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数学:3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修1-1)


第三章 导数及其应用

基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '

;( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5

y? ? 0
4
-2

(2) y= x
(3) y= x

?2 y? ? ?2 x ? 3 x
?3

y? ? 4x

3

x (4) y= 2

y? ? 2 ln 2
x

(5) y=log3x y? ?

1 x ln 3

思考如何求下列函数的导数:

1 (1) y ? 4 x

(2) y ? x x

p(t ) ? p0 (1 ? 5%)

t

解:根据基本初等函数导数公式表,有
?(t ) ? 1.05t ln1.05 p

所以 p?(10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08(元 / 年)
10

因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.

导数的运算法则:(和差积商的导数)

[ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) ? g '( x)

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
轮流求导之和
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

上导乘下,下导乘上,差比下方

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为:

[cg ( x)]? ? cg ?( x)

例2 根据基本初等函数的导数公式和导数

运算法则,求函数y=x3-2x+3的导数。
解:因 3 ? ( x )? ? (2 x)? ? (3)? 为 2 ? 3x ? 2
y? ? 3x 2 ? 2

y? ? (x3 ? 2x ? 3)?

所 以,

练习2、求下列函数的导数。

(1) y ? x ? sin x ? cosx
3

y? ? 3x ? cos x ? sin x
2

x x 2 (1) y ? 2 sin ? cos ? 2 x ? 1 (2) 2 2

y? ? cos x ? 4 x

(3) y ? ( x ? 1)(x ? 2)

y? ? 2 x ? 3

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
1 5284 ?( x ) ? ( ? ? ?5284 ? ( x ? 100 )? c ) 100 ? x 1? ? ( x ? 100) ? 1? ( x ? 100)? ? ?5284? 2 ( x ? 100)

0 ? ( x ? 100) ? 1?1 ? 5284 ? ?5284? 2 2 ( x ? 100) ( x ? 100)

5284 ? 52.84,所以, (1)因为 c?(90) ? 2 (90 ? 100) 纯净度为90%时,费用的瞬时变化率

为52.84元/吨。
5284 ? 1321 ,所以, (2)因为 c?(98) ? 2 (98 ? 100) 纯净度为98%时,费用的瞬时变化率

为1321元/吨。

练习3、求下列函数的导数。
1 2 (1) y ? ? 2 ; x x x 1 4 2 ; ? (2) y ?1 (1) y ? 1? (1) ;y ? ? 2 ? 3 ; x2 x x2 x x (3) y ? tan x; x (2) y ? 22 ; 2 (4) y ? 1 ?x ? 3) 1 ? x ; (2 x (3) y ? tan x; 2

1? x 2 2) y ? ? ( ? 3) 1 ? x 2 ; 2 2 ; (4) y ? (2 x (1 ? x )

x

x

x (2) y ? ; 2 1? x (3) y ? tan x;

本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值,

(4) y ? (2 x 2 ? 3) 1 ? x 2 ;

再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ? ? ; 2 cos x

我们再回顾一下 “导数的几何意义” 中的两个练习题。

练习1、求曲线 y ? 9 在点M(3,3)处的 x 切线的斜率及倾斜角. 第二种解法:
9 y? ? ? 2 x

代入x=3,得

y? ? ?1

斜率为-1,倾斜角为135°

1 2 1 练习2、判断曲线 y ? 2 x 在(1,-)处 2

是否有切线,如果有, 求出切线的方程.

试自己动手解答.
1 有 y ? x? 2 ,

切 线

基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则:(和差积商的导数)

[ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) ? g '( x)

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
轮流求导之和
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

上导乘下,下导乘上,差比下方


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