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第29届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解-ed


第 29 届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解

????????

2012 年第 29 届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解
广东仲元中学 刘雁

三、如图所示,两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 端牢固粘接在一起,AB 延长线与 BC 的夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ?

。在杆的 A、B 和 C 三点各固连一质量均为 m 的小球,构成一刚性系统。整个 系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的光滑竖直挡板。杆 AB 延长线与挡板垂直。现使该系统以大 小为 v0 、方向沿 AB 的速度向挡板平动。在某时刻,小球 C 与挡板碰撞,碰撞结束时球心在垂直于挡板方 向的分速度为零,且球 C 与挡板不粘连。若使球 C 碰撞后,球 B 先于球 A 与挡板相碰,求夹角 ? 应满足 的条件。 A 从刚体的平面平行运动观点, 另选参考点用角动量守恒定律求碰撞后刚体的角速度 C 解:如图所示,P 为刚体的质心,易求得 PB 与挡板平行,P、B 两点的距离为: B

?

v0

PB ?

l sin ? 3

质心的速度方向始终与挡板垂直,碰撞刚结束时,C 的速度方向与挡板平行。由此可找到刚体的瞬心 O。 且有:

OC ? l cos ? OB ? l sin ? OA ? l
碰撞刚结束时, A、B、C 的速度方向分别与 OA、OB 和 OC 垂直,设其大小 分别为 v A 、 vB 和 vC ,设碰撞后质心的速度大小为 vP ,刚体的角速度为 ? , 则有: A

vA
P

B

?

vB

O

vC

C

v A ? ? OA ? ?l vB ? ? OB ? ?l sin ? vC ? ? OC ? ?l cos ?

A

P B

vP ? ? OP ? ? (OB ? PB) ?

2?l sin ? 3

C

以 C 点为参考点,则碰撞前后刚体的角动量守恒。

mv A (l ? l cos 2 ? ) ? mvB l sin ? ? 2mv0l sin ?
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第 29 届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解

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解得: ? ?

v0 sin ? l

vP ?

2v0 sin 2 ? 3

系统绕质心转过

?
2

所需时间为:

1 ? t? 2 ?

?l
2v0 sin ?

?

若球 B 先于球 A 与挡板相碰,则在球 C 与挡板碰撞后至 B 球与挡板相碰所用的时间小于 t 。即有:

l cos ? ? PB ?t vP
解得:

? ? arctan

3 1? ?
?

即: ? ? 36

原参考答案及评分标准 解法一 如图 1 所示,建直角坐标 Oxy , x 轴与挡板垂直, y 轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速度为 v0 ,方向沿 x 轴正方向,以 P 表示系统的质心,以 vPx 和 vPy 表示碰撞后质心的速度分量, J 表示墙作用于小球 C 的冲 量的大小. 根据质心运动定理有

? J ? 3mvPx ? 3mv0 0 ? 3mvPy ? 0
由(1)和(2)式得

y
(1)

(2)

A
(3) (4)

B

3mv0 ? J vPx ? 3m vPy ? 0

?
P

O x

?
lCP
C

可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球 C 与挡板碰撞过 程中,质心的坐标为

xP ? ?l cos ? 1 yP ? ? l sin ? 3

(5) (6) 图1

球 C 碰挡板前,三小球相对于质心静止,对质心的角动量为零;球 C 碰挡板后,质心相对质心参考系仍是 静止的,三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动,若转动角速度为 ? ,则三小球对质心 P 的角动量
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????????

L ? m?l

2 AP

? m?l

2 BP

? m?l

2 CP

(7)

式中 l AP 、 lBP 和 lCP 分别是 A 、 B 和 C 三球到质心 P 的距离,由图 1 可知

1 2 lAP ? l 2 cos 2 ? ? l 2 sin 2 ? 9 1 2 lBP ? l 2 sin 2 ? 9 4 2 lCP ? l 2 cos 2 ? ? l 2 sin 2 ? 9
由(7) 、 (8) 、 (9)和(10)各式得

(8) (9) (10)

L?

2 2 ml ? (1 ? 2cos 2 ? ) 3

(11)

在碰撞过程中,质心有加速度,质心参考系是非惯性参考系,在质心参考系中考察动力学问题时,必须引 入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心,对质心的力矩等于零,不影响质点系对质心的角动 量,故在质心参考系中,相对质心角动量的变化仍取决于作用于球 C 的冲量 J 的冲量矩,即有

2 J l sin ? ? L 3

(12)

【也可以始终在惯性参考系中考察问题,即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点,则对 该参考点(12)式也成立】 由(11)和(12)式得

??

J sin ? ml (1 ? 2cos 2 ? )

(13)

球 C 相对于质心参考系的速度分量分别为(参考图 1)

vCPx ? ??lCP sin ? ? ?? (l sin ? ? | yP |) vCPy ? ??lCP cos ? ? ??l cos ?
球 C 相对固定参考系速度的 x 分量为

(14) (15)
y

vCx ? vCPx ? vPx
由(3) 、 (6) 、 (13) 和 (16)各式得

(16)

vCx

J ?? ? v0 m(1 ? 2cos 2 ? )

A
(17)

O
(18)

x

根据题意有

vCx ? 0
由(17)和(18)式得
J ? mv0 (1 ? 2 cos 2 ? )

P B

(19)

C

由(13)和(19)式得

??

v0 sin ? l

(20)

图2

球 A 若先于球 B 与挡板发生碰撞, 则在球 C 与挡板碰撞后, 整个系统至少应绕质心转过 ??? 角, 即杆 AB 至
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少转到沿 y 方向,如图 2 所示. 系统绕质心转过 ??? 所需时间

1 ? t? 2

?

(21)

在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离

?x ? vPx t

yP ? ? x ? xP

(22)

(23)

则球 B 先于球 A 与挡板碰撞. 由(5) 、 (6) 、 (14) 、 (16) 、 (18) 、 (21) 、 (22)和(23)式得

? ? arctan


3 1? ?

(24)

? ? 36 ?
评分标准:

(25)

、 (2) 、 (11) 、 (12) 、 (19) 、 (20)式各 3 分, (21)式 1 分, (22) 、 (23)式各 2 分.(24)或 本题 25 分.(1)

(25)式 2 分.

解法二 如图 1 所示,建直角坐标系 Oxy , x 轴与挡板垂直, y 轴与挡板重合,以 vAx 、 vAy 、 vBx 、 vBy 、 vCx 和 vCy 分别表示球 C 与挡板刚碰撞后 A 、 B 和 C 三球速度的分量,根据题意有

vCx ? 0

(1)

以 J 表示挡板作用于球 C 的冲量的大小,其方向沿 x 轴的负方向,根据质点组的动量定理有

? J ? mvAx ? mvBx ? 3mv0 0 ? mvAy ? mvBy ? mvCy

(2) (3)

y

以坐标原点 O 为参考点,根据质点组的角动量定理有

v Ay
(4)

vBy v Ax B
P

Jl sin ? ? mvAy ? l cos ? ? l cos ? ? ? mvBy l cos ? ? mv0 l sin ?

A

因为连结小球的杆都是刚性的,故小球沿连结杆的速度分量相等,故 有

?

vBx O
x

vAx ? vBx vCy sin ? ? vBy sin ? ? vBx cos ? vAx cos ? ? vAy sin ? ? ? vCy sin ?

vCy
C

(5) (6) (7) 图1

(7)式中 ? 为杆 AB 与连线 AC 的夹角. 由几何关系有

cos ? ?

2 cos ? 1 ? 3cos 2 ?

(8)
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sin ? ?

sin ? 1 ? 3cos 2 ?

(9)

解以上各式得
J ? mv0 (1 ? 2 cos 2 ? ) vAx ? v0 sin 2 ?

(10) (11) (12) (13) (14) (15)

vAy ? v0 sin ? cos ?
vBx ? v0 sin 2 ?

vBy ? 0 vCy ? ? v0 sin ? cos ?

按题意,自球 C 与挡板碰撞结束到球 A (也可能球 B )碰撞挡板墙前,整个系统不受外力作用,系统的质心 作匀速直线运动. 若以质心为参考系,则相对质心参考系,质心是静止不动的, A 、 B 和 C 三球构成的刚 性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度,可考察球 B 相对质心的速度.由(11)到(15) 各式,在球 C 与挡板碰撞刚结束时系统质心 P 的速度

vPx ? vPy ?

mvAx ? mvBx ? mvCx 2 ? v0 sin 2 ? 3m 3 mvAy ? mvBy ? mvCy
3m ?0

(16) (17)

这时系统质心的坐标为

xP ? ?l cos ?
1 yP ? ? l sin ? 3

(18) (19)

不难看出,此时质心 P 正好在球 B 的正下方,至球 B 的距离为 yP ,而球 B 相对质心的速度

1 vBPx ? vBx ? vPx ? v0 sin 2 ? 3

(20)

y
(21)

vBPy ? 0

可见此时球 B 的速度正好垂直 BP ,故整个系统对质心转动的角速度

A O P B x

??

vBPx v0 sin ? ? yP l

(22)

若使球 A 先于球 B 与挡板发生碰撞,则在球 C 与挡板碰撞后,整个系统至 如图 2 所示. 系统绕 少应绕质心转过 π / 2 角, 即杆 AB 至少转到沿 y 方向, 质心转过 π / 2 所需时间

1 π 2 t?

C
(23) 图2

?

在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离

?x ? vPx t

(24)
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yP ? ? x ? xP

(25)

则球 B 先于球 A 与挡板碰撞. 由以上有关各式得

? ? arctan


3 1? ?

(26)

? ? 36 ?
评分标准:

(27)

、 (3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 、 (7)式各 2 分, (10) 、 (22)式各 3 分, (23)式 1 分, (24) 、 (25) 本题 25 分. (2) (26)或(27)式 2 分. 式各 2 分,

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