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高中数学平面向量讲义


平面向量(学生专用)

专题六 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 (1)向量的基本概念:

平面向量

①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
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②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量
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④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
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(2)向量的加法:设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC ① 0 ? a ? a ? 0 ? a ;②向量加法满足交换律与结合律;

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??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”.
(3)向量的减法: ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, ③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点)

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(4)实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定 如下: (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ

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? ? ? ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的
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(5)两个向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a

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(6)平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
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(1) 平面向量的坐标表示:平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,记作 a =(x,y)。 (2) 平面向量的坐标运算: ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ⑤若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ⑥若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 【3】平面向量的数量积 (1)两个向量的数量积: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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? ? ? ? ? a ?b (2)向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称 |a|
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为射影

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(3)数量积的几何意义: a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 (4)向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 (5)乘法公式成立:

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? ? ? ?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a

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2

? ?2 ?2 ? ? ?b2 ? a ? b ; a ?b

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2

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b

(6)平面向量数量积的运算律: ①交换律成立: a ? b ? b ? a

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? ?
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? ? ?? ? R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ?
②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

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平面向量(学生专用)

特别注意:(1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ; (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

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不能得到 b ? c ?
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(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 (7)两个向量的数量积的坐标运算:

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已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · b = x1 x2 ? y1 y2

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( 8 ) 向 量 的 夹 角 : 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB= ? (

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??? ? ? b

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0 0 ? ? ? 1800











? a
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? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时, =0 , θ 当且仅当 a 与 b 反方向时θ =180 , 同时 0 与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
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0

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0

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(9)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b

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(10)两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量
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数量积的性质 二. 例题分析 【模块一】向量的基本运算 【例 1】给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

②若 a ? b ,则 a ? b ③在平行四边形 ABCD 中一定有 AB ? DC ; ④若 m ? n, n ? p ,则 m ? p ; ⑤若 a // b , b // c ,则 a // c ⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量 a ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,则 b ? 0 ⑧ a ? b 的充要条件是 a ? b 且 a // b ;⑨若 a 与 b 方向相同,且 a ? b ,则 a ? b ; ⑩由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; 其中正确的命题的序号是

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平面向量(学生专用)

【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;求 b 的值.

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【变式 1】若 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? ?3 求 a ? b 的值.

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【变式 2】设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值

【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60 , | a |? 3 , | b |? 2 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,求 m 的
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值.

【例 4】若向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1, ?1? 求 2a ? b 与 a ? b 的夹角.

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【 变 式 】 设 x , y ? R, 向 量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? , 且 a ? c, b // c , 则

a ? b ? _______
A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10





【例 5】已知两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则下列结论一定正确的是 ( A a // b

? ?

? ? ?

? ?



?

?

B a?b

?

?

C a ? b

?

D a ?b ? a ?b

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【变式 1】设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 a=λ b D.若存在实数 λ ,使得 a=λ b,则|a+b|=|a|-|b|
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【变式 2】若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ? 的最小值是 _____ b

? ?

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? ?1 3? ? ?? ? ? , a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? 2 , ? 2 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? (1) 证明 a ? b ? a ? b ;
【例 6】设 ? ? ? 0,

?

? ?
?

?

(2) 当 2a ? b ? a ? 2b 时求角 ? 的值.

? ?

?

? ? ? ? a b 【例 7】设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的充分条件是( |a| |b|
A. a ? ?b



?

?

B. a // b

? ?

C. a ? 2b

?

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D. a // b 且 | a |?| b |

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【模块二】向量与平面几何 【例 1】 在△ABC 中, ?A ? 90 AB ? 1, AC ? 2 ,设 P、 满足 AP ? ? AB , Q
?

??? ?


??? ?

???? ???? ??? ??? ? ? AQ ? ?1 ? ? ? AC , ? ? R BQ ? CP ? 2 ,则 ? =
A



1 3

B

2 3

C

4 3

D 2

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平面向量(学生专用)

【变式 1】 已知△ABC 为等边三角形, AB ? 2 设 P、 满足 AP ? ? AB , Q AQ ? ?1 ? ? ? AC ,

??? ?

??? ?

????

????

??? ??? 3 ? ? ? ? R BQ ? CP ? ,则 ? = 2
A





1 2

B

1? 2 2

C

1 ? 10 2

D

?3 ? 2 2

【例 2】在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB?BC = 1 则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

??? ??? ? ?





??? ? ??? ? ??? ? 【变式 1】若向量 BA ? ? 2,3? , CA ? ? 4,7 ? ,则 BC ?
A. ? ?2, ?4? B. ? 2, 4 ? C. ? 6,10? D. ? ?6, ?10 ?





【 例 3 】 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ?

?

1 ? 2 ? CB ? CA , 则 6 3

MA? MB ? ________.

?

?

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【例 4】 ?ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若 CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0,| a |? 1,| b |? 2 ,则

??? ?

? ??? ?

? ? ?

?

?

???? AD ?
A. a ? b





1? 3

1? 3

B.

2? 2? a? b 3 3

C. a ?

3? 5

3? b 5

D.

4? 4? a? b 5 5

【例 5】在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转

??? ?

3? 后,得向量 4

???? OQ ,则点 Q 的坐标是
A. (?7 2, ? 2)



) C. (?4 6, ?2) D. (?4 6, 2)

B. (?7 2, 2)

【例 6】在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =______________.

??? ???? ?

【例 7】在平行四边形 ABCD 中,∠A= 3 , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、

?

CD 上的点,且满足
,

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . ? | BC | | CD |

【例 8】如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD BC 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是____.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

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【 例 9 】 已 知正 方形 ABCD 的 边长 为 1, 点 E 是 AB 边上 的动 点 , 则 DE ? CB 的值 为 ________; DE ? DC 的最大值为________.

??? ??? ? ?

???? ????

【例 10】已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 900 , AD ? 2, BC ? 1 , P 是腰

??? ? ??? ? DC 上的动点,则 PA ? 3PB 的最小值为___________

【例 11】 如图, ? ABC 中,AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 , 在 则 AC ?AD ?

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

3

.

? ? 3 ??? ? 1 ??? 1 ??? ??? ???? ? B ??? B ? ??? B ? ???D ? A ?C ? 【例 12】 (15)在四边形 ABCD 中,AB = DC = (1, , 1) , B A B C B D
则四边形 ABCD 的面积是

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平面向量(学生专用)

【例 13】在 ? ABC 中,若 AB ? ? 2,3? , AC ? ?6, ?4 ? ,则 ? ABC 面积为

??? ?

??? ?

【例 14】 (2012 年河北二模)在 ? ABC 中,AB 边上的中线 CD=6,点 P 为 CD 上(与 C,D) 不重合的一个动点,则 PA ? PB .PC 的最小值是 A 2 B 0 C -9 D -18

?

??? ??? ??? ? ? ?

?

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