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2015届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列创新题的基本类型及求解策略


数列创新题的基本类型及求解策略
高考创新题,向来是高考试题中最为亮丽的风景线.这类问题着重考查观察发现,类比转化 以及运用数学知识,分析和解决数学问题的能力.当然数列创新题是高考创新题重点考查的 一种类型.下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略. 一、创新定义型
? 例 1.已知数列 {an } 满足 an ? log n ?1 (n ? 2) ( n ?

N ) ,定义使 a1 ? a2 ? a3 ?

? ak 为整数的数叫做

企盼数,则区间 [1, 2005] 内所有的企盼数的和 M ? ________.
? 解:∵ an ? log n ?1 (n ? 2) ( n ? N ) ,∴ a1a2 a3 ......ak ? log 2 3 ? log 3 4 ?

? log k ?1 (k ? 2) ? log 2 (k ? 2) .

要使 log 2 (k ? 2) 为正整数,可设 k (n) ? 2 ? 2 令 1≤ 2
n ?1

n ?1

,即 k (n) ? 2

n ?1

? 2 ( n ? N? ) .

? 2 ≤ 2005 ? 1 ≤ n ≤ 9 ( n ? N? ) .

则区间 [1, 2005] 内所有企盼数的和
M ? ? k (n) ? ? (2n ?1 ? 2) ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? (2 4 ? 2) ? ....... ? (210 ? 2)
n ?1 n ?1 9 9

? (22 ? 23 ? 24 ? ....... ? 210 ) ? 2 ? 9 ?
∴ M ? 2056 .

22 (29 ? 1) ? 18 ? 2056 2 ?1 ,

评析: 准确理解企盼数的定义是求解关键.解题时应将阅读信息与所学知识结合起来,侧重考查信 息加工能力. 二、性质探求型
?n n ? 1, 2, 3, 4, 5, 6 an ? ? n≥7 ??an ? 3 例 2.已知数列 {an } 满足 ,则 a2005 ? ______.

解:由 an ? ?an ? 3 , n ≥ 7 知, an ? 6 ? ?an ? 3 ? an . 从而当 n ≥ 6 时,有 an ? an ? 6 ,于是知 a2005 ? a334?6 ?1 ? a1 ? 1 . 评析: 本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质, 从而达到化归转化解决问题的目的. 其 中性质探求是关键. 三、知识关联型

x2 y 2 ? ?1 6 例 3.设是椭圆 7 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi (i ? 1, 2, 3,

) ,使

PF1 , PF2 , PF3 ,

组成公差为的等差数列,则的取值范围为_______.
-1-

PF i

解析: 由椭圆第二定义知 的距离即
FP 7 ?1 1 ?

? PP i i

?e

? ? PF ? e PP i i i

, 这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点
PF21 ? 7 ? 1

,最大值为右焦点到左顶点的距离即
n?

,故若公差 d ? 0 ,

则 7 ? 1 ? 7 ? 1 ? (n ? 1)d ,∴ 1 ? ≤d ? 0 10 .

2 1 ? 1≥ 21 0?d≤ d 10 ,∴ .同理,若公差 d ? 0 ,则可求得

评析: 本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起,形式新颖,内容深遂,有一定的难度,可 见命题设计者的良苦用心.解决的关键是确定该数列的最大项、最小项,然后根据数列的通 项公求出公差的取值范围. 四、类比联想型 a ? a2 ? a3 ? ? an bn ? 1 ? { a }( n ? N ) (n ? N? ) 也是等差数 n 例 4.若数列 n 是等差数列,则有数列 列;类比上述性质,相应地:若数列 {cn } 是等比数列,且 cn ? 0 ,则有数列 d n ? _______也是 等比数列. 解析:由已知“等差数列前 n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前 n 项的几何 平均值也应该是等比数列”不难得到
d n ? n c1c2 c3 cn

也是等比数列.

评析: 本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口. 五、规律发现型 例 5.将自然数 1, 2, 3, 4, 排成数陈(如右图) ,在处转第一个弯,在转第二个弯,在转第

三个弯,…. ,则第 2005 个转弯处的数为____________.
21―22 ―23―24―25-26 | | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13

解:观察由起每一个转弯时递增的数字可发现为“ 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 转弯处的数为: 1 ? 2(1 ? 2 ? 3 ?
? 1002) ? 1003 ? 1006010 .

”.故在第 2005 个

评析: 本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现.具体解题时需要较强的观察能力及快

-2-

速探求规律的能力.因此,它在高考中具有较强的选拔功能. 六、图表信息型 例 6.下表给出一个“等差数阵”: ( ( ( ( ……
ai1

) ( ) ( ) ( ) ( ……
ai 4

) ( ) ( ) ( ) ( ……
ai 5

) …… ) …… ) …… ) …… …… …… ……

a1 j a2 j a3 j a4 j

…… …… …… …… …… …… ……

) ( ) ( ……
ai 2

) ( ) ( ……
ai 3

……
aij

……

……

……
aij

……

……

……

其中每行、每列都是等差数列, ⑴写出 a45 的值; ⑵写出
aij

表示位于第行第 j 列的数.

的计算公式;

⑶证明:正整数在该等差数列阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是的正整数之积. 解:⑴ a45 ? 49 (详见第二问一般性结论) . ⑵该等差数阵的 第一行是首项为,公差为的等差数列: 第二行是首项为,公差为的等差数列:
a1 j ? 4 ? 3( j ? 1) a2 j ? 7 ? 5( j ? 1)

; ,……,

第行是首项为 4 ? 3(i ? 1) ,公差为 2i ? 1 的等差数列, 因此
aij ? 4 ? 3(i ? 1) ? (2i ? 1)( j ? 1) ? 2ij ? i ? j ? i (2 j ? 1) ? j



⑶必要性:若在该等差数阵中,则存在正整数 i , j 使得 N ? i (2 j ? 1) ? j , 从而 2 N ? 1 ? 2i (2 j ? 1) ? 2 j ? 1 ? (2i ? 1)(2 j ? 1) . 即正整数 2 N ? 1 可以分解成两个不是的正整数之积. 充分性:若 2 N ? 1 可以分解成两个不是的正整数之积,由于 2 N ? 1 是奇数,则它必为两个不是 的奇数之积,即存在正整数 k,l,使得 2 N ? 1 ? (2k ? 1)(2l ? 1) ,从而 N ? k (2l ? 1) ? l ? akl 可见
-3-

在该等差数阵中. 综上所述,正整数在该等差数阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是的正整数之积. 评析: 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题 的能力.求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式. 七、“杨辉三角”型 例 7.如图是一个类似“杨辉三角”的图形,第行共有个数,且该行的第一个数和最后一个数都 是 , 中 间 任 意 一 个 数 都 等 于 第 n ?1 行 与 之 相 邻 的 两 个 数 的 和 ,

an,1 , an,2 , .......an, n (n ? 1, 2, 3,


)

分别表示第行的第一个数,第二个数,…….第个数.

an,2 (n ≥ 2

且 n ? N) 的通项式.
2

1 2 3 4 5 11 7 14 4 7 3 4 11 5

............................................

解:由图易知

a2,2 ? 2, a3,2 ? 4, a4,2 ? 7 , a5,2 ? 11,

从而知

{an,2 }

是一阶等差数列,即

a3,2 ? a2,2 ? 2......(1) a4,2 ? a3,2 ? 3......(2) a5,2 ? a4,2 ? 4......(3) ............................... an,2 ? a( n ?1),2 ? n ? 1.......(n ? 1)

以上 n ? 1 个式相加即可得到:
an,2 ? a2,2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ....... ? (n ? 1) ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? an,2 ? ?2 2 2



an,2 ?

n2 ? n ? 2 (n ≥ 2 且 n ? N) 2

评析: “杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题. 求解这类题目的关键是仔细观察各行 项与行列式的对应关系,通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结合求和方法来求解.有兴 趣的同学不妨求出
aij (i , j ? N?

且 i ≥ j ) 的通项式.

八、阅读理解型 例 8.电子计算机中使用二进制,它与十进制的换算关系如下表: 十进制 二进制
100 101 110

…… ……
-4-

观察二进制位数,位数,位数时,对应的十进制的数,当二进制为位数能表示十进制中最大 的数是 . 解:通过阅读,不难发现:

1 ? 1 ? 20 , 2 ? 0 ? 20 ? 1 ? 21 , 3 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 , 4 ? 0 ? 20 ? 0 ? 21 ? 1 ? 22 ,
5 ? 1 ? 20 ? 0 ? 21 ? 1 ? 22 ,进而知 7 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? 22 ,写成二进制为 111 .

于 是 知 二 进 制 为 位 数 能 表 示 十 进 制 中 最 大 的 数 是 111111 化 成 十 进 制 为

1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? 22 ? 1 ? 23 ? 1 ? 24 ? 1 ? 25 ?

26 ? 1 ? 63 2 ?1 .

评析: 通过阅读,将乍看陌生的问题熟悉化,然后找到解决的方法,即转化成等比数列求解. 总之,求解数列创新题的关键是仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案,最后 利用等差、等比数列有关知识来求解.

-5-


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