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高中数学-必修4-三角恒等变换--复习专题


高中数学 必修 4 三角恒等变换 复习专题

考点一

平面向量的有关概念

→ → 【例 1】 给出下列命题:6①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四 边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是________. 考点二 平面向量的线性运算

→ → → 1 → → 1 → → 例 2】 如图, 在平行四边形 OADB 中, 设OA=a, OB=b, BM =3 BC, CN=3 CD.试用 a, b 表示OM,

O N及MN. → → → 【训练 2】(1))如图, 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD=λ AO, 则 λ=________. → → → → (2))已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,那么一定有 → → → → → → → → A.PB=2CP B.CP=2PBC.AP=2PB D.PB=2AP 考点三 向量共线定理及其应用 ( ).





→ → → 【例 3】 (2013· 郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a -b).求证:A,B,D 三点共线;(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【训练 3】已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为_____. 方法优化 3——准确把握平面向量的概念和运算 【典例】设 a,b 是两个非零向量.( ).

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥bB.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λaD.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| → → → → 【自 主 体 验 】 在 △ OAB 中, OA = a , OB = b , OD 是 AB 边上的高,若 AD = λ AB ,则 实 数 λ = ( ).A. a· ?a-b? |a-b| B. a· ?b-a? a· ?a-b? C. |a-b| |a-b|2 D. a· ?b-a? |a-b|2

基础巩固题组 1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ).

→ → → → → → → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OEC.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE 3.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 ). D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分必要条件

4.下列命题中,正确的是(

).A.若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-bB.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0C.若

ka=0,则 k=0 或 a=0D.若 a,b 都是非零向量,则|a+b|>|a-b|
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→ → → 5. 若点 M 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足 5AM=AB+3AC, 则△ABM 与△ABC 的面积比为( A. 1 5 B. 2 5 C. 3 4 D. 5 5

).

→ → .6.)给出下列命题:①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同 或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④两个有公共终点的向量,一定是共线向 → → 量;⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上.其中不正确命题的序号是 → → → → → 7.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=________(用 a,b 表示). → → → 8.设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为________. → → 9.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设AB=a,AC=b, → → 试用 a,b 表示AD,AG. 1 10.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb,3(a+b)三向量的终 点在同一条直线上?能力提升题组 → 1?1 → 1 → 1.知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满足OP=3? OA+ OB+ 2 ?2 则点 P 一定为三角形 ABC 的( ). →? 2OC?,

A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心 D.AB 边的中点 → → → 2.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若AO=x AB+(1-x)AC,则实数 x 的 取值范围是( ).A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(0,1)

→ → → → → 3. 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|, 则△ABC 的形状为________. 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量基本定理的应用

→ → 【例 1】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,

→ → d 表示AB,AD.

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→ → → 【训练 1】 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中点,若 A B =λAM+μAN,
则 λ+μ=( ). A. 1 5 B. 2 5 3 C. 5 考点二 D. 4 5

平面向量的坐标运算

→ → → → → 【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. → (1)求 3a+b-3c;(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;(3)求 M,N 的坐标及向量MN的坐标. 【 训 练 2 】 ( 1 3 (1) 已 知 平 面 向 量 a = (1,1) , b = (1 , - 1) , 则 向 量 2 a - 2 b = B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)

).A.(-2,-1)

→ → → (2)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= A.(-2,-4) 考点三 B.(-3,-5)C.(3,5) D.(2,4)

平面向量共线的坐标表示

【例 3】 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k;(2)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d 的坐标. 【训练 3】已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ= 1 A.2 1 B.4 C.1 D.2 ( ).

(2)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点 D 的坐标为 思想方法 3——方程思想在平面向量线性运算中的应用 1.设 e1,e2 是平面内一组基底,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基底 a, b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. x? ? 2.已知向量 a=?8,2?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x=________. ? ? 基础巩固题组 → → → → 1 如图,设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 的交点,下列向量组:①AD与AB;②DA与BC; → → → → ③CA与DC;④OD与OB,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( A.①② B.③④ C.①③ D.①④ ).

→ 2.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为( A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)

).

→ → → → → 3.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=x OA+y OB,且BP=2 PA,则(
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).

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2 1 A.x=3,y=3

1 2 1 3 B.x=3,y=3C.x=4,y=4

3 1 D.x=4,y=4 ).A.2 B.-2 C.-3 D.3

4.已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=(

→ → → → → 5.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2P C ,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等 于( ).A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)

1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b的值为________. → → → 7.已知向量OA=(3,-4),OB=(0,-3),OC=(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构成三角形,则实 数 m 满足的条件是________. → → → 1 2 8.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB,BE=3BC.若DE=λ1 AB+λ2 AC(λ1,λ2 为实 数),则 λ1+λ2 的值为________. 9.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向? → → → 10. 已知点 O 为坐标原点, A(0,2), B(4,6), OM=t1 OA+t2 AB.(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线. 能力提升题组 1 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q, 则角 C 的大小为( ).A.30° B.60° C.90° D.120°

→ 2.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D,若OC= → → m OA+n OB,则 m+n 的取值范围是( ). A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0)

→ → → 3.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,

1 2 则a+b的最小值为________. 4.如图,已知点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐

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第3讲 考点一

平面向量的数量积 平面向量数量积的运算 ).

【例 1】 (1)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a· b=( A.2 B.3 C.4 D.5

π (2)设 e1, e2 为单位向量, 且 e1, e2 的夹角为3, 若 a=e1+3e2, b=2e1, 则向量 a 在 b 方向上的射影为________. .【训练 1】 (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 B.5 C.4 D.3 ).

→ → → → → → → → → (2)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为 考点二 向量的夹角与向量的模

【例 2】 (1)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为________. (2)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________. 【训练 2】 (1)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 1 (2)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻边的平行四边形的面积为2,则 a 和 b 的夹 角 θ 的取值范围是________.考点三 平面向量的垂直问题

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α(其中 k 为非零实数). ?1 3? ,【训练 3】 已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. 2 2 ? ? (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,试求函数关系式 k=f(t). 教你审题 5——数量积的计算问题 → |BM| 【典例】在矩形 ABCD 中,设 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点,且满足 → |BC|

→ → → |CN| = ,则AM· AN的取值范围是________. → |CD| → → 【自主体验】在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB· AF= 2, → → 则AE· BF的值是________.

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基础巩固题组 1.向量 a=(1,2),b=(0,2),则 a· b=( A.2 B.(0,4) C.4 ). D.(1,4) ).

→ → 2.在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ,则AC在AB方向上的投影为( 1 A.4 1 B.2 C.1 D.2

.3 已知向量 a=( 3,1),b=(0,1),c=(k, 3).若 a+2b 与 c 垂直,则 k=( A.-3 B.-2 C.-1 D.1 4.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,且(2a+b)· b=0,则向量 a,b 的夹角为( 2π π π 5π A. 3 B.6 C.3 D. 6 → → 5.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 D.10 ). ).

).

6 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c=0,则 t=________. → → → → → → 7 在平面直角坐标系 xOy 中,已知OA=(3,-1),OB=(0,2).若OC· AB=0,AC=λOB,则实数 λ 的值 为________. → → → 8.,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB=1,AC=3,<AB,AC>=60° ,则|OA|=________. 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值;(2)若 a∥b,求|a-b|. 10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, → → (1)求 a 与 b 的夹角 θ;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 能力提升题组 1 若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a 的夹角为( π π 2π 5π A.6 B.3 C. 3 D. 6 → → → → 2.在△ABC 中,设AC2-AB2=2AM· BC,那么动点 M 的轨迹必通过△ABC 的( A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 ). ).

π |x| 3. 设 e1, e2 为单位向量, 非零向量 b=xe1+ye2, x, y∈R.若 e1, e2 的夹角为6, 则|b|的最大值等于________. 4.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为 钝角,求实数 t 的取值范围.

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考点一

向量在平面几何中的应用

→ → 【例 1】 (1)(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则AE· BD=________. → → (2)(2013· 天津卷)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° ,E 为 CD 的中点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________. 审题路线 → → → → (1)法一:把向量AE与BD分别用基底AD,AB表示.

→ → 法二:建立平面直角坐标系?求向量AE,BD的坐标. → → → → → → → (2)把向量AC与BE分别用基底AB,AD表示?利用AC· BE=1 整理?建立关于|AB|的一元二次方程?解得 → |AB|. 解析 法二 (1)法一 → → ? → 1→? → → → 1→ 1 AE· BD=?AD+ AB?· (AD-AB)=AD2-2AB2=22-2×22=2. 2 ? ?

以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).

→ → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2). → → 从而AE· BD=(1,2)· (-2,2)=1×(-2)+2×2=2. → → → → → → → → ? 1→ → ? 1→ → ?- AB+AD?=1, (2)由题意可知,AC=AB+AD,BE=-2AB+AD.因为AC· BE=1,所以(AB+AD)· ? 2 ? → 1→ → 1→2 即AD2+2AB· AD-2AB =1.① → → → 1→ 因为|AD|=1,∠BAD=60° ,所以AB· AD=2|AB|,

→ 1→ 1→ 1 1 因此①式可化为 1+4|AB|-2|AB|2=1,解得|AB|=0(舍去)或2,所以 AB 的长为2. 答案 (1)2 1 (2)2
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规律方法 用平面向量解决平面几何问题时,有两种方法:基向量法和坐标系法,建立平面直角坐标系 时一般利用已知的垂直关系,或使较多的点落在坐标轴上,这样便于迅速解题. → → 【训练 1】 (1)(2014· 杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,E 是 BC 的中点,则AC· AE= ( A. ). 3+ 3 3 9 B.2 C. 3 9 D.4 ).

→ → → → (2)在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积之比值是( 1 A.3 1 B.2 2 C.3 3 D.4

解析

? ? 3 ? 3 ? (1)建立如图平面直角坐标系,则 A?- ,0?,C? ,0?, ? 2 ? ?2 ?

1? ? B?0,-2?. ? ? ? 3 1? ∴E 点坐标为? ,- ?, 4 4? ? → → ?3 3 1? ?, ∴AC=( 3,0),AE=? ,- 4? ? 4 → → 3 3 9 ∴AC· AE= 3× 4 =4. → → (2)由已知可得PC=2AP, ∴P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 1 易知 S△PAB=3S△ABC,即 S△PAB∶S△ABC=1∶3. 答案 (1)D (2)A 考点二 向量在三角函数中的应用

【例 2】 设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b. (1)解 因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a· (b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α

+β)-8cos(α+β)=0,

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因此 tan(α+β)=2. (2)解 由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得

|b+c|= ?sin β+cos β?2+?4cos β-4sin β?2 = 17-15sin 2β≤4 2. π 又当 β=kπ-4(k∈Z)时,等号成立, 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明 4cos α sin α 由 tan αtan β=16,得 sin β =4cos β,所以 a∥b.

规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得 到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量 的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. 【训练 2】 (2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 解 (1)由题意得|a-b|2=2,

即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以 2-2a· b=2, 即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1), ?cos α+cos β=0, 所以? ?sin α+sin β=1, 由此得,cos α=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α=π-β. 1 代入 sin α+sin β=1 得,sin α=sin β=2, 5π π 而 α>β,所以 α= 6 ,β=6. 学生用书?第 77 页 考点三 向量在解析几何中的应用

【例 3】 (2013· 湖南卷)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足 ?→ 1→? ?→ 1→? ? ?=0. 为 Q,且?PC+ PQ?· 2 ? ?PC-2PQ? ? (1)求动点 P 的轨迹方程;
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→ → (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE· PF的最值. 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y).

→ 1→ → 1→ 由(PC+2PQ)· (PC-2PQ)=0, → 1→ 得|PC|2-4|PQ|2=0, 1 即(x-2)2+y2-4(x-8)2=0, x2 y2 化简得16+12=1. x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为16+12=1. → → → → → → → → → → → → → (2)因PE· PF=(NE-NP)· (NF-NP)=(-NF-NP)· (NF-NP)=(-NP)2-NF2=NP2-1, x2 y2 P 是椭圆16+12=1 上的任一点,设 P(x0,y0), x2 y2 4y2 0 0 0 2 则有16+12=1,即 x0=16- 3 ,又 N(0,1), → 1 2 2 所以NP2=x2 0+(y0-1) =- y0-2y0+17 3 1 =-3(y0+3)2+20. → → → 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,故PE· PF的最大值为 19; → → → 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值为 13-4 3(此时 x0=0),故PE· PF的最小值为 12-4 3. 规律方法 向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、 运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最 值等问题. (2)工具作用:利用 a⊥b?a· b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平 行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法. → → → 【训练 3】 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M 满足PA· AM=0,AM=- 3→ 2MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. 解 → → → 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,设 A(a,0),Q(0,b)(b>0),则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-

x,b-y),
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→ → 由PA· AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① → 3→ 由AM=-2MQ,得 3 ?3 3 ? (x-a,y)=-2(-x,b-y)=?2x,2?y-b??, ? ? 3 x - a = ? ? 2x, ∴? 3 3 ? ?y=2y-2b, x 把 a=-2代入①, x? x? 得-2?x+2?+3y=0, ? ? 1 整理得 y=4x2(x≠0). 1 所以动点 M 的轨迹方程为 y=4x2(x≠0). x a =- ? ? 2, ∴? y ? ?b=3.

1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有 关知识可以解决某些函数问题. 2. 以向量为载体求相关变量的取值范围, 是向量与函数、 不等式、 三角函数等相结合的一类综合问题. 通 过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法. 3.解析几何问题和向量的联系:可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性质解决解析几何问题.

创新突破 5——破解平面向量与圆的交汇问题 【典例】 (2013· 湖南卷改编)已知 a,b 是单位向量,a· b=0?.若向量 c 满足|c-a-b|=1?,则|c|的最大 值为________. 突破 1:根据条件?转化到平面直角坐标系中. 突破 2:把条件?坐标化. 突破 3:把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程. 突破 4:利用圆的知识求|c|max.

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解析

建立如图所示的直角坐标系,由题意知 a⊥b,且 a 与 b 是单位向量,

→ → → ∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1), ∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点 C(x,y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心,1 为半径的圆. 而|c|= x2+y2, ∴|c|的最大值为|OM|+1, 即|c|max= 2+1. 答案 2+1

[反思感悟] 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:一是“形化”,即利用平面向量的几何意 义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题, 然后根据平面图形的特征直接进行判断; 二是“数化”, 即利用平面向量的坐标运算, 把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题, 然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.本题采用了“形化”与“数化”的结合,利用坐标运 算将问题转化为圆的知识解决. 【自主体验】 → → → → → → → 1.△ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2 OA+AB+AC=0,|OA|=|AB|,则CA· CB=( 3 A.2 B. 3 C.3 D.2 3 ).

解析

→ → → → → → → → → → 由 2 OA+AB+AC=0,得 2 OA+OB-OA+OC-OA=0,即OB=-OC,即 O,B,C 三点共线,

→ → → BC 为△ABC 外接圆的直径,故∠BAC=90° .又|OA|=|AB|,得 B=60° ,所以 C=30° ,且|CA|= 3(如图所 示). → → → → 3 所以CA· CB=|CA||CB|cos 30° = 3×2× 2 =3. 答案 C

→ → → 2π 2.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 3 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上 → → → 运动.若OC=x OA+y OB,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是________.

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高中数学 必修 4 三角恒等变换 复习专题

解析

法一

→ 以 O 为坐标原点,OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(1,0),

? 1 3? B?- , ?, ? 2 2? 2π?? ? ? 设∠AOC=α?α∈?0, 3 ??, ? ? ?? 则 C(cos α,sin α), → → → 由OC=x OA+y OB, 1 ? ?cos α=x-2y, 得? 3 ? ?sin α= 2 y, 3 2 3 所以 x=cos α+ 3 sin α,y= 3 sin α, π? ? 所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sin?α+6?, ? ? 2π? π ? 又 α∈?0, 3 ?,所以当 α=3时,x+y 取得最大值 2. ? ? 法二 → → 依题意,|OC|=1,则|OC|2=1,

→ → → → → 又OC=xOA+yOB,|OA|=|OB|=1, → → <OA,OB>=120° , → → → → ∴x2· OA2+y2· OB2+2xyOA· OB=1, 因此 x2+y2+2xycos 120° =1,xy=x2+y2-1. ?x+y?2 ? ,即(x+y)2≤4. ∴3xy=(x+y)2-1≤3? ? 2 ? ∴x+y 的最大值是 2. 答案 2

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基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 邵阳模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b|=|a||b|,则 tan x 的值等 于( A.1 解析 ). B.-1 C. 3 2 D. 2

由|a· b|=|a||b|知,a∥b.

所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x, 而 x∈(0,π), π 所以 sin x=cos x,即 x=4,故 tan x=1. 答案 A ).

2.(2014· 南昌模拟)若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是( 3 A. 2 解析 答案 3. B. 3 C.2 3 1 D.2

3 3 a· b=|a||b|cos 30° =8sin 15° cos 15° × 2 =4×sin 30° × 2 = 3. B

→ → → π π (2013· 哈尔滨模拟)函数 y=tan4x-2的部分图象如图所示,则(OA+OB)· AB=( A.4 解析 B.6 C.1 D.2

).

由条件可得 B(3,1),A(2,0),

→ → → → → → → → → ∴(OA+OB)· AB=(OA+OB)· (OB-OA)=OB2-OA2=10-4=6. 答案 B ).

4.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是( π π π 2π A.-6 B.-3 C.3 D. 3
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解析

由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0,

1 即 4|b|2+4×2|b|2cos θ=0,∴cos θ=-2, 2π 又∵0≤θ≤π,∴θ= 3 . 答案 D

→ → 5.(2014· 安庆二模)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对应的三角形的边长,若 4aBC+2bC A → +3cAB=0,则 cos B=( 11 A.-24 解析 11 29 B.24 C.36 ). 29 D.-36

→ → → 由 4aBC+2bC A +3cAB=0,得

→ → → → → → 4aBC+3cAB=-2bC A =-2b(BA-BC)=2bAB+ → 2bBC,所以 4a=3c=2b. b2 4 2 + b -b2 a +c -b 4 9 11 由余弦定理得 cos B= 2ac = =- b2 24. 2· 2· 3b
2 2 2

答案

A

二、填空题 → → → → 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若AB· AC=BA· BC=1,那么 c=________. 解析 → → → → 由题意知AB· AC+BA· BC=2,

→ → → → → → → 即AB· AC-AB· BC=AB· (AC+CB) → → =AB2=2?c=|AB|= 2. 答案 2

→ → → → → BA· BC 7.(2014· 南通一调)在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3,|AB+AC|=|BC|,则 =________. → |BC| → → → → → BA· BC → 易知满足|AB+AC|=|BC|的 A, B, C 构成直角三角形的三个顶点, 且∠A 为直角, 于是 =|BA → |BC|

解析

1 |· cos∠ABC=1×cos 60° =2.
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答案

1 2

8.(2013· 东北三校一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(3b-c)cos A=acos C,S
△ABC

→ → = 2,则BA· AC=________. 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C,

解析

即 3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0, 1 2 2 于是有 cos A=3,sin A= 1-cos2A= 3 , 1 1 2 2 又 S△ABC=2· bcsin A=2bc× 3 = 2, → → 1 所以 bc=3,BA· AC=bccos(π-A)=-bccos A=-3×3=-1. 答案 -1

三、解答题 9.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N 在线段 MA 的延长线上, → → 且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. 解 → → 设 M(x0,y0),N(x,y).由MA=2AN,得

?x0=3-2x, (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴? ?y0=3-2y. ∵点 M(x0,y0)在圆 C 上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1. → → → → 10.(2014· 北京海淀模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若AB· AC=BA· BC=k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值. 解 → → → → (1)∵AB· AC=cbcos A,BA· BC=cacos B,

→ → → → 又AB· AC=BA· BC,∴bccos A=accos B, ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形.

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→ → b2+c2-a2 c2 (2)由(1)知,AB· AC=bccos A=bc· 2bc = 2 =k, ∵c= 2,∴k=1. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 → → → → → 1.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=( 2cos α, 2sin α),则向量OA与向量OB的夹角的取 值范围是( π? ? A.?0,4? ? ? ). ?π 5 ? B.?4,12π? ? ? π? ?5 C.?12π,2? ? ? ?π 5 ? D.?12,12π? ? ?

解析

→ → → 由题意,得OA=OC+CA=(2+ 2cos α,2+ 2sin α),所以点 A 的轨迹是圆

→ → (x-2)2+(y-2)2=2,如图,当 A 位于使直线 OA 与圆相切时,向量OA与向量OB的 夹角分别达到最大、最小值,故选 D. 答案 D

→ 1→ → → 2.(2014· 北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形,且AB+2AD=AC,|CD|= 3,那么四边形 ABCD 的面积为( 3 A. 2 解析 3 B.2 ). 3 C.3 3 9 D.2 3

→ → → 1→ → → ?1 → → ? 如图所示,CD=AD-AC=2AD-AB,∴CD2=? AD-AB?2, ?2 ? → → → 1→ 即 3=4AD2+AB2-AD· AB, → → ∵|AD|=|AB|, → → → 5→ ∴4|AD|2-|AD||AB|cos 60° =3,∴|AD|=2.
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→ → → 1→ → 1→ 又BC=AC-AB=2AD,∴|BC|=2|AD|=1, → → → ∴|BC|2+|CD|2=|BD|2,∴BC⊥CD. 1 1 3 ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2×22×sin 60° +2×1× 3=2 答案 B 3,故选 B.

二、填空题 3.(2014· 苏锡常镇二调)已知向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=1,且对一切实数 x,|a+xb|≥|a+b|恒成立, 则 a 与 b 的夹角大小为________. 解析 |a|= 2,|b|=1,|a+xb|≥|a+b|对一切实数 x 恒成立,两边平方整理得 x2+2a· bx-2a· b-1≥0 对

a· b 一切实数 x 恒成立,所以(2a· b)2+4(2a· b+1)≤0,即(a· b+1)2≤0,所以 a· b=-1,故 cos<a,b>=|a||b|= 2 3π 3π - 2 ,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= 4 ,即 a,b 的夹角是 4 . 答案 3π 4

三、解答题 x ? ? 4.(2014· 南通模拟)已知向量 m=? 3sin 4,1?, ? ? x x? ? n=?cos 4,cos24?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求函 数 f(A)的取值范围. 解 x x x (1)m· n= 3sin 4· cos 4+cos24

x 1+cos 2 3 x ? x π? 1 = 2 sin 2+ =sin?2+6?+2, 2 ? ? ? x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? π? ? x π? 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6?=2, ? ? ? ? 1 ?2π ? ? π? cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,

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∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 ∴cos B=2, π 2π ∵0<B<π,∴B=3,∴0<A< 3 . π A π π ?A π? ?1 ? ∴6< 2 +6<2,sin? 2 +6?∈?2,1?. ? ? ? ? ? x π? 1 又∵f(x)=sin?2+6?+2, ? ? ?A π? 1 ∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ? 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ? 方法强化练——平面向量 (建议用时:90 分钟) (对应学生用书 P283)

一、选择题 1.(2014· 福建质检)已知向量 a=(m2,4),b=(1,1),则“m=-2”是“a∥b”的( ).

A.充分不必要条件 C.充要条件 解析

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

依题意,当 m=-2 时,a=(4,4),b=(1,1),所以 a=4b,即 a∥b,即由 m=-2 可以推出 a∥b;

当 a∥b 时,m2=4,得,m=± 2,所以不能推得 m=-2,即“m=-2”是“a∥b”的充分不必要条件. 答案 A ).

2.(2013· 德州一模)已知向量 a=(2,3),b=(k,1),若 a+2b 与 a-b 平行,则 k 的值是( 2 A.-6 B.-3 解析 2 C.3 D.14

由题意得 a+2b=(2+2k,5),且 a-b=(2-k,2),又因为 a+2b 和 a-b 平行,则 2(2+2k)-5(2-

2 k)=0,解得 k=3. 答案 C ).

3.(2013· 浙江五校联考)已知|a|=|b|=|a-2b|=1,则|a+2b|=( A.9 B.3 C.1 解析 D.2

由|a|=|b|=|a-2b|=1,得 a2-4a· b+4b2=1,

∴4a· b=4,∴|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=5+4=9,
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∴|a+2b|=3. 答案 B ).

4.(2014· 郑州一模)已知平面向量 a=(-2,m),b=(1, 3),且(a-b)⊥b,则实数 m 的值为( A.-2 3 解析 答案 B.2 3 C.4 3 D.6 3

因为(a-b)⊥b,所以(a-b)· b=a· b-b2=0,即-2+ 3m-4=0,解得 m=2 3. B ).

5.(2014· 长春一模)已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角为( π π π π A.2 B.3 C.4 D.6 解析 a· (b-a)=a· b-a2=2,所以 a· b=3,

a· b 3 1 π 所以 cos<a,b>=|a||b|= =2.所以<a,b>=3. 1×6 答案 B ).

6.(2013· 潮州二模)已知向量 a=(1,-cos θ),b=(1,2cos θ)且 a⊥b,则 cos 2θ 等于( 1 A.-1 B.0 C.2 解析 答案 2 D. 2

a⊥b?a· b=0,即 1-2cos2θ=0,∴cos 2θ=0. B

→ → → 7.(2014· 成都期末测试)已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,则 有( ).

→ → → → A.AO=2OD B.AO=OD → → → → C.AO=3OD D.2AO=OD 解析 → → → → → → → → → → → → → 由 2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以OD=AO,即

O 为 AD 的中点. 答案 B

→ → → → → 8.(2013· 潍坊一模)平面上有四个互异点 A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 的形状是( ). B.等腰三角形 D.无法确定

A.直角三角形

C.等腰直角三角形 解析

→ → → → → 由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,

→ → → → → → 得[(DB-DA)+(DC-DA)]· (AB-AC)=0,
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→ → → → 所以(AB+AC)· (AB-AC)=0. → → → → 所以|AB|2-|AC|2=0,∴|AB|=|AC|, 故△ABC 是等腰三角形. 答案 B

→ → 9.(2013· 兰州一模)在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,AB,AC 的边长分别为 2,1,∠BAC=60° .则AG· BG =( 8 A.-9 ). 10 B.- 9 C. 5- 3 9 D.- 5- 3 9

解析

由 AB=2,AC=1,∠BAC=60° ,所以 BC= 3,∠ACB=90° ,将直角三角形放入直角坐标系中,

→ ? ? 3 1? 3 2? → ?2 3 1? 如图所示,则 A(0,1),B(- 3,0),所以重心 G?- , ?,所以AG=?- ,- ?,BG=? ,3?, 3? ? 3 3? ? 3 ? 3 ? → → ? 8 3 2? ?2 3 1? ? 所以AG· BG=?- ,- ?· , ?=-9. 3? ? 3 3? ? 3 答案 A

10.(2014· 皖南八校第三次联考)已知正方形 ABCD(字母顺序是 A→B→C→D)的边长为 1,点 E 是 AB 边 → → 上的动点(可以与 A 或 B 重合),则DE· CD的最大值是( 1 A.1 B.2 C.0 D.-1 ).

解析

→ → 建立直角坐标系如图所示,设 E(x,0),x∈[0,1],则 D(0,1),C(1,1),B(1,0),所以DE· CD=(x,-

1)· (-1,0)=-x,当 x=0 时取得最大值 0. 答案 C

二、填空题 11.(2013· 济南模拟)若 a=(1,-2),b=(x,1),且 a⊥b,则 x=________. 解析 答案 由 a⊥b,得 a· b=x-2=0,∴x=2. 2
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12.(2013· 昆明期末考试)已知向量 a=(1,1),b=(2,0),则向量 a,b 的夹角为________. 解析 a=(1,1),b=(2,0),∴|a|= 2,|b|=2,

a· b 2 2 π ∴cos<a,b>=|a||b|= = 2 ,∴<a,b>=4. 2 2 答案 π 4

→ → 13.(2014· 杭州质检)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1,D 为斜边 AB 的中点,则AB· CD= ________. → → → → → → → → → AB· CD=AB· (AD-AC)=AB· AD-AB· AC=2×1-2× 3cos 30° =-1. -1

解析 答案

→ 14.(2014· 湖南长郡中学、衡阳八中联考)已知 G1,G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 的重心,且A1A2=e1, → → → B1B2=e2,C1C2=e3,则G1G2=________(用 e1,e2,e3 表示). 解析 → → → → 由A1A2=A1G1+G1G2+G2A2=e1 → → → → ①,B1B2=B1G1+G1G2+G2B2=e2 → → → ②,C1C2=C1G1+G1G2+

→ G2C2=e3

→ → → → ③,且 G1,G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 的重心,所以A1G1+B1G1+C1G1=0,G2A2+G2B2

→ → 1 +G2C2=0,将①②③相加得G1G2=3(e1+e2+e3). 答案 1 3(e1+e2+e3)

三、解答题 15.(2013· 漯河调研)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(2,1),A(1,0),B(cos θ,t). → → → → (1)若 a∥AB,且|AB|= 5|OA|,求向量OB的坐标; → (2)若 a∥AB,求 y=cos2θ-cos θ+t2 的最小值. 解 → (1)∵AB=(cos θ-1,t),

→ 又 a∥AB,∴2t-cos θ+1=0.∴cos θ-1=2t.① → → 又∵|AB|= 5|OA|,∴(cos θ-1)2+t2=5.② 由①②得,5t2=5,∴t2=1.∴t=± 1. 当 t=1 时,cos θ=3(舍去),当 t=-1 时,cos θ=-1, → ∴B(-1,-1),∴OB=(-1,-1).
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(2)由(1)可知 t=

cos θ-1 , 2 ?cos θ-1?2 4

∴y=cos2θ-cos θ+

6 5 3 1 5? ? 1 =4cos2θ-2cos θ+4=4?cos2θ-5cos θ?+4 ? ? 3? 1 5? =4?cos θ-5?2-5, ? ? 3 1 ∴当 cos θ=5时,ymin=-5. π? ? 16.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0,2?. ? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2 x,

|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得 4sin2 x=1. π? 1 π ? 又 x∈?0,2?,从而 sin x=2,所以 x=6. ? ? (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2 x π? 1 3 1 1 ? = 2 sin 2x-2cos 2x+2=sin?2x-6?+2, ? ? π? π? π ? ? 当 x=3∈?0,2?时,sin?2x-6?取最大值 1. ? ? ? ? 3 所以 f(x)的最大值为2. 17.(2013· 银川调研)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; → → → → 1 1 (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:m+n=3. (1)解 → → → → → ∵GA+GB=2GM,又 2GM=-GO,

→ → → → → ∴GA+GB+GO=-GO+GO=0. (2)证明 → 1 显然OM=2(a+b).

→ 2→ 1 因为 G 是△ABO 的重心,所以OG= OM= (a+b). 3 3 → → 由 P,G,Q 三点共线,得PG∥GQ,
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→ → 所以,有且只有一个实数 λ,使PG=λGQ. → → → 1 1 ?1 ? 而PG=OG-OP=3(a+b)-ma=?3-m?a+3b, ? ? → → → 1? 1 1 ? GQ=OQ-OG=nb-3(a+b)=-3a+?n-3?b, ? ? 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? n-3?b?. 所以?3-m?a+3b=λ?-3a+? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ?3-m=-3λ, 又因为 a,b 不共线,所以? 1? 1 ? n - ? = λ , ? ?3 ? 3? ? 1 1 消去 λ,整理得 3mn=m+n,故m+n=3. 18.(2014· 太原模拟)已知 f(x)=a· b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos x,1)(x∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; → → (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,AB· AC=3,求边长 b 和 c 的 值(b>c). 解 π? ? (1)由题意知,f(x)=2cos2x- 3sin 2x=1+cos 2x- 3sin 2x=1+2cos?2x+3?, ? ?

∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π ∴令 2kπ≤2x+3≤2kπ+π(k∈Z), π π 得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). π π? ? ∴f(x)的单调递减区间?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. ? ? π? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+3?=-1, ? ? π? ? ∴cos?2A+3?=-1. ? ? π π 7π π π 又3<2A+3< 3 ,∴2A+3=π.∴A=3. → → ∵AB· AC=3,即 bc=6,由余弦定理得 a2=b2+c2- 2bccos A=(b+c)2-3bc,7=(b+c)2-18,b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2.

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