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广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学文试题


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珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} ) D. {x 0 ? x ? 2} )

2.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为( ( 0, ??) A. y ? x ?1 B. y ? log 2 x C. y ?| x | ) C.

D. y ? ? x2

3.设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5

i 等于( 2?i 1 2 B. ? ? i 5 5
) B. ?

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5

4. sin 480 的值为( A. ?

1 2

3 2

C.

1 2

D.

3 2

5.中心在原点的双曲线,一个焦点为 F (0 , 3) ,一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 ,则双曲线的方程 是( )
2

A. y ?

x2 ?1 2

B. x ?
2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2
主视图 左视图

6.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( A. ?
2 2


俯视图

3 2

B. 2?

C. 3?

D. 4? )

7.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0

(第 6 题)

D. x ? 2 y ? 2 ? 0

? y?x ? 8.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. 6 B. 5 C.



C

1 2

D. ?3 )

D A B

9.如右上图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (

(第 9 题)

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1

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A.

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C.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

1 2 AB ? AC 3 3

2 1 AB ? AC 3 3

D.

1 2 AB ? AC 3 3


10.用 C ( A) 表示非空集合 A 中元素的个数,定义 A ? B ? ?

A ? ?1, 2? , B ? ? x | ( x 2 ? ax)( x 2 ? ax ? 2) ? 0? ,且 A ? B ? 1 ,设实数 a 的所有可能取值构成集合 S ,
则 C (S ) ? ( ) A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

?C ( A) ? C ( B) , C ( A) ? C ( B) ?C ( B) ? C ( A) , C ( A) ? C ( B)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,考生作答 4 小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考 生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.直线 y ? ?

S4 ? a4



1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x



13.在 ?ABC 中, ?A ?

?
3

, AB =2 ,且 ?ABC 的面积为

3 ,则边 BC 的长为_________. 2
A P B

14. (几何证明选讲选做题)如右图,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,

1 AB ? 7 , PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? ____ . 3
15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) 中,直线 ? ? 弦的长是 .

C

? O
(第 14 题)

D

?
4

( ? ? R )被圆 ? ? 2 sin ? 截得的

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x , x ? R .
2

(1)求 f ( ) 的值; (2)若 sin ? ?

?

6

3 ? ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f ( + ) . 5 2 2 24

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2

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17. (本题满分 12 分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽 取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) : (1)求 x , y ; 高校 (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 求这 2 人都来自高校 C 的概率. A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数

x
2

y

18. (本题满分 14 分)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中, E、F 分别为 BC、CD 的中点, M 、N 分别

为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B,构成一个三 棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求四棱锥 E ? AFNM 的体积.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

19. (本题满分 14 分) 数列 {an } 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和, 对于任意的 n ? N , 总有 an , Sn , an2
*

成等差数列. (1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

1 ,求证:对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 . an 2

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20. (本题满分 14 分)已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 NP . (1)求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小.

21 . (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 ax ? x ? cx ? d (a, c, d ? R ) 满足 f (0) ? 0 , f ?(1) ? 0 且 3 4

f '( x) ? 0 在 R 上恒成立.
(1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f '( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m , 使函数 g ( x) ? f '( x) ? mx 在区间 [1, 2] 上有最小值 ?5 ?若存在, 请求出实数 m 的值; 若不存在,请说明理由.

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珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试 试题与参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.(集合)已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} )

D. {x 0 ? x ? 2} )

2.(函数的奇偶性与单调性)下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为( ( 0, ??) A. y ? x ?1 B. y ? log 2 x C. y ?| x | D. y ? ? x2 ) D. ?

3. (复数的除法)设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5

B. ?

1 2 ? i 5 5


i 等于( 2?i 1 2 C. ? i 5 5

1 2 ? i 5 5

4. (三角函数) sin 480 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

5. (圆锥曲线)中心在原点的双曲线,一个焦点为 F (0 , 3) ,一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 ,则 双曲线的方程是( A. y ?
2

) B. x ?
2

x2 ?1 2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2
主视图 左视图

6. (三视图)如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( A. ? )

3 2

B. 2?

C. 3?

D. 4?

俯视图

2 2 7. (直线与圆)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是(



A. x ? 2 y ? 1 ? 0

B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0

D. x ? 2 y ? 2 ? 0

? y?x ? 8. (线性规划)已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. 6 B. 5 C.



C

1 2

D. ?3
A
5

D B

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9.(向量)如右上图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? ( A.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

1 2 AB ? AC 3 3

C.

2 1 AB ? AC 3 3

D.

1 2 AB ? AC 3 3

10 . (信息题)用 C ( A) 表示非空集合 A 中元素的个数,定义 A ? B ? ?

?C ( A) ? C ( B), C ( A)? C ( B) B ) ?C ( B ) ? C (A ), C (A )? C (

若 A ? ?1, 且 A ? B ? 1, 设实数 a 的所有可能取值构成集合 S , 2? ,B ? x | ( x 2 ? ax)( x 2 ? ax ? 2) ? 0 , 则 C (S ) ? ( ) A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

?

?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.(等比数列)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.(导数)直线 y ? ?

S4 ? a4

15 8



1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x

1或-1



13. (解三角形) 在 ?ABC 中,?A ?

?
3

,AB =2 , 且 ?ABC 的面积为

3 , 则边 BC 的长为___ 3 ______. 2
A P B

14. (几何证明选讲选做题)如右图,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,

1 AB ? 7 , PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? 3

8



C

? O

D

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) 中,直线 ? ? 弦的长是

?
4

( ? ? R )被圆 ? ? 2 sin ? 截得的

2



三、解答题:本大题共 6 小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 16. (三角函数)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x , x ? R
2

(1)求 f ( ) 的值; (2)若 sin ? ? 解: (1) f ( ) ? cos

?

?

6

2

?
6

6

? sin

?
6

cos

?
6

3 ? ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f ( + ) . 5 2 2 24

?(

3 2 1 3 )? ? 2 2 2

?

3+ 3 ………………………………………………………………………………………2 分 4

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6

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(2) f ( x) ? cos2 x ? sin x cos x

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1+ cos 2 x 1 ? sin 2 x ………………………………………………………………………4 分 2 2 1 1 ? ? (sin 2 x + cos 2 x) 2 2 ?

?

1 2 ? ? sin(2 x + ) ………………………………………………………………………6 分 2 2 4

? ? 1 2 ? ? f( + )? ? sin(? + + ) ……………………………………………………………8 分 2 24 2 2 12 4
? 1 2 ? ? sin(? + ) 2 2 3 1 2 1 3 ? (sin ? ? ? cos ? ? ) ……………………………………………………10 分 2 2 2 2

?
因为 sin ? ?

3 ? 4 ,且 ? ? ( , ? ) ,所以 cos ? ? ? ………………………………………………11 分 5 2 5

所以 f (

?
2

+

?
24

)?

1 2 3 1 4 3 10 ? 3 2 ? 4 6 ………………………………12 分 ? ( ? ? ? )? 2 2 5 2 5 2 20

17.(概率)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成 研究小组,有关数据见下表(单位:人) (1)求 x , y ; (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 求这 2 人都来自高校 C 的概率. 解: (1)由题意可得: 高校 A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数

x
2

y

x 2 ? ,即 x ? 1 ………………………………………………………………………2 分 18 36 y 2 ? ,即 y ? 3 ………………………………………………………………………4 分 54 36

(2)设事件 A :2 人都来自高校 C…………………………………………………………………………5 分 记高校 B 的两人为 b1 , b2 ,高校 C 的两人为 c1 , c2 , c3 则选取 2 人的所包含的基本事件共有: b1和b2 , b1和c1 , b1和c2 , b1和c3 ,

b2和c1 , b2和c2 , b2和c3 , c1和c2 , c1和c3 , c2和c3 共有 10 种情况…………………………9 分
选取 2 人都来自高校 C 的所包含的基本事件有: c1和c2 , c1和c3 , c2和c3 共 3 种情况………11 分

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所以 P ( A) ?

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m 3 ? …………………………………………………………………………………12 分 n 10

18. (立几)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M 、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B ,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求四棱锥 E ? AFNM 的体积.
M

A

D

B N F E

M

F N
A

B

E

C

解: (1) MN 平行平面 AEF ……………………………………………………………………2 分 证明:由题意可知点 M 、N 在折叠前后都分别是 AB、CF 的中点(折叠后 B、C 两点重合) 所以 MN 平行 AF …………………………………………………………………………………3 分

? MN ? 面AEF ? 因为 ? AF ? 面AEF ,所以 MN 平行平面 AEF ………………………………………………5 分 ? MN 平行AF ?
(2)证明:由题意可知 AB ? BE 的关系在折叠前后都没有改变 因为在折叠前 AD ? DF ,由于折叠后 AD与AB重合 ,点 D与F 重合 ,所以 AB ? BF ……6 分

? AB ? BE ? AB ? BF ? ? 因为 ? BE ? 面BEF ,所以 AB ? 平面 BEF ……………………………………………………10 分 ? BF ? 面BEF ? ? ? BE ? BF =B
(3) VE ? AFNM ? VE ? ABF ? VE ?MBN …………………………………………………………………………11 分

? VA?BEF ? VM ?BEN …………………………………………………………………………12 分
1 1 ? S ?BEF ? AB ? S ?BEN ? MB ……………………………………………………………13 分 3 3 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 ? 1? 2 3 2 3 2 ? 2 …………………………………………………………………………………………14 分
19. (数列)数列 {an } 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n ? N ,总有 an , Sn , an2 成等差
*

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数列 (1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?
*

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1 ,求证:对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 an 2

解: (1)由已知:对于任意的 n ? N ,总有 an , Sn , an2 成等差数列

?2Sn =an ? an2 a1 =1 ……………………………………………………………………………2 分
令 n ? 1 ,? 2S1 =a1 ? a12 即 2a1 =a1 ? a12 又因为数列 {an } 的各项均为正数,所以 a1 =1 …………………………………………………4 分 (2)

2Sn =an ? an2

① ②……………………………………………………………………5 分
2 2

2 ?2Sn-1 =an-1 ? an (n ? 2) -1

由①-②得: 2Sn ? 2Sn-1 =an ? an-1 ? an ? an -1 即 2an =an ? an-1 ? an ? an -1 ?an ? an-1 = an ? an -1 即 an ? an-1 =(an ? an -1 )(an ? an -1 )
2 2 2 2

an , an -1 均为正数? an ? an-1 = 1(n ? 2) ………………………………………………………7 分
∴数列 {an } 是公差为 1 的等差数列

? an = a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? n ………………………………………………………………9 分
(3) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ? (n ? 2) …………………………………………10 分 2 an n n ? n n ? (n ? 1) n ? 1 n 1 1 ? 2 =1 ? 2 ………………………………………………………………11 分 2 a1 1

当 n=1 时, Tn ? b1 =

当 n ? 2 时, Tn ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2? 2? ? 2 ? 2? ? ? ? 2 1 2 3 n 1 1? 2 2 ? 3 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2 …………………………13 分 1 2 2 3 n ?1 n n

所以对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 ………………………………………………………………14 分 20.(解几综合)已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | .

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(1)求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程;

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(2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小. 解: (1) 设点 P 坐标为 ( x, y ) , 则 MN ? (? 0 3 , ) ,MP ? ( x ? 4, y) ,NP ? ( x ?1, y) ,| NP |?

( x ? 1) 2 ? y 2 .

2 2 因为 MN ? MP ? 6 | NP | ,所以 ?3( x ? 4) ? 0 ? 6 ( x ? 1) ? y ,化简得

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

所以动点 P 的轨迹为

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………………………6 分 4 3

x2 y 2 (2) 点 Q 在 ? ? 1 上,设点 Q 坐标为 (2cos? , 3 sin ? ) , ? ? [0, 2? ) .…………………8 分 4 3
记 Q 到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离为 d

d?

| 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 12 | 12 ? 22

| 4sin(? ? ) ? 12 | 12 ? 4sin(? ? ) 6 6 ,……………………12 分 ? ? 5 5

?

?

当? ?

?
3

时 d 有最小值

8 ,…………………………………………………………………………13 分 5

此时点 Q 坐标为 (1 , ) .………………………………………………………………………………14 分 21. (导数综合) 已知函数 f ( x) ? 在 R 上恒成立. (1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2

1 3 1 2 ax ? x ? cx ? d (a, c, d ? R ) 满足 f (0) ? 0 , f ?(1) ? 0 且 f '( x) ? 0 3 4

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f '( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m , 使函数 g ( x) ? f '( x) ? mx 在区间 [1, 2] 上有最小值 ?5 ?若存在, 请求出实数 m 的值; 若不存在,请说明理由. 解: (1)? f (0) ? 0, ? d ? 0 ;

? f '( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? c及f '(1) ? 0, 有a ? c ? ……………………………………………………………1 分 2 2 1 x ? c ? 0 恒成立; 2

? f ' ( x) ? 0在R上恒成立 , 即ax 2 ?
即 ax ?
2

1 1 x ? ? a ? 0 恒成立; 2 2 显然 a ? 0 时,上式不能恒成立;…………………………………………………………………………2 分

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∴ a ? 0 ,由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 则有:

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?a ? 0 ?a ? 0, 1 ? ? ,即 ? ,解得: a ? ;…………………………………………3 分 ? 1 2 1 1 2 4 ( ? ) ? 4a ( ? a ) ? 0 (a ? ) ? 0 ? ? ? 2 2 ? 4
1 ………………………………………………………………………………………4 分 4 1 1 1 1 ? f ?( x) ? x 2 ? x ? . (2)? a ? c ? . 4 4 2 4 1 2 1 1 3 2 b 1 由 f ?( x) ? h( x) ? 0 得: x ? x ? ? x ? bx ? ? ? 0 ;…………………………………5 分 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? (b ? ) x ? ? 0 ,即 ( x ? b)( x ? ) ? 0 ; 2 2 2 1 1 ∴当 b ? 时, 解集为( , b) ,…………………………………………………………………………6 分 2 2 1 1 当b ? 时, 解集为(b, ) ……………………………………………………………………………7 分 2 2 1 当 b ? 时, 解集为? …………………………………………………………………………………8 分 2 1 2 1 1 (3)假设存在实数 m 使函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx ? x ? ( ? m) x ? 在区间 [1, 2] 上有最小值-5. 4 2 4 1 2 1 1 g ( x) ? f ?( x) ? mx ? x ? ( ? m) x ? 图象开口向上且对称轴为 x ? 2m ? 1. 4 2 4
∴d ? 0,a ? c ?

, 2] 上是递增的; ①当 2m ? 1 ? 1,即m ? 0时 ,此时函数 g ( x) 在区间 [1
1 1 1 ? g (1) ? ?5, 即 ? ( ? m) ? ? ?5. 4 2 4 解得 m ? 5 与 m ? 0 矛盾? m ? 5 ;……………………………………………………………………10 分 1 ②当 1 ? 2m ? 1 ? 2, 即0 ? m ? 时 ,此时函数 g ( x) 在区间 [1, 2m ? 1] 上是递减的,而在区间 2

[2m ? 1, 2] 上是递增的, ? g (2m ? 1) ? ?5.


1 1 1 (2m ? 1) 2 ? ( ? m)( 2m ? 1) ? ? ?5 4 2 4

解得 m ? ?

1 21 1 21 1 ? 或m ? ? ? , 均与0 ? m ? 产生矛盾 ; 2 2 2 2 2

1 21 1 21 ?m ? ? ? 且m ? ? ? ……………………………………………………………………12 分 2 2 2 2
③当 2m ? 1 ? 2,即m ?

? g (2) ? ?5

1 时 ,此时函数 g ( x) 在区间 [1, 2] 上递减的; 2 1 2 1 1 即 ? 2 ? ( ? m) ? 2 ? ? ?5. 4 2 4

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解得 m ?

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21 1 ,满足 m ? 8 2 21 综上知:当 m ? 时, g ( x) ? f ?( x) ? mx 在 [1, 2] 上有最小值-5………………………………………14 分 8

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