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2015届高考数学大一轮复习 古典概型与几何概型精品试题 理(含2014模拟试题)


2015 届高考数学大一轮复习 古典概型与几何概型精品试题 理(含 2014 模拟试题)
1. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,9) 向边长 分别为 的概率为( 的三角形区域内随机投一点 ) ,则该点 与三角形三个顶点距离都大于 1

A.

B.

C.

D.

[解析] 1.

设△ABC 的三边 AB=5,BC=6,AC=

. 根据余弦定理可得

,又因为∠B∈(0,π ),所以

. 所以△ABC 的面积为

. 而在△ABC 的内部且离点 A 距离小于等于 1 的点构成的区域的面积为

, 同理可得在△ABC 的内部且离点 B、 C 距离小于等 于 1 的点构成的区域的面积分别





,所以在△ABC 内部,且与三角形三个顶点距离都大于 1 的平面区域

的面积为

,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为

. 2. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),3) 利用计算机产生 0~1 之间 的均匀随机数 , 则使关于 的一元二次方程 无实根的概率为( )

1

[解析] 2.



,故

,选 C .

3. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,8) 假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机 会均等地进入同一部手机, 若这两条短信进入手机的时间之差小于 2 秒, 手机就会收到干扰, 则手机收到干扰的概率为( )

A.

B.

C.

D.

[解析] 3.

设两条短信进入手机的时间分别为 、

,则

,作平面区域

,如图,由几何概型知,手机受到干扰的概率为

.

4. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数

, 则

2

0≤

≤2 的概率是(



A.

B.

C.

D.

[解析] 4.:如图,

.

5. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试, 10) 在二项式

的展开式

中只有第五项的二项式系数最大, 把展开式中所有的项重新排成一列, 则有理项都互不相邻 的概率为( )

A.

B.

C.

D.

3

[解析] 5.

因为展开式中只有第五项的二项式系数最大,所以

,其通项公式为

,当

时,项为有理项,

展开式的 9 项全排列为

种,,所有的有理项互不相邻可把 6 个无理项全排,把 3 个有理 ,

项插入形成的 7 个空中,有

所以有理项互不相邻的概率为

.

6.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,6)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,18 的 18 名火炬手. 若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为 公差的等差数列的概率为( )

A.

B.

C.

D.

[解析] 6.

从 18 个选手中任选 3 人的选法有

种选法,由数字 1,2,3,?,18 构成

的以 3 为公差的等差数列其等差中项只能是 4、5、?. 、15,每个等差中项对应 1 个等差

数列,所以以 3 为公差的等差数列共有:12 个,所以所求概率为

.

7.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,9)将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它 落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为 12 的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

[解析] 7. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情况有公差为 0:有 6 种情况;公 差为 1 的有 4×2=8个;公差为 2 的有:2×2=4 个,而满足这三次抛掷向上的点数之和为 12 的有:(3,4, 5)、(5,4, 3)、(4,4, 4)、(2,4, 6)、(6,4, 2)共 5 个,根据古典

概型的概率计算可得所求概率为

.

4

8. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,7) 设点( 机点,函数 在区间[

)是区域 (

内的随 )

)上是增函数的概率为

A.

B.

C.

D.

[解析] 8.

表示的区域的面积为 在区间[ )

. 函数

上是增函数,则

,所以概率

. 选 C.

9.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试,8) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合),且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点 分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点,记该点取自于几 何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 P,当点 E,F 分别在棱 A1B1,BB1 上运动且满足 EF=a 时,则 P 的最小值为

[解析] 9.

根据几何概型,

5

= ,

=

=

其中“=” 当且仅当

时成立. 故选 D.

10.(2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 5) 小波通过做游戏的方式来确定周末活 动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离小

于 ,则周末去踢球,否则去图书馆. 则小波周末去图书馆的概率是(



A.

B.

C.

D.

[解析] 10.

圆的面积为 ,点到圆心的距离小于 的面积为 ,所以点到圆心的距离大于

的面积为

,由几何概型小波周末去图书馆的概率为

. 的边长为 4,

11. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 8) 已知菱形

,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率()

A.

B.

C.

D.

[解析] 11.如右图,阴影部分 M 即为点到菱形四个顶点的距离大于 1 的点的集合,空白部分 是半径为的圆,所以 .

6

12. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是 ( )

①对于命题 ② 是直线

,则 与直线

,均有 互相垂直的充要条件

③ 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23, 样本点的中心为(4,5) , 则回归直线方程为 = 1.23x+0.08

④若实数

,则满足

的概率为

⑤ 曲线 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5



所围成图形的面积是

[解析] 12. ①错误;

对①,因为命题

,则

,均有

,故

对②, 由于直线 对③,设线性回归方程为 得 , 回归直线方程为

与直线

垂直的充要条件是 满足方程,则

或 0, 故②错误; ,解

,由于样本点的坐标 ,故③正确;

对④,有几何概型知,所求概率为

,故④错误;

对⑤,曲线



所围成图形的面积是

,正确.

7

故正确的是③



,共 2 个.

13. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 福彩 3D 是由 3 个 0~9 的自然数组成投注号码的彩票, 耀摇奖时使用 3 台摇奖器,各自独立、等可能的随机摇出一个彩球,组成一个 3 位数,构成 中奖号码,下图是近期的中奖号码(如 197,244, 460 等),那么在下期摇奖时个位上出现 3 的可能性为( )

[解析] 13.

古典概型. 依题意,个位上的数字由 10 种情况,个位上的数去 3 只有一种 ,即个位 上出现 3 的可能性是 10%.

情况,故所求的概率

14.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,13) (原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山, 他们约定周日早上 8 点至 9 点之间 (假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达) 在华 岩寺正大门前集中前往,则他们中先到者等待的时间不超过 15 分钟的概率 是 (用数字作答)。

[ 解析] 14.

设小钟和小薛分别在 8 点后 x、y 分钟后到达华岩寺正大门,则



等待时间|x-y|≤15,根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为

.

15. (2014 福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为 1 的正方形 一点 , 则点 恰好取自阴影部分的概率为 .

中任取

8

[解析] 15.

依题意,阴影部分面积





故所求的概率为

.

16. (2014 广东广州高三调研测试,11) 如图,设 内函数 _______. 图象下方的点构成的区域. 在

是图中边长为 4 的正方形区域, 是 中的概率为

内随机取一点,则该点落在

[解析] 16.

由已知及图像可得;阴影部分面积为

,所以概率为

. 17.(2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学(理)试题,14)如图,茎叶图表示甲、乙两名 篮球运动员在五场比赛中的得分, 其中一个数字被污损, 则甲的平均得分不超过乙的平均得 分的概率为 .

9

[解析] 17.

设被污损的数字为 x(

). 甲的平均分为

,乙的平均分为

,解得



所以 x 可以取 3、4、5、6、7、8、9 共 7 个数值,所以所求概率为

.

18.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,11)记集合 和集合 内任取一点 ,则点 落在区域 表示的平面区域分别为 的概率为 . 和 ,若在区域

[解析] 18.

平面区域

的面积为

, 平面区域

是由点 O(0, 0) 、 A(2, 0) 、

B(0,2) 构成的三角形内部及其边界,其面积为

,根据几何概型的概率计算公

式可得所求概率为

.

19.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,13) 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫 芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.己知铜钱是直径为 4cm 的圆面,中间有边长为。lcm 的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱 内) , 则油滴整体 (油滴是直径为 0. 2cm 的球) 正好落入孔中的概率是 (不 作近似计算). [解析] 19. 心,半径为 随机向铜钱上滴一滴油,且油滴整体落在铜钱内,则油滴在以圆面圆心为圆 的圆内,即 ,若油滴整体正好落入孔中,则油滴在与正方形孔

距离为

正方形内,即

,所求概率是 的边

. 上随机取一点 , 记 和

20.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 4) 在

10

的面积分别为 和 ,则

的概率是





[解析] 20.

由题意,设

边上的高为 ,则









的概率

. 内

21. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测, 15) 设⊙O 为不等边 的外接圆, 角 , , 所对边的长分别为 , , , 是 所在平面内的一点,且满足 ( 与 不重合), 下列命题: ①若 , ,则点 在平面 上的射影恰在直线 上; 为 所在平面外一点,

. 有

②若

,则



③若



,则



④若

, 则 在

内部的概率为





分别表示

与圆 的面积) .

其中不正确的命题有

(写出所有不正确命题的序号).

[解析] 21.

,

,

, ,即 , , 点 在平面 , 是 为 是 在平面 的平分线, 上的射影是



的外心 ,

是不等边三角形, 上的射影恰在直线 弧的中点, 上的射影, 上不正确,故①错误; , ,

在平面

11

,故②正确;

由于 分线,且 若

,则点 在圆内, 经过点 ,与 , 是

,则

为直径,若

,则



的角平

是不等边三角形矛盾,故③不正确; 在 内部的概率应该为长度的测度, 故④不正确.

的平分线,

故不正确的为 ①③④.

22. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,14) 已知 为 .

,则

的概率

[解析] 22.



,则



,由几何概型公式,所求的概率

. 23.(2014 广州高三调研测试, 11) 如图 3,设 是图中边长为 4 的正方形区域, 是 内函 数 为 图象下方的点构成的区域.在 内随机取一点,则该点落在 中的概率 .

[解析] 23.

依题意,正方形的面积

,阴影部分的面积



故所求的概率为

.

24.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,18)一个口袋中装有大小

12

形状完全相同的

个乒乓球,其中 1 个乒乓球上标有数字 1,

2 个乒乓球上标有数字 2,其余 个乒乓球上均标有数字 3(

), 若从这个口袋中随

机地摸出 2 个乒乓球,恰有一个乒乓球上标有数字 2 的概率是 (1)求 的值;

.

(2) 从口袋中随机地摸出 2 个乒乓球, 设 表示所摸到的 2 个乒乓球上所标数字之积, 求 的分布列和数学期望 .

[解析] 24.

(1) 由题设

,即

,解得

?????????4 分

(2)

取值为 2,3,4, 6,9.

的分布列 为:

2

3 4

6

9

=

?????????12 分

13

25.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,17)某企业招聘工作人员, 设置 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊

、 、

五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 试.已

组测试,丙、丁两人各自独立参加

组测

知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 加

,丙、丁两人各自通过测试的概率均为

.戊参

组测试, 题 则竞聘成功.

组共有 6 道试题,戊会其中 4 题. 戊只能且必须选择 4 题作答,至少答对 3

(Ⅰ)求戊竞聘成功的概率;

(Ⅱ)求参加

组测试通过的人数多于参加

组测试通过的人数的概率;

(Ⅲ)记 [解析] 25.



组测试通过的总人数为 ,求 的分布列和期望. (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

????3 分

(Ⅱ)设“参加

组测试通过的人数多于参加

组测试通过的人数” 为 B 事件

????6 分

(Ⅲ) 可取 0,1,2,3,4

14

0 P

1

2

3

4

????12 分 26.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,18)前不久,省社科院发布了 2013 年度“城 市居民幸福排行榜” ,某市成为本年度城市最“幸福城”. 随后,某校学生会组织部分同 学, 用“10 分制” 随机调查“阳光” 社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取 16 名, 如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位 数字为叶) : (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福” 的概率; (3) 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据, 若从该社区(人数很多) 任选 3 人, 记 表示抽到“极幸福” 的人数,求 的分布列及数学期望.

[解析] 26.(1)众数:8.6;

中位数:8.75 ;???????????2 分

(2) 设

表示所取 3 人中有 个人是“极幸福” , 至多有 1 人是“极幸福” 记为事件







???????6 分

(3) 的可能取值为 0,1,2,3.





15



??.. ?????.. 10 分

所以 的分布列为:

.

???.. ???. ?12 分

另解: 的可能取值为 0,1,2,3. 则



.

所以

=



27. (本题满分 12 分)某英语学习小组共 12 名同学进行英语听力测试,随机抽取 6 名同学 的测试成绩(单位:分),用茎叶图记录如下,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2) 成绩高于样本均值的同学为优秀,根据茎叶图估计该小组 12 名同学中有几名优秀同 学; (3)从该小组 12 名同学中任取 2 人,求仅有 1 人是来自随机抽取 6 人中优秀同学的概率.

[解析] 27.(1)由题意可知, 样本均值 (2) 样本中成绩高于样本均值的同学共有 2 名,

. (3 分)

可以估计该小组 12 名同学中优秀同学的人数为:

. (7 分)

16

(3) 从该小组 12 名同学中, 任取 2 人有

种方法,

而恰有 1 名优秀同学有

所求的概率为:

.

(12 分) 答案和解析

理数 [答案] 1. A

[解析] 1.

设△ABC 的三边 AB=5,BC=6,AC=

. 根据余弦定理可得

,又因为∠B∈(0,π ),所以

. 所以△ABC 的面积为

. 而在△ABC 的内部且离点 A 距离小于等于 1 的点构成的区域的面积为

,同理可得在△ABC 的内部且离点 B、C 距离小于等于 1 的点构成的区域的面积分别





,所以在△ABC 内部,且与三角形三个顶点距离都大于 1 的平面区域

的面积为

,根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为

. [答案] 2. C

[解析] 2. [答案] 3.

由 C

,故

,选 C .

17

[解析] 3.

设两条短信进入手机的时间分别为 、

,则

,作平 面区域

,如图,由几何概型知,手机受到干扰的概率为

.

[答案] 4.C

[解析] 4.:如图,

.

[答案] 5.

D

[解析] 5.

因为展开式中只有第五项的二项式系数最大,所以

,其通项公式为

,当

时,项为有理项,

展开式的 9 项全排列为

种,,所有的有理项互不相邻可把 6 个无理项全排,把 3 个有理

18

项插入形成的 7 个空中,有



所以有理项互不相邻的概率为 [答案] 6. D

.

[解析] 6.

从 18 个选手中任选 3 人的选法有

种选法,由数字 1,2,3,?,18 构成

的以 3 为公差的等差数列其等差中项只能是 4、5、?. 、15,每个等差中项对应 1 个等差

数列,所以以 3 为公差的等差数列共有:12 个,所以所求概率为 [答案] 7. A

.

[解析] 7. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情况有公差为 0:有 6 种情况;公 差为 1 的有 4×2=8 个;公差为 2 的有:2×2=4 个,而满足这三次抛掷向上的点数之和为 12 的有:(3,4, 5)、(5,4, 3)、(4,4, 4)、(2,4, 6)、(6,4, 2)共 5 个,根据古典

概型的概率计算可得所求概率为 [答案] 8. C

.

[解析] 8.

表示的区域的面积为 在区间[ )

. 函数

上是增函数,则 [答案] 9. [解析] 9. D 根据几何概型,

,所以概率

. 选 C.

19

= ,

=

=

其中“=” 当且仅当 [答 案] 10. B

时成立. 故选 D.

[解析] 10.

圆的面积为 ,点到圆心的距离小于 的面积为 ,所以点到圆心的距离大

于 的面积为 [答案] 11.D

,由几何概型小波周末去图书馆的概率为

.

[解析] 11.如右图,阴影部分 M 即为点到菱形四个顶点的距离大于 1 的点的集合,空白部分 是半径为的圆,所以 .

[答案] 12.

A

[解析] 12. ①错误;

对①,因为命题

,则

,均有

,故

对②, 由于直线 对③,设线性回归方程为 得 , 回归直线方程为

与直线

垂直的充要条件是 满足方程,则

或 0, 故②错误; ,解

,由于样本点的坐标 ,故③正确;

对④,有几何概型知,所求概率为

,故④错误;

对⑤,曲线



所围成图形的面积是

,正确.

20

故正确的是③ [答案] 13. A [解析] 13.



,共 2 个.

古典概型. 依题意,个位上的数字由 10 种情况,个位上的数去 3 只有一种 ,即个位上出现 3 的可能性是 10%.

情况,故所求的概率

[答案] 14.13 答案

[解析] 14.

设小钟和小薛分别在 8 点后 x、y 分钟后到达华岩寺正大门,则



等待时间|x-y|≤15,根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为

.

[答案] 15.

[解析] 15.

依题意,阴影部分面积





故所求的概率为

.

[答案] 16.

[解析] 16.

由已知及图像可得;阴影部分面积为

,所以概率为

.

21

[答案] 17.

[解析] 17.

设被污损的数字为 x(

). 甲的平均分为

,乙的平均分为

,解得



所以 x 可以取 3、4、5、6、7、8 、9 共 7 个数值,所以所求概率为

.

[答案] 18.

[解析] 18.

平面区域

的面积为

, 平面区域

是由点 O(0, 0) 、 A(2, 0) 、

B(0,2) 构成的三角形内部及其边界,其面积为

,根据几何概型的概率计算公

式可得所求概率为

.

[答案] 19. [解析] 19. 心,半径为 随机向铜钱上滴一滴油,且油滴整体落在铜钱内,则油滴在以圆面圆心为圆 的圆内,即 ,若油滴整体正好落入孔中,则油滴在与正方形孔

距离为

正方形内,即

,所求概率是

.

[答案] 20.

[解析] 20.

由题意,设

边上的高为 ,则









的概率

.

22

[答案] 21.

①③④

[解析] 21.

,

,

, ,即 , , 点 在平面 , 是 为 是 在平面 的平分线, 上的射影是



的外心 ,

是不等边三角形, 上的射影恰在直线 弧的中点, 上的射影, 上不正确,故①错误; , ,

在平面

,故②正确;

由于 分线,且 若

,则点 在圆内, 经过点 ,与 , 是

,则

为直径,若

,则



的角平

是不等边三角形矛盾,故③不正确; 在 内部的概率应该为长度的测度, 故④不正确.

的平分线,

故不正确的为 ①③④.

[答案] 22.

[解析] 22.



,则



,由几何概型公式,所求的概率

.

[答案] 23.

23

[解析] 23.

依题意,正方形的面积

,阴影部分的面积



故所求的概率为 [答案] 24.查看解析

.

[解析] 24.

(1) 由题设

,即

,解得

?????????4 分

(2)

取值为 2,3,4, 6,9.

的分布列 为:

2

3 4

6

9

= [答案] 25.查看解析 [解析] 25. (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

?????????12 分

????3 分

24

(Ⅱ)设“参加

组测试通过的人数多于参加

组测试通过的人数” 为 B 事件

????6 分

(Ⅲ) 可取 0,1,2,3,4

0 P

1

2

3

4

????12 分 [答案] 26.查看解析 [解析] 26.(1)众数:8.6; 中位数:8.75 ;???????????2 分

(2) 设

表示所取 3 人中有 个人是“极幸福” , 至多有 1 人是“极幸福” 记为事件







???????6 分

(3) 的可能取值为 0,1,2,3.







??.. ?????.. 10 分

所以 的分布列为:

25

.

???.. ???. ?12 分

另解: 的可能取值为 0,1,2,3. 则



.

所以

=



[答案] 27.查看解析

[解析] 27.(1)由题意可知, 样本均值 (2) 样本中成绩高于样本均值的同学共有 2 名,

. (3 分)

可以估计该小组 12 名同学中优秀同学的人数为:

. (7 分)

(3) 从该小组 12 名同学中, 任取 2 人有

种方法,

而恰有 1 名优秀同学有

所求的概率为:

.

(12 分)

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