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2009届江西省高三数学模拟试题分类汇编函数


2009 届江西省高三数学模拟试题分类汇编函数
一 选择题 1.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)
? f ( x ? 2) f (x) ? ? ?x 2 ? ( x ? 2) ( x ? 2)

若函数
1

,则 f ( ? 3) 的值为(



1<

br />
A. 8

B. 2

C.2

D.8

答案:A 2 (江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 函数 y=log2(1-x)的图象是( )

答案:C 3.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知函数 f(x)满足 2f(x)-f( A.2 1 1 )= ,则 f(x)的最小值是( x |x| 2 C. 3 ) 2 2 D. 3

B.2 2

答案:D 4.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)
?(2 ? a )x ? 1 f (x) ? ? x ?a 已知 ( x ? 1) ( x ? 1)
x1 ? x 2 , 都 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0

满足对任意

成立,那

么 a 的取值范围是(
[ 3 , 2) (1,


3 2 ]

A. 2

B.

C. (1,2)

D. (1, ? ? )

答案:A 5. (江西泰和中学 09 高三第一学期期中) 函数
y ? lo g a

?

x ? 1? ? a ? 1?

的大致图像是( y

) y y

y

O

x

O

x

-1 O

1 x

-1 O

1

x

(A) (B) (C) 答案:B 6. (江西泰和中学 09 高三第一学期期中)

(D)

定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,且在 [ ? 3, ? 2 ] 上递减, ? , ? 是锐角三角 形的两个内角且 ? ? ? , 则下列不等式正确的是( A. f (s in ? ) ? f (c o s ? ) C. f (sin ? ) ? f (sin ? ) )

B. f (sin ? ) ? f (c o s ? ) D. f (c o s ? ) ? f (c o s ? )

答案:A 7. (江西泰和中学 09 高三第一学期期中) 定义域为 R 的函数
? lg | x ? 2 |, x ? 2 f (x) ? ? , 若关于 x 的方程 f x ? 2 ?1,
2

( x ) ? bf ( x ) ? c ? 0

恰有 5 个不同的实数解 等于 ( ) D.1

x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , 则 f ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 )

A.0 B. 21 g 2 C. 31 g 2 答案:C 8. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考)
f (x) ? 3x
2

函数
(? 1 3

1? x

? lg( 3 x ? 1 )

的定义域是
(? 1 3 ,1 )


(? 1 3 ,1



, ?? )

?
D.

( ?? , ?

1 3

)

A.

B.

C.

答案:B 9. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考)
1

曲线 y= 5 x5+3x2+4x 在 x=-1 处的切线的倾斜角是
?




5?

?

3?

A.- 4

B. 4

C. 4

D. 4

答案:C 10. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考) 函数 y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间为 ( ) A. (-∞,-3) B. (-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-3,-1) 答案:A 11.(江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考) f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示,令 g( x ) =af( x )+b,则下列 关于函数 g( x )的叙述正确的是 ( )

A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称 B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根 C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根 D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根 答案:B 12.(江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考) 如图所示,
f i ( x )( i ? 1, 2 , 3 , 4 )

是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:
? [ 0 ,1], f [ ? x 1 ? (1 ? ? ) x 2 ] ? ? f ( x 1 ) ? (1 ? ? ) f ( x 2 )

“对[0,1]中任意的 x1 和 x2,任意 ? 的只有

恒成立”





A.

f 1 ( x ), f 3 ( x )

B. f 2 ( x )

C.

f 2 ( x ), f 3 ( x )

D. f 4 ( x )

答案:A 13. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
f (x) ? 1? x
2

已知函数 A. x 轴对称

x?4 ? x?3

,则 f ( x ) 的图像关于 ( C. 原点对称

) D. 直线 y ? x 对称

B. y 轴对称

答案:B 14. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
? cos ? x f (x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 已知函数 ( x ? 0) ( x ? 0)
4 4 f ( ) ? f (? ) 3 的值为 ,则 3





A. -2 B. -1 C. 1 答案:C 15. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
f (x) ? 1 1? x ( 0 ? x ? 1)
?1

D. 2

设函数 A. f
?1

的反函数为 f

(x)

,则 (
?1

) 在其定义域上是减函数且

(x)

在其定义域上是增函数且最大值为 1

B. f

(x)

最小值为 0 C. f
?1

(x)

在其定义域上是减函数且最大值为 1

D. f

?1

(x)

在其定义域上是增函数且

最小值为 0 答案:D

16. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
f ( x ) ? lo g a ( x ? a x )
3

若函数

( a ? 0 , a ? 1)

(?

1 2

, 0)

在区间

内单调递增, 则实数 a 的取值

范围是 (
[ 1 4 ,1)


[ 3 4 ,1)
( 9 4 , ?? )

(1,

9 4

)

A.

B.

C.

D.

答案:B 17. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
1] , 定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足: f ( ? x ) ? ? f ( x ) , f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) , x ? [ ?1 当

时,

f (x) ? x

3

,则 f ( 2 0 0 9 ) 的值是 (



A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案:C 18. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考) 已知函数 y ? x ? a x ? 1 在区间 [0 , 3] 上有最小值 ? 2 ,则实数 a 的值为 ( )
2

?

10 3

A. 2

B.

C. -2

D. 4

答案:C 19. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考) 已知曲线 C : x ? y ? 4
2 2

( x ? 0, y ? 0 )

与函数

f ( x ) ? lo g 2 x

及函数 g ( x ) ? 2 的图像分
x

别交于

A ( x1 , y 1 )



B ( x2 , y2 )

,则

x1 ? x 2
2

2

的值为 (

) D. 2

A. 16 B. 8 C. 4 答案:C 20. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)

? x?3? f (x) ? f ? ? ? x ? 4 ? 的所有 设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足

x 之和为(

) B. 3 C. ? 8 D. 8

A. ? 3

答案:C 21.(江西省五校 09 届第二次月考) 已知定义域为 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 2 ? x ) ? ? f ( 2 ? x ), 当 x ? 2时 , f ( x ) 单调递增,如果
x 1 ? x 2 ? 4 , 且 ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? 0 , 则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 )

的值 (



A.可能为 0 B.恒大于 0 C.恒小于 0 D.可正可负

2 , 4 , 6

答案:C 22.(江西省五校 09 届第二次月考)
? a x ( x ? 0 ), f (x) ? ? x 1 ? x 2 , 都有 ?(a ? 3) x ? 4 a ( x ? 0 ) 满 足 对 任 意 已知函数

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0



立,则 a 的取值范围是
? 1? ? 0, ? A. ? 4 ?





?1 ? ,1 ?4 ? ? ? B. (0,1) C.

D. (0,3)

答案:A 23.(江西南昌岚湖中学 09 届补习班高三数学上学期第二次月考) 函数 f(x) =3x(x≤2)的反函数的定义域是( ) (A) ( ?? , 9 ] (B) [ 9 , ?? ) (C) ( 0 , 9 ] (D) ( 0 , ?? )

答案:C 24.(江西南昌岚湖中学 09 届补习班高三数学上学期第二次月考) 函数 f(x)=ax2+bx+6 满足条件 f(-1)=f(3),则 f(2)的值为( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)与 a,b 值有关 答案:B 25.(江西琴海学校 09 届高三第三次月考)
y ? xa
x

( 0 ? a ? 1)

函数

|x|

的图象的大致形状是

答案:B 26.(江西琴海学校 09 届高三第三次月考) 函数 y = a ?
x ? a (x ? a)

的反函数是 B.y=(x-a)2+a (x≥a) D.y=(x-a)2+a (x≤a)

A.y=(x-a)2-a (x≥a) C.y=(x-a)2-a (x≤a) 答案:D 27.(江西琴海学校 09 届高三第三次月考)
3

已知 m∈R,函数 f ( x ) ? x ? m x 在[1,+∞)上是单调增函数,则 m 的最大值是 A.0 B.1 答案:D 28.(江西新干中学高三期末考试) C.2 D.3

m-2x+4 已知函数 f(x)= (m≠0)满足条件:f(x+a)+f(a-x)=b(x∈R,x≠2),则 a+b 的值 x-2 为( ) A.0 B.2 C.4 D.-2 答案: D 29.(江西新干中学高三期末考试) 已知函数 f(x)满足条件①f(x)>0;②对任意 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)· f(y); ③x>0 时,0<f(x)<1.则不等式 f--1(x2-4x+3)>f--1(3)的解集为( )学科网 A.(-∞,0)∪(4,+∞) B.(0,4) C . (0 , 1) ∪ (3 , 4) D.(-∞,0)∪(3,4) 答案: C 30.(江西新干中学高三期末考试)
?x ?x ? 0? ? f (x) ? ? ? 4 s in x ? 0 ? x ? ? ?
2

函数

?

,则集合

? x f ? f ? x ? ? ? 0 ? 元素的个数有
C 4个 D

( 5个



A、2 个 B 3个 答案: D 31.(江西浮梁一中高三第二次月考)

x ? ? 0,1 ? 已知偶函数 y ? f ( x ), ( x ? R ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且 时, f ( x ) ? x ,则方程
f ( x ) ? | lo g 3 x |

的实数解的个数共有(

) D、4 个

A、1 个 B、2 个 C、3 个 答案: C 32.(江西浮梁一中高三第二次月考)

(理)设函数 f ( x ) ? sin ( 3 x ? ? ) (0< ? < ? )若函数 f ( x ) ? f ( x ) 为奇函数,则 ? =
'

?

?

5?

2?

A、 6 答案: D

B、 3

C、 6

D、

3

f (x) ?

x

3

?

1 2

ax

2

? 2 bx ? c

33.(江 西 九 江 六 校 09 年度 第 一 次 联 考 )已 知 函 数
b? 2

3

,方程

f (x) ? 0
'

两个根分别在区间(0,1)与(1,2)内,则 a ? 1 的取值范围为(
( ?? , 1 4 ) ? (1, ?? ) ( ? 1, ? 1 4 1



1

)

A、 4 ,1) (

B、



C 、

D、 4 ,2) (

答案:A 34.(江西师大附中 09 届第二次月考)
2 函数 y ? lg (3 ? 2 x ? x ) 的值域是





A. ( ? ? , lg 4 ]

B. [lg 4, ? ? )

C. ( ? 3,1)

D. ( ? 1, 3)

答案:A 35.(江西信丰中学高三年级第一次月考) 在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x ) 的图象与 y ? e 的图象关于直线 y ? x 对称。而
x

函数 y ? f ( x ) 的图象与 y ? g ( x ) 的图象关于 y 轴对称,若 f ( m ) ? ? 1 ,则 m 的值是(
? 1 e 1



A. ? e

B.

C. e

D. e

答案:B 二 填空题 1.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)
已 知 f (x) ? a? x x ? ( a ? 1)
?1

,且 f

(x)

的对称中心是

? ? 1, 2 ?

,则 a 的值是

.

答案:3 2.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知函数 f (x )? 2
f
?1 x?3

, f

?1

(x)

+ 是 f ( x ) 的 反 函 数 , 若 m n ? 1 6 ( m, n ? R ) 则 ,

(m ) ? f

?1

(n)

的值为___________.

答案: ? 2 3. (江西泰和中学 09 高三第一学期期中)
2 2 若对于任意的实数 a ? 1 且 b ? 1 ,不等式 a ? b ? t ( a ? b ? 2 ) 恒成立,则实数 t 的最大值是

________. 答案:4 4. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考) 已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且满足 f(x+1)+f(x)=1,当 x∈[0,1]时,f(x)= x,则 f(-2008.5)= .
1

答案: 2 5. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考)
? 3 x ? 1, ( x 为奇数 ) ? f (x) ? ? 1 ? x , ( x 为偶数 ) ?2

定义在 N+上的函数

,令 x1=6,xn+1=f(xn),若 A={x|x=xn,n∈

N+} ,则集合 A 的子集个数为 . 答案:64 6. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)

f (x) ?

x ? 2 ?1 lo g 2 ( x ? 1)

函数 答案: [3, ? ? )

的定义域为



7. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考) 设函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f
y ? f
?1
?1

(x)

, 且 函 数 y ? x ? f ( x ) 的 图 象 过 点 (1,2), 则 函 数

(x) ? x

的图象一定过点

.

答案: (-1, 2) 8. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
f

?x? ?

ax ? 3x ? 1
3

对于

x ? ? ? 1,1 ?

总有

f

?x? ?

0

成立,则 a =



答案: 4 9. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
? ? 若 方 程 l g ( x ? 3x ? m ) ? l g ( 3 x 在) x ? (0, 3) 内 有 惟 一 解 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
2

是 . 答案: -6 10.(江西南昌岚湖中学 09 届补习班高三数学上学期第二次月考) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 对任意实数 x ,y 满足
f (0 ) ? 0, f (

?
2

f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) cos y
?
4

)?1

,且

.给出下列结论:

f(

)?

1 2



② f ( x ) 为奇函数 ④ f ( x ) 在 ( 0 , ? ) 内单调递减 。

③ f ( x ) 为周期函数 其中,正确的结论序号是 答案: ② ③ 11.(江西新干中学高三期末考试)
m? 1 2 ? x? m? 1

给出定义:若
{ x}

2 (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作
f ( x ) ? | x ? { x} |

,即 { x } ? m . 在此基础上给出下列关于函数
1
y ? f (x)

的四个命题:

①函数 ②函数 y ③函数 y

的定义域是 R,值域是[0,
x ? k 2

2

];

? f (x) ? f (x)

的图像关于直线

(k∈Z)对称;

是周期函数,最小正周期是 1;

? 1 1? ? , ? ? ④ 函数 y ? f ( x ) 在 ? 2 2 ? 上是增函数;

则其中真命题是__ . 答案: ①②③ 12.(江西师大附中 09 届第二次月考) 函数 f ( x ) 的定义域为 R,则两函数 y ? f (1 ? x )、 y ? f (1 ? x ) 的图象关于 答案: y 轴 三 解答题 1.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)
f (x) ? ?2 2
x

对称。

?b ? a 是奇函数.

已知定义域为 R 的函数 (1)求 a,b 的值;

x ?1

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

解:因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以

f (0) ? 0,即

?1? b 2? a

? 0 , 解得 b ? 1

f (x) ?

? 2 2

x

?1 ? a

从而有

x ?1

.

f (1 ) ? ? f ( ? 1 ) 知

? 2 ?1 4? a

? ? ?

1 2

?1

又由
f (x) ? ? 2 2
x

1? a

,解得 a ? 2

?1 ? 2

(2)解法一:由(1)知

x ?1

? ?

1 2

? 2

1
x

?1

,

由上式易知 f ( x ) 在 R 上为减函数,又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式
f (t
2

? 2t ) ? f (2t

2

? k) ? 0

等价于 f ( t ? 2 t ) ? ? f ( 2 t ? k ) ? f ( ? 2 t ? k ).
2 2 2

因 f ( x ) 是 R 上的减函数,

由上式推得

t

2

? 2t ? ? 2t

2

? k.
1 3

即对一切

t ? R 有 3t

2

? 2t ? k ? 0,
x

? ? 4 ? 12 k ? 0 , 解得 k ? ?

从而

f (x) ?

?2 ?1 2
x ?1

解法二:由(1)知
?2
2

? 2
2

,

t ?2t

2

?1 ? 2

又由题设条件得 2

t ? 2 t ?1

?

?2
2

2t ?k

?1 ? 2

2

2 t ? k ?1

? 0



(2

2 t ? k ?1

2

? 2 )( ? 2

t ?2t

2

? 1) ? ( 2

t ? 2 t ?1

2

? 2 )( ? 2
2

2t ?k

2

? 1) ? 0

整理得 2

3t ? 2t ? k

2

? 1,

因底数 2>1,故 3 t ? 2 t ? k ? 0
? ? 4 ? 12 k ? 0 , 解得 k ? ? 1 3 .

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式

2. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考) 已知 f ( x ) ? kx ? x ? x ? 5 在 R 上单调递增,记 ? ABC 的三内角 A、B、C 的对应边分别
3 2

为 a、b、c,若 a ? c ? b ? ac 时,不等式
2 2 2

f m ? sin B ? cos( A ? C ) ? f ( 2 m ?
2

?

?

33

) 4 恒成立.

(Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)求角 cos B 的取值范围; (Ⅲ)求实数 m 的取值范围。
? ? ? ? 解:(1)由 f ( x ) ? kx ? x ? x ? 5 知 f ( x ) ? 3 kx ? 2 x ? 1 , f ( x ) 在 R 上单调递增, f ( x ) ? 0
3 2 2

恒成立,? 3 k ? 0 且 ? ? 0 ,即 k ? 0 且 4 ? 12 k ? 0 ,
k ? 1 3 .????? 4 分

?

(2)? a ? c ? b ? ac ,由余弦定理:
2 2 2

cos B ?

a ?c ?b
2 2

2

?

ac 2 ac

?

1 2 ,

2 ac

?

0?B?

?
3 ,????? 8 分
f m ? sin

(3) ? f ( x ) 在 R 上单调递增,且
m ? sin
2

?

2

B ? cos( A ? C ) ? f ( 2

?

m ?

33 4

)



B ? cos( A ? C ) ? 2 m ?

33 4

所以
? sin B ? cos( A ? C ) ?
2

33 4

? ? sin B ? cos B ?
2

33 4

? cos B ? cos B ?
2

29 4

? (cos B ?

1 2

) ?7 ?8
2



2 故 m ? 2 m ? 8 ,即 ( m ? 1) ? 9 , ? 3 ?

m ? 1 ? 3 ,即 0 ? m ? 4 ,

即 0 ? m ? 16 .????? 14 分

3. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
f (x) ?
?2 2
x

? b ? a

已知定义域为 R 的函数 (1)求 a 、 b 的值;

x ?1

是奇函数.

2 2 (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

解: (1)∵
f (x) ?

f (x)
x

为奇函数,∴

f (0 ) ? 0

?1 ? b ? 0? b ?1 即 2?a

?2 ? 1 2
x ?1

∴ 解得 a ? 2

1 ? ?1 ?2 ? 1 f (1) ? ? f ( ? 1) ? ? ? 2 ? a ,又 4?a 1? a

??6 分
f (x) ? ?2 ? 1
x

(2)由(1)知,

2

x ?1

?2

? ?

1 1 ? 2 2x ?1

??8 分

由上式易知, f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) ? 又∵ f ( x ) 是奇函数,

??10 分

∴ f (t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 ? f (t ? 2 t ) ? f ( k ? 2 t )
2 2 2 2

∵ f (x) ?

∴ t ? 2t ? k ? 2t
2

2

, 即 对 一 切 t ? R , 有 3t ? 2 t ? k ? 0
2



??12 分 4. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考) 设 a>0 函数 f ( x ) = x - a x + 1 + a (1)若 f ( x ) 在区间 (0 ,1] 上是增函数,求 a 的值范围。 (2)求 f ( x ) 在区间 (0 ,1] 的最大值。
f ?( x ) ? 1 ax x ? 1 (2 分)
2
2

? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ?

1 3

(1)对函数 f(x)求导数, 要使 f(x)在区间 (0 ,1] 上是增函数,
f ?( x ) ? 1 ax x ?1
2

? 0 在 (0 ,1]

只要
a ? x ?1
2

上恒成立
1 x
2

?

1?

在 ( 0 ,1]



x

上恒成立。 分) (4

1?

1 x
2

在 ( 0 ,1]

1?

1 x
2

在 ( 0 ,1]

因为

,上单调递减所以

上的最小值是 2 ,注意到 a>0,所

以 a 的取值范围是 (0, 2 ] (6 分) (1)①当 0 ? a ?
2 时,由(1)知,f(x)在 (0 ,1] 上是增函数,此时 f(x)在区间 (0 ,1] 上的

最大值是 f(1)=1+(1- 2 )a
f ?( x ) ? 1 ? ax x ?1
2

? 0

x?

1 a ?1
2

? (0 ,1)

②当 a> 2 时,令
0 ? x ?? 1 a
2

解得
1

(10 分)

时 f ? ( x ) ? 0; ?1
1 a
2

? x ? 1时 f ? ( x ) ? 0 ?1
1 a
2

因为

a

2

f ( x )在 ( 0 ,

)上单调递增,在( ?1

, 1) ?1

所以

上单调递减,此时 f(x)在区间

f (

1 a ?1
2

) ? a?

a ?1
2

( 0 ,1]

上的最大值是


2 )a

综上,当 0 ? a ? 当a ?

2 时,f(x)在区间 (0 ,1] 上的最大值是 1 ? (1 ?
a ?1 .
2

2 时,f(x)在区间 (0 ,1] 上的最大值是 a ?

5. (江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)
x
2

(理)已知函数 f(x)=ln2(1+x)- 1 ? x . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;
(1 ? 1 n
n??

)

? e

(2)若不等式 求 ? 的最大值.

对任意的 n ? N * 都成立(其中 e 是自然对数的底数).

解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 ( ? 1, ? ? ) ,
f ?( x ) ? 2 ln (1 ? x ) 1? x ? x ? 2x
2

(1 ? x )

2

?

2 (1 ? x ) ln (1 ? x ) ? x ? 2 x
2

(1 ? x )

2

.



g ( x ) ? 2 (1 ? x ) ln (1 ? x ) ? x ? 2 x ,
2



g ? ( x ) ? 2 ln(1 ? x ) ? 2 x .



h ( x ) ? 2 ln(1 ? x ) ? 2 x ,



h ?( x ) ?

2 1? x

?2?

?2 x 1? x

.

? ? 当 ? 1 ? x ? 0 时, h ( x ) ? 0, h ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上为增函数,当 x>0 时,h ( x ) ? 0, h ( x ) 在 (0, ?? )

上为减函数.
? 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ( x ) ? 0 ( x ? 0 ) ,函数 g(x)在 ( ? 1, ? ? ) 上为

减函数. 于是当 ? 1 ? x ? 0 时, g ( x ) ? g (0 ) ? 0, 当 x>0 时, g ( x ) ? g (0 ) ? 0 .
? ? 所以,当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? 0, f ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上为增函数.当 x>0 时, f ( x ) ? 0, f ( x ) 在 (0, ?? )

上为减函数. 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ? ? ) .
( 1? 1 n
n?a

)

? e

(2)不等式
a ? 1 l n (?1 1 n ? n. )

1 1 ( n ? a ) l n ?( 1 ? ) 11.? ?1 n n 等价于不等式 由 知,

G (x) ?

1 ln (1 ? x )

?

1 x

, x ? ? 0 ,1 ? ,


G ?( x ) ? ?


? 1 x
x
2

1 (1 ? x ) ln (1 ? x )
2

2

?

(1 ? x ) ln (1 ? x ) ? x
2

2

x (1 ? x ) ln (1 ? x )
2 2

.

ln (1 ? x ) ?
2

由(Ⅰ)知,

1? x

? 0,

即 (1 ? x ) ln (1 ? x ) ? x ? 0 .
2 2

x ? ? 0,1 ? , ? 0 ,1 ? ? 所以 G ( x ) ? 0 , 于是 G(x)在 上为减函数.

故函数 G(x)在

? 0 ,1 ?
1

G (1) ?

1 ln 2

? 1.

上的最小值为
? 1.

所以 a 的最大值为 ln 2 6.(江西南昌岚湖中学 09 届补习班高三数学上学期第二次月考) 如右图,两条相交成 60°角的直路 EF 和 MN 交于 O, 起初甲在 OE 上距 O 点 3km 的点 A 处,乙在 OM 上距 O 点 1km 的点 B 处,现在他们同时以 4km/h 的速度行走,且甲沿 EF 方向,乙沿 NM 的方向. (1)求行走 t 小时后两人之间的距离(用 t 表示) ; (2)当 t 为何值时,甲乙两人之间的距离最近? 解: (1)设 t 小时后,他们两人的位置分别是 P、Q,则 AP=4t,BQ=4t. ①当 0 ? t < 0 . 75 时 ,PQ
2

? ( 3 ? 4 t ) ? (1 ? 4 t ) ? 2 ( 3 ? 4 t )( 1 ? 4 t ) cos 60
2 2

° ;

t ? 0 . 75 时 ,PQ

? OB ? BQ ? 1 ?

3 4

?4 ? 4

②当 ③当 t ? 0 . 75 时 ,PQ
2 2


2

? ( 4 t ? 3 ) ? (1 ? 4 t ) ? 2 ( 4 t ? 3 )( 1 ? 4 t ) cos 120 ?

.

? 48 t 2 ? 24 t ? 7 ? ? PQ ? ? 4 2 ? 48 t ? 24 t ? 7 ? ? ∴
0?t ? 3

0 ? t ? 0 . 75 t ? 0 . 75 t ? 0 . 75

(2)由(1)知,当

4 时,

即甲、乙两人之间的距离最小为 2 km 7.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) (本小题满分 12 分)
y ? x? a x 有如下性质:如果常数 a ? 0 ,那么该函数在 (0,

已知函数
[ a , ?? )

a]

上是减函数,在

上是增函数,
y ? x? 3
m

( x ? 0)

(1)如果函数

x
a x
2

的值域是 [6, ? ? ) ,求实数 m 的值;

f (x) ? x ?
2

(2)若把函数 式.

(常数 a ? 0 )在[1,2]上的最小值记为 g ( a ) ,求 g ( a ) 的表达

y ? x?

3

m

( x ? 0)

解: (1)由已知,函数
y m in ? 3
m

x
3
m

在 (0 , 3 ] 上是减函数,在 [ 3 , ? ? ) 上是增函
m m

?

? 2 3
m

m

数, ∴
2

3

,∴ 2 3

m

? 6 , 3m ? 9 ,
a

因此 m ? 2 .

(2)

令 x ? t ,? x ? ?1, 2 ? ? t ? ?1, 4 ? , f ( t ) ? t ?

t ,原题即求 f ( t ) 在 ?1, 4 ? 上的最小值。

1? 当

a ?

g (a ) ? 4 ,即 a ? 1 6 时, f ( t ) 在 ?1, 4 ? 上是减函数,此时

f (4) ? 4 ?

a 4 ,

2 ? 当1 ?
3? 当

a ? 2 ,即 1 ? a ? 1 6 时, g ( a ) ? f ( a ) ? 2

a



a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( t ) 在 ?1, 4 ? 上是增函数,此时 g ( a ) ? f (1) ? 1 ? a .

因此,

? ?1 ? a (0 ? a ? 1) ? g ( a ) ? ? 2 a (1 ? a ? 1 6 ) ? a ?4 ? (a ? 16) ? 4

8. (江西泰和中学 09 高三第一学期期中)
f (x) ? ?2 2
x

?b ? a 是奇函数.

已知定义域为 R 的函数

x ?1

(1)求 a 和 b 的值; (2 )判断 f(x)在 R 上的单调性。 (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

解: (1)因为 f ( x ) 是奇函数,
f (0) ? 0,即 ?1? b 2? a
x

? 0 , 解得 b ? 1

所以
f (x) ?

? 2 2

从而有

x ?1

. ? a ????????2 分
? ? ? 1 2 1? a ?1

?1

f (1 ) ? ? f ( ? 1 ) 知

? 2 ?1 4? a

又由



解得 a ? 2 ??????????4 分
f (x) ? ? 2 2
x

?1 ? 2

(2)由(1)知

x ?1

? ?

1 2

? 2

1
x

?1

,

由上式易知 f ( x ) 在 R 上为减函数??????8 分 (3)又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 等价于
2 2

f (t

2

? 2t ) ? ? f (2t

2

? k ) ? f (?2t

2

? k ).

??????10 分

2 2 因 f ( x ) 是减函数,由上式推得 t ? 2 t ? ? 2 t ? k .

即对一切

t ? R 有 3t

2

? 2t ? k ? 0,

? ? 4 ? 12 k ? 0 , 解得 k ? ?

1 3 ???12 分

从而

9. (江西泰和中学 09 高三第一学期期中)
2 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? a ln x .

(1)若 a ? ? 4 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 a ? 1 时,证明 f ( x ? 1) ? x ? 5 x ? 3
2

(3)当 t ? 1 时,不等式 f ( 2 t ? 1) ? 2 f ( t ) ? 3 恒成立,试证明 a ? 2
2 f ( x ) ? x ? 2 x ? 4 ln x ? f ? ( x ) ? 2 x ? 2 ?

4 x

解:(1)由题意得, ∵函数的定义域为 x ? 0 ,

? ? 由 f ( x ) ? 0 ? x ? 1 , f ( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 1 .∴函数 f ( x ) 有极小值 f (1) ? 3 。

??????4 分 (2)易知要证 f ( x ? 1) ? x ? 5 x ? 3 即证 ln (1 ? x ) ? x 在 x ? ? 1 上恒成立,令
2

m ? x ? ? ln ? 1 ? x ? ? x ? x ? ? 1 ? , 则 m

'

?x? ?

?x 1? x

? m ? x ? 在 x=0时 取 得 极 大 值 ,同 时 也 是 最 大 值 故 m ? x ? ? m ? 0 ? ? 0 .即 ln ? 1 ? x ? ? x 在 x ? ? 1上 恒 成 立

??????8 分
2 (3)∵ f ( x ) ? x ? 2 x ? a ln x ,

f ( 2 t ? 1) ? 2 f ( t ) ? 3 ? 2 t ? 4 t ? 2 ? 2 a ln t ? a ln ( 2 t ? 1) ? a ln
2

t

2


a ?
2 ( t ? 1) t
2 2

2t ? 1

.

当 t ? 1 时, t ? 2 t ? 1 ,∴
2

ln

t

2

2t ? 1

? 0

.即 t ? 1 时,

ln

2t ? 1

恒成立.

又由(2)知 ln(1 ? x ) ? x 在 x ? ? 1 上恒成立,
t
2

ln



2t ? 1

? ln [1 ?

( t ? 1)

2

2t ? 1

]?

( t ? 1)

2

2t ? 1

? ( t ? 1)

2

在 t ? 1 上恒成立.当 t ? 1 时取等号,

∴当 t ? 1 时,

ln

t

2

2t ? 1

? ( t ? 1)

2

,∴由上知 a ? 2 .??????12 分

10.(江西省五校 09 届第二次月考) 已知函数 f ( x ) ? a ? x ( a ? 1)
x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围; (2)令
S ( n ) ? C n f (1) ? C n f ( 2 ) ? ? ? C n
1 ' 2 '
' n ? 2) ? f ( ) 2

n ?1

f ( n ? 1)
'

S (n) ? (2

n

求证: 解:

(1 )由 f ( x ) ? a ln a ? 1, f ( x ) ? 0 , 即: a ln a ? 1,? a
' x ' x

x

?

1 ln a

, 又 a ? 1 ? x ? ? log

a

ln a

同理: f ( x ) ? 0 , 有 x ? ? log
'

a

ln a , ? log
a

所以 f ( x ) 在 ( ?? , ? log
'

a

ln a ) 上递减,在( ln a ) ? 1 ? ln ln a ln a

ln a , ?? ) 上递增;

所以 f ( x ) min ? f ( ? log 若 f ( x ) min ? 0 , 即 ? a 的取值范围是
1

a

1 ? ln ln a ln a

? 0 , 则 ln ln a ? ? 1,? ln a ?
1

1 e

1? a ? ee
2 2 n ?1

( 2 ) S ( n ) ? C n ( a ln a ? 1 ) ? C n ( a ln a ? 1 ) ? ? ? C n ? (C n a ? C n a
1 2 2

(a

n ?1

ln a ? 1 ) )
n

?? ? Cn
2

n ?1

a

n ?1

) ln a ? ( C n ? C n ? ? ? C n
1 2 n?2

n ?1

?

1 2

[C n ( a ? a
1 n n

n ?1

) ? C n (a
n

2

? a

) ?? ? Cn

n ?1

(a

n ?1

? a )] ln a ? ( 2

? 2)

? a 2 (2 ? (2
n

? 2 ) ln a ? ( 2
n 2

? 2)
n ' n ? 2 ) f ( ), 2

? 2 )( a

ln a ? 1 ) ? ( 2

所以不等式成立。

11.(江西琴海学校 09 届高三第三次月考)
x 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx 在点 0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x ) ? 0 的 x 的取值
3 2

范围为 (1, 3) ,求: (1) f ( x ) 的解析式; (2)若过点 P ( ? 1, m ) 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

(1)由题意得: f '( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ? 3 a ( x ? 1)( x ? 3), ( a ? 0 )
2

∴在 ( ? ? ,1) 上 f '( x ) ? 0 ;在 (1, 3) 上 f '( x ) ? 0 ;在 (3, ? ? ) 上 f '( x ) ? 0
x ?1 因此 f ( x ) 在 0 处取得极小值 ? 4

∴ a ? b ? c ? ? 4 ①, f '(1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0 ②, f '(3) ? 2 7 a ? 6 b ? c ? 0 ③
?a ? ?1 ? ?b ? 6 ?c ? ?9 3 2 由①②③联立得: ? ,∴ f ( x ) ? ? x ? 6 x ? 9 x

(7 分)

(2)设切点 Q ( t , f ( t )) , y ? f ( t ) ? f ( t )( x ? t )
,

y ? ( ? 3 t ? 1 2 t ? 9 )( x ? t ) ? ( ? t ? 6 t ? 9 t )
2 3 2

? ( ? 3 t ? 1 2 t ? 9 ) x ? t (3 t ? 1 2 t ? 9 ) ? t ( t ? 6 t ? 9 )
2 2 2

? ( ? 3t ? 1 2 t ? 9 ) x ? t ( 2 t ? 6 t )
2 2 2 3

过 ( ? 1, m )
2

m ? ( ? 3 t ? 1 2 t ? 9 )( ? 1) ? 2 t ? 6 t g (t ) ? 2 t ? 2 t ? 1 2 t ? 9 ? m ? 0
3 2

令 g '( t ) ? 6 t ? 6 t ? 1 2 ? 6 ( t ? t ? 2 ) ? 0 ,
2 2

求得: t ? ? 1, t ? 2 ,方程 g ( t ) ? 0 有三个根。
? g ( ? 1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 ? ? ? ? ? g (2) ? 0 ?1 6 ? 1 2 ? 2 4 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11 需: ?

故: ? 1 1 ? m ? 1 6 因此所求实数 m 的范围为: ( ? 1 1,1 6 ) 12. (江西新干中学高三期末考试) 若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是奇函数,且 f(x)极小值=f(- (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[-1,m](m>-1)上的最大值; f(x) 1 (3)设函数 g(x)= ,若不等式 g(x)· g(2k-x)≥( -k)2 在(0,2k)上恒成立,求实数 k 的 x2 k 取值范围. 解: (1)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是奇函数,则 b=d=0, 3 2 3 )=- . 3 9 (12 分)

?f /(- 33)=a+c=0 ? ? ?a=-1 ∴f /(x)=3ax2+c,则? 3 3a 3c 2 3 ?c=1 ?f(- 3 )=- 9 - 3 =- 9
故 f(x)=-x3+x;????????????4 分 (2)∵f /(x)=-3x2+1=-3(x+ ∴f(x)在(-∞,- 增函数,在[- 3 3 )(x- ) 3 3 y

3 3 ),( ,+∞)上是 3 3

3 3 , ]上是减函数, 3 3
-1

由 f(x)=0 解得 x=±1,x=0, 如图所示, 当-1<m<0 时,f(x)max=f(-1)=0; 当 0≤m< 当 m≥ 3 时,f(x)max=f(m)=-m3+m, 3



3 3

O
3 3

1

x

3 3 2 3 时,f(x)max=f( )= . 3 3 9 (-1<m<0) ?0 ?-m3+m (0≤m< 3) 3 .??????9 分 故 f(x)max=? ?2 9 3 (m≥ 33) ?

2 1 (3)g(x)= -x,令 y=2k-x,则 x、y∈R+, x ? y ? 2 k 且 2k=x+y≥2 xy ? x y ? k . x

? g(x)· g(2k-x)=( -x)( -y)=

1 x

1 y

x2+y2 1 (x+y)2-2xy 1 +xy- = +xy- , xy xy xy xy t
2

又令 t=xy,则 0<t≤k2,

F ? t ? ? 1-4k2

+t +2,t∈(0,k2]

?1 ? F ?t ? ? ? ? k ? ?k ? 在 t∈(0,k2]上恒成立, 则原命题转化为

当 1-4k2≤0 时,当

t ? 0, F ? t ? ? ??

, F(t)无最小值,不合

当 1-4k2>0 时,F(t)在(0, 1-4k2]上递减,在[ 1-4k2,+∞)上递增, 1 1 且 F(k2)=( -k)2,∴要 F(t )≥( -k)2 恒成立, k k

?k>0 ? 必须?1-4k2>0 ? ? ?k2≤ 1-4k2
故实数 k 的取值范围是(0,

?0<k<1 ? 2 , ? ? ?k2≤ 5-2
5-2 ]


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