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一类含参数的二次函数的最值问题


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第4 期  

高 中 数 学 教 与 学  

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O 学 习 导 引 O  



 

蓉   翰   画   翰   值 间 磨  
江 苏 省 张 家 港

市 沙 洲 中 学  刘 松 桃  

本 文 主 要 研 究 二 次 函 数 在 指 定 闭 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小  

值 . 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 必 有 最 大 值 和 最 小 值 , 且 最 大 ( 小 )  
值 只 能 在 闭 区 间 的 端 点 或 二 次 函 数 的 图 象 的 顶 点 处 取 得 .  

对 于 二 次 函 数 f ( z ) = a ( z — h )   + k ( a > 0 ) 在 区 间  

[ m ,   ] 上 的 最 值 问 题 , 结 合 二 次 函 数 的 图 象 性 质 , 可 得 以 下  
结 论:  

若 h ∈ [ m ,   ] , 则   f ( h ) = k , Y m ,  ̄ x = m a x { f ( 7 r / ) , f (   ) } ;  


若 h  [ m ,   j , 则   = m i n { f ( / T / ) , f ( , 2 ) } ,   ~= m a x { f (  ) , f ( , 2 ) } .  
a < 0 的 情 况 可 结 合 图 象 性 质 得 到 类 似 的 结 论 , 但 要 注  
意 此 时 图 象 是 开 口 朝 下 的 抛 物 线 .   下 面 , 我 们 运 用 以 上 知 识 , 分 三 种 情 形 来 讨 论 含 参 数 的 二   次 函 数 中 易 混 淆 的 一 类 最 值 问 题 .  




抛 物 线 开 口 方 向 确 定 , 对 称 轴 位 置 未 定  

例1  函 数 Y = f ( x ) = 一 z   + 2 a x + 1 一 a 在 闭 区 间 [ 0 ,   1 ] 上 有 最 大 值2 , 求a 值 .   ’  
解  抛 物 线 Y = f ( . 7 C ) = 一 ( z 一 倪 )   + a   一 a + 1 的 开  
口 方 向 朝 下 , 对 称 轴 为 动 直 线 . 7 C = a . 由 对 称 轴 与 区 间 的 位 置  

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2 0 0 0 年  

关 系 , 分 三 种 情 形:  

( 1 ) 当 a < 0 时 , 由   一= f ( 0 ) = 1 一 a = 2 , 得 a = 一 1 .   ( 2 ) 当 0 ≤a ≤1 时 , 由   一= f ( a ) = a   一 a + 1 = 2 ,  

得口 : L  

[ 0 1 ] , 舍 去 .  


( 3 ) 当 口 > 1 时 , 由   一= f ( 1 ) = 口 : 2 , 得口 = 2 .   综 上 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 可 知a = 一 1 或a = 2 .  

二 、 抛 物 线 开 口 方 向 不 确 定 。 对 称 轴 为 定 直 线  
例2  函 数 Y = f ( x ) =   + 2 a x + 1 ( a ≠ 0 ) 在 区 间  

[ 一 3 , 2 ] 上 有 最 大 值 4 , 求a 值 .  
解  抛 物 线Y = f ( x ) = a ( z + 1 )   + 1 一 a 的 对 称 轴  

为 定 直 线 z = 一 1 , 且 一 1 ∈ [ 一 3 , 2 ] , 由 抛 物 线 的 开 口 方 向 分  
两 种 情 形:  

( 1 ) 当a > 0 时 , 抛 物 线 开 口 向 上 , 由   一: f ( 2 ) = 8 a  

+ 1 = 4 , 得 口 = 詈 .  
( 2 ) 当 a < 0 时 , 抛 物 线 开 口 向 下 , 由   一= 厂 ( 一 1 ) = 1  


a = 4 . 得a = 一 3 .  

综 上 ( 1 ) ( 2 ) 可 知 口 = 詈 或 口 = 一 3 .  
三 、 抛 物 线 的 开 口 方 向 与 对 称 轴 位 置 都 未 确 定   例3  二 次 函 数 Y = f ( x ) =   + ( 2 a 一 1 ) z 一 3 在 区  

间 I 一 詈 , 2   l 上 的 最 大 值 为 1 , 求 口 值 .  

解   抛 物 线   = 口 ( z +  )   一 ( 2 + 口 +   ) 的 对  
称 轴 为 动 直 线 z =  一 1 且 开 口 方 向 不 确 定 , 但 该 函 数 f ( x )  

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的 最 大 值 只 可 能 在z 1 = 一  , z 2 = 2 或 z 3   一 1 @ I R  ̄ ,   分 三 种 情 况 :  

( 1 ) 令 厂 ( 一   3   1 : 1 , 得 a : 一   1 0 , 此 时 对 称 轴 为 直 线 z  
2 3
: 一 



I N 一   2 3 ∈ [ 一 号 , 2 ] , a = 一   1 0 < 0 , ? ?   一 不 可 能 在  

z 1 处 取 得, . . . a ≠ 一  .  

( 2 ) 令 厂 ( 2 ) = 1 得 a =   , 此 时 对 称 轴 为 直 线 z   一 言 ,  

因 一 { ∈ [ 一   , 2 ] 且 a =  吣 一 = , ( 2 ) 测 a   号  
适 合 题 意 .  

( 3 ) 令 , (   一 1 ) = 1 得 a =   , 要 使   一 =   厂 (   一 1 ) , 当 且 仅 当 a < O   R —   3   1 — 1 ≤ 2 时 成 立 , 经  
检 验 , 仅 当 a : 一   ( 3 + 2   ) 时 , 才 有 一 号 ≤   一 1 ≤ 2 ,  
a =_  

1 ( 3 + 2  ) 适 合 题 意
.  

‘  

综 上 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 知a :   3 或a = 一  ( 3 + 2  )
.  

以 上 三 种 情 形 似 乎 没 什 么 区 别 , 但 仔 细 观 察 发 现 , 由 于 参  

数a 的 作 用 , 二 次 函 数 的 图 象 都 处 在 不 定 的 状 态 中 , 图 象 的 性  
质 各 不 相 同 , 因 而 三 例 的 处 理 方 法 各 异 , 但 彼 此 又 有 联 系 , 其   中 第 三 种 情 况 的 处 理 方 法 具 有 一 般 性 , 读 者 可 试 着 用 此 法 去  
饵 澳 第 一 、 二 种 情 况 的 问 题 .  


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