ( x) ? 0 得 x1 ? 4 、 x2 ? ? 3 68 3 x

g 2 ? ( x ) ? ?1 ?

g1 (?1) ? ?31 , g1 (4) ? ?6 , g1 ( x) ? ?
g2 (?1) ? 35 , g 2 (5) ? ?

32 ? x3 在 [?1, 0) ? (0,5] 的 最 大 值 为 ?6 ; x2

91 91 34 ? x3 , g 2 ( x) ? 在 [?1, 0) ? (0,5] 的最小值为 ? 2 25 25 x 91 ] 25

综上所述, a 的取值范围为 [?6, ?

8.2014 年高中数学全国各省市理科导数精选 22 道大题练习题第 19 题 答案:见解析 分析: (1) 由题意知 g ( x) ? ln x ,设直线 y ? kx ? 1 与 g ( x) ? ln x 相切与点 P( x0 , y0 ) ,

?kx0 ? 1 ? ln x0 ? 则 ? 1 ? x0 ? e2 , k ? e?2 . ? ?k ? g ( x0 ) ? x 0 ?
∴k ? e
?2

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下. 2 1 2 1 2 x 令 h( x) ? f ( x) ? x ? x ? 1 ? e ? x ? x ? 1, x ? R , 2 2

(2) 证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

则 h?( x) ? e ? x ?1, h?( x) 的导数 h??( x) ? e ?1 且 h(0) ? 0, h?(0) ? 0, h??(0) ? 0
x x

当 x ? 0 时, h??( x) ? 0 ? y ? h?( x) 单调递减,

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当 x ? 0 时, h??( x) ? 0 ? y ? h?( x) 单调递增. ? y ? h?( x) ? h?(0) ? 0 , 所以 y ? h( x) 在 R 上单调递增,最多有一个零点 x ? 0 ∴曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点 (0,1) . 2

(3) 解法一:∵

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? ea ? (b ? a ? 2) ? eb (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0 ,则 g ?( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ?1) ? e x .

g ?( x ) 的导函数 g??( x) ? (1 ? x ?1) ? e x ? x ? e x ? 0 ,且 g ?(0) ? 0 ,
因此 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,而 g (0) ? 0 ∴在 (0, ?? ) 上 g ( x) ? 0 ,∴ ∴当 a ? b 时, 解法二:

(b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a) ? (ea ? eb ) ? 2 ? (eb ? ea ) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)
x a x a

以 b 为主元,并将其视为 x ,构造函数 h( x) ? ( x ? a) ? (e ? e ) ? 2 ? (e ? e )( x ? a) ,则

h?( x) ? ( x ? a ?1) ? ex ? ea ,且 h?(a) ? 0
∵ h??( x) ? ( x ? a) ? e 且 x ? a ? 0 ,∴ h?( x) 在 (a, ??) 上单调递增,
x

∴当 x ? a 时,∴ h( x) 在 (a, ??) 上单调递增, ∴当 x ? a 时, h( x) ? h(a) ? 0 ∴当 a ? b 时,

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

9.2013 年上海市虹口区高考一模数学试卷第 23 题

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答案:见解析 分 析 : ( 1 )由 sin( x ? a) ? sin(? x) 得 sin( x ? a) ? ? sin x , 根 据 诱 导 公 式 得

a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .
∴ y ? sin x 具有“ P ( a ) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) . ,∴ f ( x) ? f (? x) . (2) ∵ y ? f ( x) 具有“ P(0) 性质” 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,∴ f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m)2 ? ( x ? m)2

? ( x ? m) 2 f ( x) ? ? 2 ? ( x ? m)

x?0 x?0



当 m ? 0 时,∵ y ? f ( x) 在 [0,1] 递增,∴ x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 , 当 0?m?

1 时 , ∵ 2

y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [ m , 1上 ] 递 增 , 且

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,
∴ x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 , 当 m?

1 时 , ∵ y ? f ( x) 2

] 递 增 , 且 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [ m , 1上

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,
∴ x ? 0 时 ymax ? m2 综上所述: 当m ?

1 1 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m)2 ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m2 . 2 2

(3) ∵ y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,
∴ g (1 ? x) ? g (? x), g (?1 ? x) ? g (? x) , ∴ g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) , 从而得到 y ? g ( x) 是以 2 为周期的函数.

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又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ?1) ? g(?x ?1) ? ?x ?1 ? x ?1 ? g( x ?1) .
1 1 ? x ? n ? (n ? z ) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k (k ? z ), 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2k ? , 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;
当 n ? 2k ? 1(k ? z ) , 2k ? 1 ?

1 1 1 3 ? x ? 2k ? 1 ? 则 ? x ? 2 k ? , 2 2 2 2

g ( x) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ;
1 1 ? x ? n ? (n ? z ) ,都有 g ( x) ? x ? n , 2 2 1 1 而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? ,? g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g ( x) , 2 2
∴对于, n ? ∴ y ? g ( x) 是周期为 1 的函数. ① m ? 0 时 , 要 使 得 y ? m x 与 y ? g ( x) 有 2013 个 交 点 , 只 要 y ? mx 与 y ? g ( x) 在

[1006, amp;1007] 有一个交点.
2013 1 1 , amp; ) ,从而得 m ? 2 2 2013 1 ②当 m ? 0 时,同理可得 m ? ? 2013
∴ y ? mx 过 ( ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 . 2013


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