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《数学奥林匹克专题讲座》第10讲 应用


第 10 讲 应用问题选讲 我们知道,数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的,一 方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础, 更重要的是 为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工 农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。 运用数学知识解决实际问题的基本思路是: 先将这个实际问题转化为 一个数学问题(我们称之为建立数学模型),然后解答这个

数学问题,从 而解决这个实际问题。即:

这里,建立数学模型是关键的一步。也就是说,要通过审题,将实际 问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来,将其归结到某一类型的 数学问题,然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。 一、两个量变化时,和一定的问题 两个量变化时, 两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的和始终保持不变,那 么它们的差与积之间有什么关系呢? 观察下面的表:

我们不难得出如下的规律: 两个变化着的量,如果在变化的过程中,和始终保持不变,那么它们 的差越小,积就越大。若它们能够相等,则当它们相等时,积最大。 这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例 1 农民叔叔阿根想用 20 块长 2 米、宽 1.2 米的金属网建一个靠墙 的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出,所建鸡窝的高度不得低于 2 米,要使鸡 窝面积最大,长方形的长和宽分别应是多少?

解:如上图,设长方形的长和宽分别为 x 米和 y 米,则有 x+2y=1.2×20=24。 长方形的面积为

因为 x 和 2y 的和等于 24 是一个定值, 故它们的乘积当它们相等时最 大,此时长方形面积 S 也最大。于是有 x=12, y=6。 例 2 如果将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出,那么每个的利润 是 10 元,但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价 1 元时,其销售量就 减少 10 个。为了赚得最多的利润,售价应定为多少? 解:设每个商品售价为(50+x)元,则销量为(500-10X)个。总共 可以获利 (50+x-40)×(500-10x) =10×(10+X)×(50-X)(元)。 因(10+x)+(50-x)=60 为一定值,故当 10+X=50-X 即 X=20 时, 它们的积最大。 此时,每个的销售价为 50+20=70(元)。 为了使长方体的体积最大, 例 3 若一个长方体的表面积为 54 厘米 2, 长方体的长、宽、高各应为多少厘米? 解:设长、宽、高分别为 x,y,z 厘米,体积为 V 厘米 3。 2(xy+yz+zx)=54,xy+yz+zx=27。

因为 V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx), 故当 xy=yz=zx 即 x=y=z=3 时,V2 有最大值,从而 V 也有最大值。 例 4 有一块长 24 厘米的正方形厚纸片,在它的四个角各剪去一个小 正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸盒容积最大,剪 去的小正方形的边长应为几厘米?

解:如上图,设剪去的小正方形的边长为 x 厘米,则纸盒的容积为 V=x(24-2x)(24-2x) =2×2x(12-x)(12-x)。 因为 2x+(12-x)+(12-x)=24 是一个定值,故当 2x=12-x=12-x, 即 x=4 时,其乘积最大,从而纸盒的容积也最大。 二、两个量变化时,积一定的问题 两个量变化时, 两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变, 那么它们的差与和之间有什么关系呢? 观察下面的表:

我们不难得出如下的规律:

两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它 们的差越小,和就越小。若它们能够相等,则当它们相等时,和最小。 例 5 长方形的面积为 144 cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周 长最短? 解:设长方形的长和宽分别为 xcm 和 ycm,则有 xy=144。 故当 x=y=12 时,x+y 有最小值,从而长方形周长 2(x+y)也有最小 值。 例 6 用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是 216cm3,长方体的长、宽、高各是多少厘米时,所用的铁丝长度最短? 解:设长方体的长、宽、高分别为 xcm,ycm,zcm,则有 xyz=216。 铁丝长度的和为 4(x+ y+ z),故当 x=y=z=6 时,所用铁丝最短。 例 7 农场计划挖一个面积为 432 m2 的长方形养鱼池,鱼池周围两侧 分别有 3m 和 4m 的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽 应为多少?

解:如图所示,设水池的长和宽分别为 xm 和 ym,则有 xy=432。 占地总面积为 S=(x+6)(y+8)cm2。于是 S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。 我们知道 6y ×8X=48×432 为一定值,故当 6y=8X 时,S 最小,此时 有 6y=8X=144,故 y=24,x=18。 例 8 某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张 240 元,使用规定:不记 名,每卡每次只限一人,每人只限一次。某班有 48 名学生,老师打算组 织学生集体去游泳, 除需购买若干张游泳卡外, 每次游泳还需包一辆汽车, 无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为 40 元。若要使每个同学游 8 次, 每人最少交多少钱? 解:设一共买了 X 张卡,一共去游泳 y 次,则共有

Xy=48×8=384(人次), 总用费为(240x+40y)元。 因为 240x ×40y=240×40×384 是一定值,故当 240x=40y,即 y=6x 时,和最小。易求得 x=8,y=48。此时总用费为 240×8+40×48=3840(元), 平均每人最少交 3840÷48=80(元)。 三、利用不等关系来解答的应用题 例 9 某公司在 A,B 两地分别库存有某机器 16 台和 12 台,现要运往 甲、乙两家客户的所在地,其中甲方 15 台,乙方 13 台。已知从 A 地运一 台到甲方的运费为 500 元,到乙方的运费为 400 元,从 B 地运一台到甲方 的运费为 300 元,到乙方的运费为 600 元。已知运费由公司承担,公司应 设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省? 解:设由 A 地运往甲方 x 台,则 A 地运往乙方(16-x)台,B 地运往 甲方(15-x)台,B 地运往乙方(x-3)台。于是总运价为: S=500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3) =400x+9100。 显然, 要满足不等式 3≤x≤15, x 于是当 x=3 时, 总运价最省, 400 为 × 3+ 9100=10300(元)。 调运方案为:由 A 地运往甲方 3 台,A 地运往乙方 13 台,B 地运往甲 方 12 台,B 地运往乙方 0 台。 例 10 某校决定出版“作文集”,费用是 30 册以内为 80 元,超过 30 册的每册增加 1.20 元。当印刷多少册以上时,每册费用在 1.50 元以内? 解:显然印刷的册数应该大于 30。设印刷了(30+x)册,于是总用 费为(80+1.2x)元。故有 80+1.2x≤1.5 ×(30+x),

以内。

第一种含铜 60%, 含锰 40%; 第二种含锰 10%, 例 11 现有三种合金: 含镍 90%;第三种含铜 20%,含锰 50%,含镍 30%。现各取适当数量的 这三种合金,组成一块含镍 45%的新合金,重量为 1 千克。 (1)求新合金中第二种合金的重量的范围; (2)求新合金中含锰的重量的范围。 解:设第一种合金用量为 x 千克,第二种合金用量为 y 千克,第三种 合金用量为 z 千克,依题意有

(1)如果不取第一种合金,即 x=0,那么新合金中第二种合金重量 最小。解得 y=0.25。 如果不取第三种合金,即 z=0,那么新合金中第二种合金重量最大。 解得 y=0.5。 新合金中第二种合金的重量范围是 0.25 克到 0.5 克。 (2)由①②可得 z=1.5-3y,x=2y-0.5。故新合金中含锰的重量为 S=40%x+10%y+50%z =40%(2y-0.5)+10%y+50%(1.5-3y) =0.55-0.6y。 因为 0.25≤y≤0.5,所以 0.25≤S≤0.4,即新合金中含锰的重量范 围是 0.25 克到 0.4 克。 例 12 某商店需要制作如下图所示的工字形架 100 个,每个由三根长 为 2.3 米、1.7 米、1.3 米的铝合金材料组装而成。市场上可购得该铝合 金材料的原料长为 6.3 米。问:至少要买回多少根原材料,才能满足要求 (不计损耗)?

解:每根原材料的切割有下表的七种情况:

显然,④⑤⑥三种方案损耗较小。④⑤⑥⑦方案依次切割原材料 42 根、14 根、29 根、1 根,可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各 100 根, 共用原材料 42+14+29+1=86(根)。
练习 10

1.销售某种西服,当每件售价为 100 元时可售出 1000 件。如果定价 每下降 1%,那么销售量将提高 0.5%,又知道这批西服是每件 80 元成本 购进的。问:应如何定价才能使获利最大? 2.下图是一个面积为 4m2 的窗户,当 a∶b 的值是多少时,窗户的框 架所用的材料最省?

3.有一个长为 80cm、宽为 40cm 的木板,要以它为原材料做一个无 盖的木盒,应该如何制作才能使木盒的容积最大?最大的容积是多少? 4. 某厂要建造一个无盖的露天水槽, 其底为正方形, 容量为 64000m3。 在建造时,槽底的造价是四壁的 2 倍,这个水槽的底面边长和高的比例是 多少时,造价最省? 5.A 城有化肥 200 吨,B 城有化肥 300 吨,现要将化肥运往 C,D 两村。已知从 A 城运往 C,D 两村的运价分别是每吨 20 元和 25 元,从 B 城运往 C,D 两村的运价分别是每吨 15 元和 22 元。某个体户承包了这项 运输任务,请你帮他算一算,如何调运才能使运费最省? 6.有两个学生参加 4 次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低 于 90 分的整数。他们又参加了第 5 次测验,这样 5 次的平均分数都提高 到了 90 分,求第 5 次测验二人的得分(满分为 100 分)。

7.某机械厂要把一批长 7300 毫米的钢筋截成长 290 毫米、210 毫米 和 150 毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做 100 套钢筋架子,至 少要用去长为 7300 毫米的钢筋多少根? 8.下表所示为 X,Y,Z 三种食品原料的维生素含量(单位:单位/ 千克)及成本:

现在要将三种食物混合成 100 千克的混合物,要求混合物至少需含 44000 单位的维生素 A 及 48000 单位的维生素 B0 如果所用的食物中 x, Y, Z 的重量依次为 X 千克、y 千克、Z 千克,那么请定出 X,y,Z 的值,使 得成本为最少。 练习 10 1.91 元。 解:设定价为每件(100-x)元,则销售量为 1000(1+0.5%x)件。 利润为 (100-x-80)×1000(1+0.5%x) =500×(20-x)(2+x)。 因为(20-x)+(2+x)=22 为一定值,故当 20-x=2+x 即 x=9 时利润 最高。此时每件定价为 100-9=91(元)。 2.2∶3。 解:窗户的框架长为 3a+2b,而 ab=4 是一个定值,从而 3a× 2b=6ab=24 也是一个定值, 故当 3a=2b 即 a∶b=2∶3 时窗户框架所用材料 最省。 3.32000cm
3

解:设木盒的长、宽、高分别为 xcm,ycm,zcm,则它的容积为 V=xyzcm 。因为
3

xy+2xz+2yz=40×80=3200

为一定值,故它们的积 xy×2xz×2yz=4(xyz) =4V ,
2 2

在 xy=2xz=2yz 时最大,从而 V 也最大,此时有 x=y=2z。经计算得 x=40,y=40,z=20。 具体制作方式如下:先取原木板的一半(40cm×40cm)作为木盒的 底面,再将剩下的一半分成 20 cm×40 cm 大小的四等份,每份作为木盒 的一个侧面就可以了。 4.1∶1。 解:设四壁的造价是 a 元/m ,则底面造价为 2a 元/m 。又设其底面边 长为 xm,高为 ym,则有
2 2

x y=64000。
2

总造价为
a×4xy+2a×x2

=2a(2xy+x )=2a(xy+xy+x )。
2 2

因为 xy×xy×x = y)=64000 为一定值, (x 故当 xy=xy=x 即 x∶y=1∶ 1 时,总造价最省。
2 2 2 2 2

5.解:设 A 城化肥运往 C 村 x 吨,则运往 D 村(200-x)吨;B 城化 肥运往 C 村(220-x)吨,运往 D 村(80+x)吨,总运费 y 元,则 y=20x+25(200-x)+15(220-x)+22(80+x) =2x+10060。 又易知 0≤x≤200,故当 x=0 时,运费最省,为 10060 元。 运输方案如下:A 城化肥运往 C 村 0 吨,运往 D 村 200 吨;B 城化 肥运往 C 村 220 吨,运往 D 村 80 吨。 6.98,94。 解:设某一学生前 4 次的平均分为 x 分,第 5 次的得分为 y 分,则其 5 次总分为 4x+y=5×90=450。

于是 y=450-4x。显然 90<y≤100,故 90<450-4x≤100, 解得 87.5≤x<90。于是两个学生前 4 次的平均分分别为 88 分和 89 分。第 5 次得分分别为 450-4×88=98(分)和 450-4×89=94(分)。 7.90 根。 解:每一根 7300 毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法: 290×2+150×1=7300, ① 210×2+150×2=7200, ② 210×2+290×2=7100。 ③ 设按方案①截得的钢筋有 x 根,按方案②截得的钢筋有 y 根,按方 案③截得的钢筋有 z 根,则长为 290,210,150 毫米各有 100 根,即 2x+z=x+2y=2y+2z=100。 于是 x=40,y=30,z=20。一共至少用去长为 7300 毫米的钢筋 90 根。 8. 30,20, 50。 解:x+y+z=100, ① 400x+600y+400z≥44000, ② 800x+200y+400z≥48000。 ③ 由②得 2x+3y+2z≥220。 ④ 由③得 4x+y+2z≥240。 ⑤ 由④-①×2,得 y≥20。由⑤-①×2,得 2x-y≥40。 由①得 z=100-x-y。 成本为 6x+5y+4z =6x+5y+4(100-x-y) =400+2x+y

=400+2y+(2x-y)≥400+40+40=480。


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