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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训7


2012 全国初中数学竞赛试题附答案(安徽赛区)
一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分. 每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中 有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1、如果 a ? ?2 ? 2 ,那么 1 ?

1 1 2? 3? a

/>的值为【



(A) ? 2

(B) 2
2 2

(C)2

(D) 2 2 】

2、 在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式 x ? y ? 2 x ? 2 y 的整数点坐标(x,y)的个数为【 (A)10 (B)9 (C)7 (D)5

3、如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形. ?ADC ? 30? ,AD = 3,BD = 5,则 CD 的长为【 (A) 3 2 】 (B)4 (C) 2 5 (D)4.5

4、 如果关于 x 的方程 x 2 ? px ? q ? 0(p,q 是正整数) 的正根小于 3, 那么这样的方程的个数是 【 (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8



5、黑板上写有 1,

1 1 1 , ,…, 共 100 个数字.每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数 a,b ,然后 2 3 100


删去 a,b ,并在黑板上写上数 a ? b ? ab ,则经过 99 次操作后,黑板上剩下的数是【 (A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6、如果 a,b,c 是正数,且满足 a ? b ? c ? 9 , 值为 .
1 2012 全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

1 1 1 10 a b c ,那么 的 ? ? ? ? ? a?b b?c c?a 9 b?c c?a a ?b

7、如图,⊙ O 的半径为 20, A 是⊙ O 上一点.以 OA 为对角线作矩形 OBAC ,且 OC ? 12 .延长 BC ,

与⊙ O 分别交于 D,E 两点,则 CE ? BD 的值等于

28 5



. 8、设 n 为整数,且 1≤n≤2012. 若 (n2 ? n ? 3)(n2 ? n ? 3) 能被 5 整除,则所有 n 的个数为 .

1 1 1 9、 如果正数 x, y, z 可以是一个三角形的三边长, 那么称 是三角形数. 若 和 (a,b,c) (x,y,z) ( ,,) a b c a 均为三角形数,且 a≤b≤c,则 的取值范围是 . c
10、已知 n 是偶数,且 1≤ n ≤100.若有唯一的正整数对 使得 a 2 ? b 2 ? n 成立,则这样的 n 的个 (a,b) 数为 .

三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分) 11、如图,在平面直角坐标系 xOy 中, AO ? 8 , AB ? AC , sin ?ABC ?

4 . CD 与 y 轴交于点 E , 5

且 S△COE ? S△ADE .已知经过 B,C,E 三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

12、如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AC,BD 是它的对角线,AC 的中点 I 是△ABD 的内心. 求证: (1)OI 是△IBD 的外接圆的切线; (2)AB+AD=2BD.

2

2012 全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

13、给定一个正整数 n ,凸 n 边形中最多有多少个内角等于 150? ?并说明理由. 14、将 2 , 3 ,…, n (n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数 a,b,c (可以相同)使 得 ab ? c ,求 n 的最小值.

3

2012 全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

2012 全国初中数学竞赛答案(安徽赛区)
1. 解:B∵ 3 ? a ? 1 ? 2 ∴

1 1 ? 2 ?1, 2 ? ? 2 ? 1, 3? a 3? a

1 1 2? 3? a

? 2 ? 1 因此原式= 2

2. 解:B 解法一: x ? y ? 2 x ? 2 y 化为 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2
2 2

3. 4 解:图,以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE. 由于 AC = BC,CD = CE,

4. 解:C∵p、q 是正整数∴ ? ? p ? 4q ? 0 , x1 ? x2 ? ?q ? 0 ∴正根为
2

p?

p 2 ? 4q ?3 2

解得 q ? 9 ? 3 p ∴ ? 解:C 5.

?p ?1 ?p ?1 ?p ?1 ?p ?1 ?p ?1 ?p ? 2 ?p ? 2 ,? ,? ,? ,? ,? ,? ? q ? 1 ? q ? 2 ? q ? 3 ? q ? 4 ? q ? 5 ?q ? 1 ?q ? 2

a ? b ? ab ? (a ? 1)(b ? 1) ? 1 ∵计算结果与顺序无关

∴顺次计算得: (1 ? 1)(

1 1 1 ? 1) ? 1 ? 2 , (2 ? 1)( ? 1) ? 1 ? 3 , (3 ? 1)( ? 1) ? 1 ? 4 ,…… 2 3 4

(99 ? 1)(

1 ? 1) ? 1 ? 100 100

1 1 1 10 c a b 两边乘以 a?b?c ? 9 得 3? ? ? ? ? ? ? 10 即 a?b b?c c?a 9 a?b b?c c?a c a b ? ? ?7 a?b b?c c?a 7. 解:如图,设 DE 的中点为 M ,连接 OM ,则 OM ? DE .
6. 解 : 7 在 因为 OB ?

202 ? 122 ? 16 ,所以 OM ?

OB ? OC 16 ?12 48 , ? ? BC 20 5

CM ? OC 2 ? OM 2 ?

36 64 . , BM ? 5 5
64 36 28 ? ? 5 5 5

? BM ? CM ? CE ? BD ? (EM ? CM) ? (DM ? BM)
8. 解:1600 n ? n ? 3 n ? n ? 3 ? n ? 3
2 2 2

?

??

? ?

?

2

? n 2 ? n 4 ? 5n 2 ? 9

因此 5 | n ? 9 ,所以 n ? 1(mod 5) ,因此 n ? 5k ? 1, 或5k ? 2 2012 ? 5 ? 402 ??2 所以共有
4 4

2012-402=1600 个数

9. 解:

3? 5 a ? ?1 2 c
4 2012 全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

?a ? b ? c ? 依题意得: ? 1 1 1 ,所以 b ? c ? a ,代入(2)得 ? ? ? ?b c a

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ,两边乘以 a 得 a b c c?a c a a c?a a 化简得 a 2 ? 3ac ? c 2 ? 0 ,两边除以 c 2 得 1? ? 即 ? c?a c c c?a
a 3? 5 a 3? 5 3? 5 a a ?a? 另一方面:a≤b≤c, 所以 ? 1 综合得 ? ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 1 ? 0 所以 c 2 c 2 2 c c ?c?
解:依题意得 n ? a ? b ? ?a ? b ??a ? b ?
2 2
2

10.
由于 n 是偶数,a+b、a-b 同奇偶,所以 n 是 4 的倍数当 1≤ n ≤100 时,4 的倍数共有 25 个 但是 4 ? 2 ? 2 , 24 ? 2 ?12 ? 4 ? 6 , 32 ? 2 ?16 ? 4 ? 8 , 40 ? 2 ? 20 ? 4 ?10 ,

48 ? 2 ? 24 ? 4 ?12 ? 6 ? 8 , 56 ? 2 ? 28 ? 4 ?14 , 60 ? 2 ? 30 ? 6 ?10 , 64 ? 2 ? 32 ? 4 ?16 72 ? 2 ? 36 ? 4 ?18 ? 6 ?12 , 80 ? 2 ? 40 ? 4 ? 20 ? 8 ?10 , 88 ? 2 ? 44 ? 4 ? 22 96 ? 2 ? 48 ? 4 ? 24 ? 6 ?16 ? 8 ?12
这些不符合要求,因此这样的 n 有 25-12=13 个 11. 解:因为 sin∠ABC =

AO 4 ? , AO ? 8 ,所以 AB = 10. AB 5

由勾股定理,得 BO ?

AB 2 ? AO 2 ? 6 .易知 △ABO ≌△ACO , 因此 CO = BO = 6.

于是 A(0 , ? 8) , B(6 , 0) , C (?6 , 0) .设点 D 的坐标为 (m , n) .由 S△COE ? S△ ADE ,得 S△CDB ? S△ AOB . 所以

1 1 1 1 BC ? n ? AO ? BO , ?12(?n) ? ? 8 ? 6 .解得 n ? ?4 . 因此 D 为 AB 的中点,点 D 的 2 2 2 2
8 3

坐标为 (3 , AO 分别为 AB, BC 的两条中线, 点 E 为△ABC 的重心, 所以点 E 的坐标为 (0 , ? ). ? 4) .因此 CD,

设经过 B,C,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 y ? a( x ? 6)( x ? 6) .将点 E 的坐标代入,解 得a =

2 2 8 2 . 故经过 B,C,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 y ? x ? . 27 27 3

12. (1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

?CID ? ?IAD ? ?IDA ,
5 2012 全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)

?CDI ? ?CDB ? ?BDI ? ?BAC ? ?IDA ? ?IAD ? ?IDA .
所以 ?CID ? ?CDI , CI = CD. 同理,CI = CB . 故点 C 是△IBD 的外心.连接 OA,OC,因为 I 是 AC 的中点,且 OA = OC, 所以 OI⊥AC,即 OI⊥CI .故 OI 是△IBD 外接圆的切线.

? ? CD ? ,知 OC⊥BD. (2)如图,过点 I 作 IE⊥AD 于点 E,设 OC 与 BD 交于点 F.由 BC
因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以 Rt△BCF ≌ Rt△AIE .所以 BF = AE. 又 因 为 I 是 △ ABD 的 内 心 , 所 以 AB ? AD ? BD ? 2 AE ? BD ? BD ? 2BF ? BD . 故

AB ? A? D2
16

.D B

14. 解:当 n ? 2 ? 1 时,把 2 ,   3,   ?, n 分成如下两个数组:

  3,  , 2   2 ? 1,   ?,   2 ?1 ? 和 ? 4 ,   5,   ?,   2 ?1 ? . ? 2,
8 8 16 8

2   3,  , 2   2 ? 1,   ?,   2 ? 1 中,由于 33 ? 28 ( ,28) ? 216 ? 1 , 在数组 2 ,
8 8 16

?

?

所以其中不存在数 a ,, b c ,使得 a ? c .
b

  5,   ?,   2 ? 1 中,由于 44 ? 28 ? 1 , 在数组 4 ,
8

?

?

所以其中不存在数 a ,, b c ,使得 a ? c .
b

所以, n ? 2 .
16

下面证明当 n ? 2 时,满足题设条件.
16

不妨设 2 在第一组, 若 2 ? 4 也在第一组, 则结论已经成立. 故不妨设 2 ? 4 在第二组. 同理可设 4 ? 2
2 2 4

8

在第一组, (2 ) ? 2 在第二组.
8 2 16

b ? 8, c ? 2 ,此时 a ? c ;如果 8 在第二组,我们取 此时考虑数 8.如果 8 在第一组,我们取 a ? 2 ,
8

b

a ? 4, b ? 8, c ? 216 ,此时 ab ? c .
综上, n ? 2 满足题设条件.
16

所以, n 的最小值为 2 . 注:也可以通过考虑 2,4,16,256,65536 的分组情况得到 n 最小值为 65536.
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