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高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题


一、知识回顾
(一)空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体:多面体 棱 顶点. 旋转体 轴. 2. 棱柱:直棱柱 斜棱柱 正棱柱 棱柱的性质:①两底面是对应边平行的全等多边形;②侧面、对角面都是平行四边形; ③侧棱平行且相等;④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥:棱锥的底面或底 顶点 侧棱 正棱柱 斜高 (1)棱锥的性质:①侧面、对角面都是三角形;②平行于底面的截面与底面相似,其相似 比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (2)正棱锥的性质:①正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的 高,斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高,侧棱,侧棱在底 面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱 锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥:圆柱的轴 5. 棱台与圆台:统称为台体 (1)棱台的性质:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧 面是梯形;侧棱的延长线相交于一点. (2)圆台的性质:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长 线交于一点;母线长都相等. 6. 球:球体 球的半径 球的直径. 球心 7. 简单组合体:由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体. (二)空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影 平行投影 正投影 2.三视图的画法:长对正、高平齐、宽相等。 3.直观图:斜二测画法,直观图中斜坐标系 x ' o ' y ' ,两轴夹角为 45? ;平行于 x 轴长度不变, 平行于 y 轴长度减半。 (三)空间几何体的表面积和体积 1.柱体、锥体、台体表面积求法:利用展开图 2.柱体、锥体、台体表面积体积公式,球体的表面积体积公式: 几何体 表面积相关公式 体积公式 圆柱的底面 圆柱的侧面 圆柱侧面的母线

棱柱

S 全 ? S 侧 ? 2 S 底, 其 中 S 侧 ? l 侧 棱 长 ?c 直 截 面 周 长

V ? S 底 ?h高

棱锥

S全 ? S侧 ? S底
S全 ? S侧 ? S上底 ? S下底

V ?

1 3

S 底 ?h高

棱台

V ?

1 3

( S '?

S ' S ? S )h

圆柱

S 全 ? 2 ? r ? 2 ? rh
2

V ??r h
2

(r:底面半径,h:高) 圆锥

S 全 ? ? r ? ? rl
2

V ?

1 3

?r h
2

(r:底面半径,l:母线长) 圆台

S 全 ? ? ( r ' ? r ? r ' l ? rl )
2 2

V ?

1 3

? (r ' ? r ' r ? r )h
2 2

(r:下底半径,r’:上底半径,l:母 线长) 球体

S 球 面 ? 4? R

2

V球 ?

4 3

?R

3

二、例题精讲
例 1.给出如下四个命题:①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有 侧面都有一个共同的公共点; ③多面体至少有四个面; ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一 点 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 . 其 中 正 确 的 命 题 个 数 有

例 2. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积 是 ( ) A.9π B.10π C.11π D.12π 例 3. 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 E、F 分别是 PB、AD 的 中点). (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PBC; (Ⅱ)求三棱锥 B—AEF 的体积。

例 4. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB, B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的 照射下, 塔影 DE 留在坡面上. 已知铁塔底座宽 CD=12 m, 塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站在点 E 处,影子 在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2m 和 1m,求塔高 AB

例 5. 圆锥底面半径为1cm,高为 长.

2

cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱

例 6.已知圆台的上下底面半径分别是 2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的 母线长. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2,3,6,则长方体的体积 是 例 7.如图,正四棱锥 P
? ABCD

底面的四个顶点 A , B , C , D 在球 O 的同一个大圆
? 16 3

上,点 P 在球面上,如果 V P ? A B C D A. 4 ? B. 8 ?

,则球 O 的表面积是 D. 1 6 ?

C. 1 2 ?

例 8.半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积.

例 9.圆台的上、 下底面半径分别是 10cm 和 20cm, 它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°, 那么圆台的表面积是多少?

例 10.已知圆台两底面半径分别为 a,b(a>b),求圆台和截得它的圆锥的体积比。

例 11.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,内有一个球与它的四个面都相切,求: (1) 棱锥的表面积; (2) 内切球的表面积与体积。

【高考名题】 1. . 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ). A. 2 ? ? 2 3 B. 4 ? ? 2 3 C. 2 ? ?
2 3 3 2 3 3

2

2

2 俯视图 2 正(主)视图 2 侧(左)视图

D. 4 ? ?

2.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积 (单位:c m )为( A. 48+12 2 C. 36+12 2
2

) B. 48+24 2 D. 36+24 2 )

3.正六棱锥 P-ABCDEF 中, 为 PB 的中点, G 则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 ( (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 ?x 1 4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x, co s 的值介于 0 到 之间的概率为 ( )
2 2

A.

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3 1 2

5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 的 ( 俯 ) 视 图 可

。则该集合体 是



6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 7.如图, 在半径为 3 的球面上有 A , B , C 三点,? A B C ? 90 , B A ? B C ,
3 2 2
?

球心 O 到平面 A B C 的距离是
?
3

,则 B 、 C 两点的球面距离是
4? 3

A.

B. ?

C.

D. 2 ?

8.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表 面积。

9.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm, 那么该棱柱的表面积为 cm2.


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