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重庆高考理(数列 )


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重庆高考理 (数列)

制 版 权 作 所 : 有 傅 , 子 违 君 者 不 究

2012年10月16日星期二

11.(11重庆理)在等差数列{ a n } 中,
则a2

? a 4 ? a 6 ? a 8 ? __________ 54 ? a 7 ? 37 ,

a 3 ? a 7 ?, 37

解:因为a 3

? a 2 ? a 4 ? a 6 ? a8 ? ( a 2 ? a8 ) ? ( a 4 ? a 6 )

? 2 ( a 3 ? a 7 ) ? 54 .
或 ? a 3 ? a 7 ? 37 , ? ( a1 ? 2 d ) ? ( a1 ? 6 d ) ? 37 ,
? 2 ( a1 ? 4 d ) ? 37 ,

? a 2 ? a 4 ? a 6 ? a8 ? a1 ? d ? a1 ? 3 d ? a1 ? 5 d ? a1 ? 7 d

? 4 ( a1 ? 4 d ) ? 2 ? 37 ? 54 .

21 .(11重庆理)设实数数列

{ a n }的前 n 项和 S n,满足 S n ?1 ? a n ?1 S n ( n ? N )
*

(1) 若 a1 , S 2 , ? 2 a 2 成等比数列,求

S 2 和 a 3; 4 3 .

(2)求证:对 k ? 3有 0 ? a k ?1 ? a k ?
2 2

? s ? ? 2 a1 a 2 2 ? S 2 ? ? 2S 2 (1) 解 : 由题意 ? S 2 ? a 2 S 1 ? a 2 a1 ? 由 S 2 是等比中项,知 S 2 ? 0 , ? S 2 ? ? 2 ,

? S 3 ? a 3 S 2 , 而且 S 3 ? S 2 ? a 3, 2 ? S 2 ? a3 ? a3 S 2 ,即 - 2 ? a3 ? ?2 a3 , ? a 3 ? . 3 ( 2 ) 证法一 :? S n ?1 ? a n ?1 S n , 而且 S n ? 1 ? S n ? a n ? 1,
? S n ? a n ?1 ? a n ?1 S n ,
? Sn ? a n ?1 a n ?1 ? 1 ,

故 S n ? 1, a n ?1 ? 1,
Sn Sn ?1 ,

a n ?1 ?

从而对于 k ? 3有 a n ?

S n -1

?

a k ?1 ? a k ?1 ? 1 a k ?1 ?
a k ?1 a k ?1 ? 1

S n -1 ? 1 a k ?1

?

a k ?1 ? S k ? 2 a k ?1 ? S k ? 2 ? 1

?1

?

a k ?1 a
2 k ?1

2

? a k ?1 ? 1

? (1)

?a

2 k ?1

? a k ?1 ? 1 ?
4 3 ,

1 2 3 2 ( a k ?1 ? ) ? ? 0 , a k ?1 ? 0 , 由 (1)知 a k ? 0 . 2 4 2

要证 a k ?

由 (1) 只要证明
2 k ?1

a k ?1

a

2 k ?1

? a k ?1 ? 1
2

?

4 3



即证 a a ? S ? 3a ? ? 4 (? ??? ka1 ? 1), 即证明 ( a k ? 2 ) a a ? a
n

此式显然成立。 因此 a k ?

1 2 n ?1 ? ? ?? ? ??

2 k ?1

? 0.

4 3

n

S n ?1
ak
2

( k ? 3 ).
a

最后证明 a k ?1 ? a k。
2 k

a ?a a S n 与 a n的关系: k ? 1 ? ? n
2 k

若不然,则

S1 ? a k,又 a k ? 0 , 故 ?

当a ? 1时? 1, n ?1 ?
ak
k

即 ( a k ? 1)

2

k ? 3? ? S n ? S n k1 ? 0 . 矛盾。 因此 a??1 ? a k (当 n ).

2时

? ( 2 )证法二 : :? S n ?1 ? a n ?1 S n , 而且 S n ?1 ? S n ? a n ?1, S n ? a n ?1 ? a n ?1 S n ,
故方程 x ? S n ?1 x ? S n ?1 ? 0 有根 S n 和 a n ?1 (可能相同)。
2

因此判别式 ? ? S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 0。
2

又由 S n ? 2 ? S n ?1 ? a n ?1 ? a n ? 2 S n ?1得 a n ? 2 ? 1且 S n ?1 ?

an?2 an?2 ? 1

.

因此

a

2 n?2 2

( a n ? 2 ? 1)
4 3

?

4an?2 an?2 ? 1

? 0, 即3a n ? 2 ? 4 a n ? 2 ? 0,
2

解得 0 ? a n ? 2 ?

.

因此 0 ? a k ?

4 3

( k ? 3 ).

由 ak ?

S k ?1

S k ?1 ? 1 S ?1 S k ?1 k S k ?1 ? 1) ? ak ( ? 1) ? a k ( 2 S k ?1 a k S k ?1 ? 1 ?1 ak S ?1 ? ? 2 a k k ?1 S k ?1 ? S k ?1 ? 1 ? ? 1 2 3 ? 0 ( S k ?1 ? ) ? 2 4 因此 a k ?1 ? a( k ? 3) . k

? 0 ( k ? 3),得

a k ?1 ? a k ?

Sk

? ak

1.(10重庆理)在等比数列{ a n } 中, 则公比q的值为( A ) A. 2 B. 3 C. 4 解:因为

a 2010 ? 8 a 2007 ,
D. 8

a 2010 a 2007

?

a 2007 ? q a 2007

3

? q

3

? 8,

所以q=2 21.(10重庆理) ((I5分,(II)7分)在数列{ a n } 中, n ?1 * a1 ? 1, a n ?1 ? ca n ? c ( 2 n ? 1) ( n ? N ) ,其中实数 c ? 0 。 (1)求 { a n } 的通项公式; * (2)若对一切有k ? N 有 a 2 k ? a 2 k ?1 , 求c的取值范围。 a n ?1 an (1)解:由原式得 ? n ? ( 2 n ? 1) n ?1 c c an 1 令 b n ? n , 则 b1 ? , bn ?1 ? bn ? ( 2 n ? 1), 因此对于n ? 2有
c c

b n ? ( b n ? b n ? 1 ) ? ( b n ?1 ? b n ? 2 ) ? ?

? ( b2 ? b1 ) ? b1

=(2n-1) +(2n-3) ? ? +3
? n
2

?

1 c

?

[( 2 n ? 1) ? 3 ] ? ( n ? 1) 2

?

1 c

?1?

1 c

, 因此 a ? ( n 2 ? 1) c n ? c n ?1 , n ? 2 . n
2 n n ?1 *

又当n=1时,上式成立.

因此 a n ? ( n ? 1) c ? c , ( n ? N ) ? a 2 k ? a 2 k ?1 , ? [( 2 k ) 2 ? 1]c 2 k ? c 2 k ?1 ? [( 2 k ? 1) 2 ? 1]c 2 k ?1 ? c 2 k ? 2 , (2)解
?c ? 0 , ? 4 ( c ? c ) k ? 4 ck ? c ? c ? 1 ? 0 对 k ? N 恒成立 . 2 2 2 设 f ( x ) ? 4 ( c ? c ) k ? 4 ck ? c ? c ? 1, 下分三种情况讨论:
2 2 2 *

2k ?2

代入验证只有c=1满足要求. (i )当 c ? c ? 0时, 即c=1或c=0,
2

( ii )当 c ? c ? 0时, 抛物线y=f(x)的开口朝下,
2

因此当正整数k充分大时,f(k)<0, 不符合题意,此时无解。
2 (iii )当 c ? c ? 0时,即c>1或c<0时, 抛物线y=f(x)的开口向下,

其对称轴 x ?

1 2 (1 ? c )

必在直线 x ? 1的左边, 因此 f ( x ) 在[1, ?? ) 上是增函数。

所以要使f(x)>0, 对 k ? N * 恒成立 ,

只需要f(x)>1即可.
由 f (1) ? 3c ? c ? 1 ? 0 ,
2

解得 c ?

? 1 ? 13 6

或c ?

?1?

13

结合c>1或c<0得, c ?

6 ? 1 ? 13 6

.

或c>1.

综合上述三种情况,知c的取值范围为:
( ?? , ? 1 ? 13 6 ) ? [1, ?? )

14 .( 09 重庆理)设 a1 ? 2 , a n ?1 ? 则数列 {b n }的通项公式 b n ?
2

2 an ? 1

, bn ?

an ? 2 an ? 1

,n? N ,
*

解 : b n ?1 ? ?
?2

a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1
an ? 2

an ? 1 ? 2 an ? 1

?2 ?1

?

2 ? 2 ( a n ? 1) 2 ? ( a n ? 1)

an ? 1 a1 ? 2 2?2 而且 b1 ? ? ? 4, a1 ? 1 2 ?1
? 数列 {bn }是首项为 4,公比为 2的 等比数列,
? b n ? 4 ?2 n ?1 ?
n ?1

? 2 bn ,

2

(n ? N )
*

也可以先计算 b1, b2, b3,再归纳出 {bn }的通项公式。

14 .( 08 重庆理)设 S n 是等差数列 { a n }的前 n 项和, a12 ? ? 8 , S 9 ? ? 9 , 则 S 16 ?

-72

解 : S9 ? ?

9 ( a1 ? a 9 ) 2

? ? 9,

? a1 ? a 9 ? ? 2

又 ? a1 ? a 9 ? a 5 ? a 5 ,

? a 5 ? ? 1,

? S 16 ?

16 ( a1 ? a16 ) 2

? 8 ( a 5 ? a12 )

? 8 ( ? 1 ? 8 ) ? ? 72 .

1 .( 07 重庆理)等差数列 A. 3
解 : S3 ? ?

{ a n }的前 n 项和 S 3 ? 9, a1 ? 1, 则 a 2 ? ( C .5
? 9,

A

)

B .4
3 ( a1 ? a 3 )

D .6

2 又 ? a1 ? a 3 ? a 2 ? a 2 ,

? a1 ? a 3 ? 6 ,

? a 2 ? 3,

14 .( 07 重庆理)设 { a n }为公比 q ? 1的等差数列 , 若 a 2004 和 a 2005 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0的两个根 , 则 a 2006 ? a 2007 ? ( 18 )
2

解: a 2004 和 a 2005 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0的两个根 , ? 1 3 a 2004 ? a 2004 ? a 2005 ? 2 ? 2 ?? ?q ? 或? 3 1 (舍去) ?a 2005 ? a 2004 ? a 2005 ? 2 2 3 2 ? a 2006 ? a 2007 ?a ? q ? a 2005 ? q ? ( 3 ? 3 2 ) ? 18 . 2005
2

? 3,

2

4 x ? 8 x ? 3 ? ( 2 x ? 1)( 2 x ? 3) ? 0 ,
2

2 .( 06 重庆理)在等差数列 的前 n 项和 , 则 S 9 ? ( A. 48 B . 54

{ a n }中 , 若 a 4 ? a 6 ? 12 , S n 是数列 { a n } ) C . 60 D . 66

B

解 : S9 ? ?

9 ( a1 ? a 9 )

?
?

9(a4 ? a6 ) 2
9 ? 12 2 ? 54 .

2

14 .( 06 重庆理)在数列 { a n }中 , 若 a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n ? 3 ( n ? 1), 则数列 { a n }的通项 a n ?

解 : a n ? 1 ? 2 a n ? 3, ?

? a n ?1 ? 3 ? 2 ( a n ? 3), 而且 a1 ? 3 ? 4 ,
? 数列 {a n ? 3}是首项为 4,公比为 2的 等比数列,
? an ? 3 ? 4 ? 2
n ?1

?2

n ?1
*

(n ? N )
*

? an ? 2

n ?1

? 3( n ? N )

也可以先计算 a1, a 2, a 3, 再归纳出 {a n }的通项公式。

9 .( 04 重庆理)若数列 { a n }是等差数列,首项 则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 A. 4005 B . 4006 C . 4007 n是 (

a1 ? 0 , a 2003 ? a 2004 ? 0 , a 2003 ? a 2004 ? 0 ,

B

) D . 4008

解: 首项 a1 ? 0 , a 2003 ? a 2004 ? 0 , a 2003 ? a 2004 ? 0 , ?

? a 2004 ? 0 , a 2003 ? 0 ,
? S 4006 ?
?

4006 ( a1 ? a 4005 )
4006 ( a 2003 ? a 2004 ) 2

2

? 0,

而且 S 4007 ?
?

4007 ( a1 ? a 4007 )
4007 ( a 2004 ? a 2004 ) 2

2

? 0,


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