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2014高中数学 3-2-1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修2


3.2

直线的方程

3.2.1

直线的点斜式方程

一、阅读教材P92~94回答 1 .若直线经过点 P1(x1 , y1) 及点 P(x , y)( 点P 不同于点 P1)且斜率为k,则k与P1、P的坐标之间的关系是 .

∵两点确定一条直线,∴经过点P1(x1,y1

),且斜率为 k的直线的方程是 y-y1=k(x-x1) ,这个方程是由直线上 一点和直线的斜率确定的,所以叫做直线方程的 点斜式 .

2.若直线l的斜率是k,与y轴的交点是 P(0,b),代入 直线方程的点斜式,整理得直线l的方程是 y=kx+b ,

我们称b为直线l在y轴上的 截距 ,这个方程是由直线 l 的
斜率 和它在y轴上的 截距 确定的,所以叫做直线方程的 斜截式 . 3 .当直线 l 的倾斜角为 0°且过 P1(x1 , y1) 点时,直线 l 的斜率是 0,其方程是 y=y1 . 当直线l的倾斜角为 90°且过

P1(x1,y1)点时,直线l的斜率 不存在,其方程是 x=x1 .

4.已知点p1(x1,y1)及k,方程

= k 与方程

y-y1=k(x-x1)是否相同?
[ 答案 ] 不相同.因为前者表示的直线上缺少一个点 P1(x1,y1),而后者才表示整条直线. 5.直线方程的点斜式与斜截式的适用范围各是什么? [答案] 它们的适用范围都是直线的斜率存在.

二、解答下列各题 1.过点(1,2),斜率为-1的直线方程为 x+y-3=0 .

2 .一直线过点 A(1,0) 和 B( - 1,2) ,为求得直线 AB 的方
程,我们可先由A、B两点的坐标求得直线AB的斜率 k= -1 ,进而可求得直线的方程为 x+y-1=0 . 3.一直线在y轴上截距为- ,斜率为2,则方程为 .

本节学习重点:直线方程的点斜式和斜截式. 本节学习难点:①求直线方程的步骤. ②斜率为0和斜率不存在的直线方程的表示.

1.通过研究直线的点斜式方程,要初步明确求轨迹方 程的基本思路:

(1)设动点坐标(x,y)(求谁设谁).
(2)分析动点的几何特征(直线过动点和定点,由定点和 动点求出直线的斜率为k). (3)用坐标表示动点的几何特征并化简整理. (4)说明得到的坐标满足的关系式符合直线方程的定义

(此步骤可省略).

2.误区警示:①直线方程的点斜式是建立其它形式的 直线方程的基础,是本章的基石,应熟练掌握.直线方程

的点斜式和斜截式只能表示有斜率的直线,用它求过定点
(x1,y1)的直线的方程时,应注意不要忘记考察直线x=x1是 否符合题意. ②直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,不 是距离,它可以是负数或零.

直线l过点(0,b)?直线l在y轴上的截距是b.

[例1]

你能写出下列直线的点斜式方程吗?没有点斜

式方程的直线和斜率为0的直线如何表示? (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行;

(4)经过点D(1,1),与x轴垂直.

[解析] (1)y-5=4(x-2); (2)k=tan45°=1 ∴y-3=x-2;

(3)y=-1;
(4)x=1. [ 点评 ] 率存在. ②注意方程x=1的含义:它表示一条垂直于x轴的直线, ①使用点斜式方程,必须注意前提条件是斜

这条直线上任意一点的横坐标都是1.

写出满足下列条件的直线方程填空.

(1)过点(-1,2),斜率为

,________;

(2)过点(-3,1),平行于x轴,________; (3)过点(-3,1),(1,4),________; (4)过点(-1,-3),倾斜角为135°,________.

[答案]

(2)y=1.
(3)3x-4y+13=0. (4)x+y+4=0.

[解析]

4-1 3 (3)直线的斜率k= = ,故方程为y- 1-(-3) 4

3 4= (x-1),即3x-4y+13=0. 4 (4)k=tan135° =-tan45° =-1, y+3=-1· (x+1),即x+y+4=0.

[例2] 写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率是3,在y轴上的截距是-3; (2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; (3)倾斜角是150°,在y轴上的截距是0.

总结评述: 直线在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的 纵坐标,不是“距离”,可以是负数、0、正数.

写出满足下列条件的直线的方程.

(1)斜率为5,在y轴上截距为-1,________;
(2)倾斜角30°,在y轴上截距为 ,________.

[例3]
线的方程;

(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直

(2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2x+7垂直的直线 的方程; [ 分析 ] 由已知直线的方程求出斜率,再根据两直线

平行或垂直的条件求解.

[解析]

(1)由y=2x+7得k1=2,由两直线平行知k2=

2.∴所求直线方程为y-1=2(x-1). (2)由y=-2x+7得k1=-2,由两直线垂直知k1k2=- 1 1,∴k2= . 2 1 ∴所求直线方程为y-1=2(x+1).

一条直线l在y轴上截距为-2,且与直线l1:y=
+2垂直,则l的方程为________. [答案] 3x-y-2=0

-x

[例4] 求倾斜角为直线y=-
且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10. [ 分析 ]

x+1的倾斜角的一半,

通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率,

再分别由点斜式和斜截式求出直线的方程.

[解析]

∵直线l1?y=- 3x+1的斜率k1=- 3,

∴直线的倾斜角为120° ,由题意知,所求直线的倾斜 角为60° ,斜率k= 3. (1)∵过点(-4,1),∴直线方程为y-1= 3(x+4). (2)∵在y轴上截距为-10, ∴直线方程为y= 3x-10.

3 经过点(-1,1),倾斜角是直线y= x-2的倾斜角的2 3 倍的直线方程是 ( A.x=-1 2 3 C.y-1= 3 (x+1)
[答案] D

)

B.y=1 D.y-1= 3(x+1)

[解析]

3 已知直线斜率k= ,∴倾斜角为30° ,故所 3

求直线倾斜角为60° ,斜率为 3 ,方程为y-1= 3(x+1), 故选D.

[例5]

(1) 在直线 y + 2=k(x -3) 中,k 取任意实数,可

得无数条直线,这无数条直线的共同特征是 ____________. (2) 不 论 m 取 何 值 , 直 线 mx - y + m + 3 = 0 恒 过 定 点 __________.

[答案] (1)过定点(3,-2) (2)(-1,3)

[解析]

(1)由直线点斜式方程的定义知,不论k取何实

数方程y+2=k(x-3)总表示经过点(3,-2),斜率为k的直

线,所以这些直线的共同特征是过定点(3,-2).
(2) 将方程mx -y +m+ 3= 0变形为y - 3 = m(x + 1) 可知, 不论m取何实数,直线总过定点(-1,3).

[点评] 关于直线系过定点问题解决方法: (一)分离参数法,如(2)的解答.

( 二 ) 赋值法:∵无论 m 取何实数,直线总过定点 ( 设为
P) ,∴当m =0, m=1 时,直线- y + 3= 0 与 x - y + 4= 0 也 都过P.

[例6]

4 已知斜率为- 的直线l,与两坐标轴围成三角 3

形面积为6,求l的方程. [错解] 4 设l:y=- x+b,令x=0得,y=b,令y=0 3

3 1 3 得,x=4b,根据题意得2· b· (4b)=6, 4 ∵b>0,∴b=4.∴直线l的方程为y=- x+4. 3

[辨析]

直线在 x 轴(y轴 ) 上的截距是直线与 x 轴 (y 轴)交

点的横 ( 纵 ) 坐标不是距离,错解误把直线在两轴上截距当

作距离.
[正解] 4 设l:y=- x+b,令x=0得y=b,令y=0得x 3

3 1 3 = 4 b,根据题意得 2 · |b|· | 4 b|=6,∴b2=16,∴b=± 4,故直 4 线l的方程为y=- x± 4. 3

一、选择题 1.经过点(-3,2),倾斜角为60° 的直线方程是 ( A.y+2= 3(x-3) C.y-2= 3(x+3) 3 B.y-2= (x+3) 3 3 D.y+2= 3 (x-3) )

[答案] C

2.直线l的方程为9x-4y=36,则l在y轴上的截距为 ( )

A.9
C.-4 [答案] B

B.-9

二、填空题 3 .过点 (2,1) ,平行于 y 轴的直线方程为 ________ .平

行于x的轴的直线方程为________.
[答案] x=2;y=1

4 . 直 线 y = kx + b 不 过 第 二 象 限 , 则 k 、 b 应 满 足 ______.

[解析]

如右图直线有如下两种情况:①l与x轴平行且

位于 x 轴下方或 x 轴,此时 k = 0 且 b≤0 ;② l 过一、三象限且 过原点或第四象限,此时k>0且b≤0.


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