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高二数学(科学)


高二数学(科学)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)复数 z ?

2?i ( i 为虚数单位) ,在复平面内对应的点所在象限为 2?i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限

(2

)对于函数 y ? f ( x), x ? R, “ y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) 是奇函数” 的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ?x ? a ? ?b ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
(A)63.6 万元 (B)65.5 万元 (C)67.7 万元 (D)72.0 万元

(4)若 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 4ln x 则 f ? x ? >0 的解集为 A. ? 0, ??? C. B. D.

? ?1,0? ? ? 2, ???

? 2, ???

? ?1,0?

(5)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)
x

10 3
?x 6

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(6) (4 ? 2 ) (x∈R)展开式中的常数项是 A.15 B.-15 C.-20 D.20

1

(7)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (3, ? 2 ) 则 P(? ? 3) 等于(



(A)

1 5

(B)

1 2

(C)

1 4

(D)

1 3

(8)设( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn )是变量 x 和 y 的 n 个样本点, 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以 下结论中正确的是 A. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样 本点的个数一定相同 D.直线 l 过点 ( x, y )

y l O x

(9)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A.

1 36

B.

1 9
5

C.

5 36

D.

1 6

a ?? 1? ? (10) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?
(A)-40 (B)-20 (C)40 (D)20

(11)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 (??, ??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是
( )

? (C) ? ?

? (A) ??, ? 3 ? ? ? ? 3, ?? 3, 3

?

? (B) ? ? ? 3, 3 ?

?

(D) ??, ? 3 ?

?

? ?

3, ??

?

(12)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各 个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

2

高二数学(科学)
题号 答案
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(13)如果随机变量 ?

B(n, p), E? ? 7, D? ? 6 ,则 P=

(14)已知 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值等 于

(15)马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表:

x
P(? ? x)

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ? 的数学期望.尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模 糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案,则
E? =
(16)设函数 f ( x) ?

.
x ( x ? 0) ,观察: x?2

f1 ( x) ? f ( x) ?

x x?2 x 3x ? 4

f 2 ( x) ? f ( f 1 ( x )) ?

x 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? 15x ? 16 f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ?
? ? ? 根据以上事实,有归纳推理可得:当
3

n ? N *且n ? 2时,f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ? _____________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。

17. (本大题满分 12 分) 已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i( i 为虚数单位) , 复数 z2 的虚部为 2, 且 z1 ? z2 是实数,求 z2 .

18. (本大题满分 12 分)

? 1 3 2? 已知 ? 4 4 ? x ? 展开式中的倒数第三项的二项式系数为 45. ? x ? ? ?
(1) 求含有 x 的项; (2) 求二项式系数最大的项.
3

n

4

19.(本小题满分 12 分)
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已 知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

5

20.(本小题满分 12 分)
1 1 设 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 2ax 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围。 3 16 (2)当 o ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1, 4] 的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值。 3

6

21.(本小题满分 12 分)
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) 。下表是乙厂的 5 件产品的测量数 据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品总数。 (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,y≥75,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂 生产的优等品的数量。 (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中, 随机抽取 2 件, 求抽取的 2 件产品中的优等品数 ? 的分布 列及其均值。

7

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
a ln x b ? , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

8

高二数学(科学)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D
1 7

2 B 14、-1

3 B

4 C 15、2

5 C 16、

6 A

7 B

8 D

9 D

10 C

11 B

12 A

二、13、

x (2 ? 1) x ? 2n
n

17、解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i , ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i
n?2 2 18、解: (1)由已知得 cn ? 45 ,即 cn ? 45 ,∴ n ? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? ?9 (舍) n ? 10 ,
2

r r 10? r 由通项公式得 Tr ?1 ? C10 (4 x 4 )10?r ( x 3 )r ? C10 4 x

?

1

2

10? r 2 ? ? r 4 3

令?

10 ? r 2 6 4 3 ? r ? 3 ,得 r ? 6 ,∴含有 x3 的项是 T7 ? C10 4 x ? 53760x3 . 4 3
5 10 ? 1 4 5 2 3 5 25 12

( 2 ) ∵ 此 展 开 式 共 有 11 项 , ∴ 二 项 式 系 数 最 大 的 项 是 第 6 项 , ∴

T6 ? C (4 x ) ( x ) ? 258048x

19、解: (1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F,则 D, E, F 分别 表示甲不胜 A,乙不胜 B,丙不胜 C 的事件。 因为 P( D) ? 0.6, P( E ) ? 0.5, P( F ) ? 0.5 红队至少两人获胜的事件有 DEF , DEF , DEF , DEF 红队至少两人获胜的概率为

9

P ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.55

(2)由题意知 ? 可能的取值为 0,1,2,3,

P(? ? 0) ? P(DEF ) ? 0.1 P(? ? 1) ? P(DEF ) ? P(DEF ) ? P(DEF ) ? 0.35
P(? ? 3) ? P( DEF ) ? 0.15 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 0.4
所以 ? 的分布列

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

因此 E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.35 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.15 ? 1.6 20、 (1)由 f ( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ?
2 2
/

1 2

1 ? 2a , 4

当? , ? ? ? 时, f / ( x) 的最大值为 f ( ) ?
/

?2 ?3

? ?

2 3

2 2 1 ? 2a , ? 2a ? 0 ,得 a ? ? , 9 9 9

所以,当 a ? ?

1 ?2 ? 时, f ( x ) 在 ? , ?? ? 上存在单调递增区间。 9 ?3 ?

(2)令 f ( x) ? 0 得 x1 ?
/

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? 2 2

所以 f ( x ) 在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上单调递增 当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x ) 在 ?1, 4? 上的最大值为 f ( x2 ) 又 f (4) ? f (1) ? ?

27 ? 6a ? 0 , 即 f ( 4 ? ) f (所 1 )以 f ( x) 在 ?1, 4? 的 最 小 值 为 2 40 16 10 f (4) ? 8a ? ? ? 得 a ? 1, x2 ? 2 从而 f ( x) 在 ?1, 4? 上的最大值为 f (2) ? 3 3 3
10

21、解: (1)乙厂生产的产品总数为 5 ? (2)样品中优等品的频率为

14 ? 35 ; 98

2 2 ,乙厂生产的优等品的数量为 35 ? ? 14 ; 5 5

i 2 ?i C2 C3 (i ? 0, 1, 2) , ? 的分布列为 (3) ? ? 0, 1, 2 , P(? ? i) ? C52

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

均值 E (? ) ? 1 ?

3 1 4 ? 2? ? . 5 10 5

22、 (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x2 x

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 (i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2
11

1 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, 1? k 1 1 而 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛 1? k 1? x2

当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得

盾。 (iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时, h(x)>0,可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

12


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