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天津市天津一中11-12学年高一上学期期中考试 数学试题


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天津市天津一中 11-12 学年高一上学期期中考试 数学试题
一.选择题:
x 1.设集合 A ? ? x | ? 3 ? x ? 3? , B ? ? y | y ? 2 ,1 ? x ? 2 ? ,则 ? C R A ? ? ? C R B ? ? (



A. ? 2, 3 ? C. ? ? ? , 2 ? ? ? 3, ? ? ? 2.函数 y ? A. ? ? , (
3 4 log
1 2

B. ? ? ? , 2 ? ? ? 3, ? ? ? D. ? ? ? , 2 ? ? ? 4, ? ? ? ( ) C. (
x

? 4 x ? 3 ? 的定义域为
B. ? ? ,1 ] (



3 4

,1]

D. (

3 4

,1) )

x 3. f ( x ) ? lg( 10 ? 1) ? ax 是偶函数,g ( x ) ? 设

4 ?b 2
x

是奇函数, 那么 a+b 的值为 (
1

1

A. 1

B.-1

C.- 2
x
2

D. 2 )

4. lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y ) ,则 log

y

的值的集合是(

A. {1}

B. {2}

C. {1,0}

D. {2,0} )

5.已知函数 y ? log a (2 ? ax ) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0,2) C. (1,2) D.[2,+ ? )

y y 1 O 1 1 x

y

y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A 6.函数 y ?
e ?e
x ?x ?x

B 的图像大致为 ( ).

C

e ?e
x

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7.已知函数 f(x)=log3x+2 (x∈[1,9]),则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是( A.13
x

B.16
1

C.18

D.22
x ,实数a满足 log
(1 ? a ) >0,那么当x>1
2

8.设 f ( x ) ? a , g ( x ) ? x 3 , h ( x ) ? log 时必有( )

a

a

A. h ( x ) < g ( x ) < f ( x ) C. f ( x ) < g ( x ) < h ( x )

B. h ( x ) < f ( x ) < g ( x ) D. f ( x ) < h ( x ) < g ( x )

9 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 增 函 数 , A (0, ? 2) , B (3, 2 ) 是 其 图 象 上 的 两 点 , 那 么
| f ( x ? 1) |? 2 的解集是(

) B. (-1,2) D. ( ?? , ? 1) ? [ 2 , ?? )

A. (1,4) C. ( ?? ,1) ? [ 4 , ?? )

? 1 x ? ( ) ? 3( x ? 0 ) , 已知 f ( a ) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( 10.设函数 f ( x ) ? ? 2 1 ? 2 ? x ( x ? 0)



A. ( ? 2,1) C. (1, ?? )

B. ( ? ? , ? 2) ? (1, ? ? ) D. ( ? ? , ? 1) ? (0, ? ? )

二.填空题: 11.已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( 2 , 2 ), 则 f ( 9 ) ?
?e x ( x ? 0) 1 12.设函数 g ( x ) ? ? ,则 g ( g ( )) ? __________ 2 ? ln x ( x ? 0 )



13.定义运算法则如下:
1 ? 1 3 1

a

?b ? a

2

?b

, a ? b ? lg a

2

? lg b 2 , M ? 2

1 4

?

8 125

,N ?

2 ?

1 25

,



M+N=

.

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2

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214], 那 么 函 数

14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 2 ) 的 值 域 是 [1 , log 是 .

f(x) 的 定 义 域

15.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值, 设 f ( x ) =min{ 2 , x ? 2 , 10 ? x }
x

( x ? 0 ),则 f ( x ) 的最大值为 _______ . 16.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x>0 时 f ( x ) ? x ? | x | ? 1 ,那么 x<0 时 f ( x )
2



.

三.解答题: 17.已知 x ? [ ? 3 , 2 ],求函数 f ( x ) =
1 4
x

?

1 2
x

? 1 的最大值不最小值.

18.已知函数 f ( x ) ? log

1 ? kx
a

x ?1

( a ? 1) 是奇函数

(1)求 k 的值,并求出该函数的定义域; (2)根据(1)的结果,判断 f ( x ) 在 (1 , ? ? ) 上的单调性,并给出证明.

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19 . 已 知 : 函 数 f ( x ) 对 一 切 实 数 x , y 都 有 f ( x ? y) ? f ( y) ? x ( x ? 2 y ? 1 ) 成 立 , 且
f (1 ) ? 0.

(1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式。 (3) 已知 a ? R , P: 0 ? x ? 设 当
1 2
2 2 时, 丌等式 f ( x ) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立; 当 x ? [ ?,] Q:

时, g ( x ) ? f ( x ) ? ax 是单调函数。如果满足使 P 成立的 a 的集合记为 A ,满足使 Q 成立 的 a 的集合记为 B ,求 A ∩ C R B ( R 为全集) 。

20.已知 a >0 且 a ≠1. f ? log (1)求 f ( x ) 的解析式;

a

x? ? a

a
2

?1

?x ? x ?
?1

(2)判断 f ( x ) 的奇偶性不单调性; (3)对于 f ( x ) ,当 x ? ( ? 1,1)时 , f ?1 ? m ? ? f ?1 ? 2 m ? ? 0 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

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参考答案: 一、选择题: 1.C 6.A 2.C 7.A 3.D 8.B 4.B 9.B 5.C 10.B

二、填空题: 11.3 12.
1 2

13.5 14.[-4,-2] ? [2,4] 15.6 16.-x2-|x|+1 三、解答题: 17. 分)解: (8
f (x) ? ( 令 U=( 1 2 ? f (U ) ? U
2

1 2 )
x

) ?
2

1 2
x

?1 ?U ?[ 1 4 , 8]

x

? x ? [ ? 3, 2 ] ?U ?1 1 2 ) ?
2

? (U ? ? f ( x ) m ax ? 5 7 f ( x ) m in ? 3 4

3 4

18. 分)解: (8 (1)? f ( ? x ) ? ? f ( x )
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? lo g a ? lo g a
?

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1 ? kx ?x ?1 1 ? kx ?x ?1
?
2

? ? lo g a ? lo g a

1 ? kx x ?1

x ?1 1 ? kx

1 ? kx ?x ?1
2

x ?1 1 ? kx
2

?1? k x ? 1? x ?k
2

?1

? k ? 1或 k ? ? 1 (舍 )

? ? ? ? ( 2 ')

? f ( x ) ? lo g

1? x x ?1 ? ? ? ? ( 2 ')
( a ? 1) x ?1 x ?1

定 义 域 :{ x | x < - 1 或 x > 1 }

(2)? f ( x ) ? lo g a
任 取 1 ? x1 ? x 2

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? lo g a ? lo g a
? 1 ? x1 ? x 2

x1 ? 1 x1 ? 1

? lo g a

x2 ? 1 x2 ? 1

( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

? ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) ? 0, ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0

? ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? x1 x 2 ? x 2 ? x1 ? 1 ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? 2 ( x 2 ? x1 ) ? 0 ? ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ?1 又a ?1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? ? ? ? ( 2 ') ? ? ? ? ( 2 ')

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上 ?

19. (10 分)解: (1)令 x=1,y=0 ∴f(1)-f(0)=2 ∴f(0)=f(1)-2=-2 ………………3 分 ∴f(x)=x2+x-2 ………………3 分

(2)令 y=0 ∴f(x)-f(0)=x·(x+1) (3)由 P:∵f(x)+3<2x+a 恒成立 ∴x2+x+1<2x+a

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∴a>x2-x+1 对 ? x ? (0 ,
||

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1 2 ) 恒成立 ? A ? { a | a ? 1}

(x ?

1 2

) ?
2

3 4

?a ?1

由 Q:∵g(x)=x2+(1-a)x-2
? a ?1 2 ? 2或 a ?1 2 ? ?2

B={a|a≥5 或 a≤-3}
? A ? C R B ? [1, 5]

………………4 分

20. (10 分)解: (1)令 logax=t 则 x=at
? f (t ) ? ? f ( x) ? a a ?1
2

(a ? a )
t

?t

a a ?1
2

(a ? a
x

?x

)

? ? ? ? 3分

(2)? f ( ? x ) ? ① 当 a ? 1时
?a ?a
x ?x

a a ?1
2

(a
?x

?x

? a ) ? ? f (x)
x

? f ( x )为 奇 函 数

a ? , a

x

?

? ?a

?x

?

?



a a ?1
2

? 0

? f ( x )在 R 上 ?

② 当 0 < a ? 1时
?a ?a
x ?x

a ? , a
a

x

?x

?

? ?a

?x

?

?



a ?1
2

? 0 ? ? ? ? 3分

? f ( x )在 R 上 ?

(3)∵f(1-m)+f(1-2m)<0 ∴f(1-m)<-f(1-2m) ∵又 f(x)为奇函数 ∴f(1-m)<f(2m-1) ∵又 f(x)在(-1,1)上 ?
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?1 ? m ? 2 m ? 1 ? ? ??1 ? 1 ? m ? 1 ??1 ? 2m ? 1 ? 1 ? 2 3

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?

? m ?1

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