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2013年4月珠海市高三模拟数学试卷及答案理


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珠海市 2013 年 4 月高三模拟考试
数 学(理 科)试卷
2013.4.21

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上. 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0 ,1, 2 ? , N ? ?x x ? 2 a , a ? M ? ,则集合 M ? N ? A. { 0 }
a 1? i

B. { 0 , 1}
1? i 2

C. {1 , 2 }

D. { 0 , 2 }

2.设 a 是实数,且 A.
1 2

?

是实数,则 a ? C.
3 2

B. 1

D. 2

3 . 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? ) ( 其 中 ? ? 0 , ? ?
f (0) ? 3 ,则

?
2

)的最小正周期是 ? ,且

A. ? ?

1 2

,? ?

?
6

B. ? ?

1 2

,? ?

?
3

C. ? ? 2 , ? ?

?
6

D. ? ? 2 , ? ?

?
3

4.下列四个命题中,真命题的个数为 (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ? , M ? ? , ? ? ? ? l ,则 M ? l ;新-课-标 (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3
-第- 一-网

D.4

5.已知 f ( x ) ? ?

? cos ? x ? f ( x ? 1) ? 1

, x ? 0 , x ? 0

,则 f ( ) ? f ( ?
3

4

4 3

) 的值为

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A. ? 2

B. ? 1

C.1

D.2

6.设 f ' ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ' ( x ) 的图像画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是

A.

B.

C.

D.

7.设 e 1 , e 2 分别为具有公共焦点 F 1 与 F 2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公 共点,且满足 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则
1 2

e1 ? e 2
2

2

( e1 e 2 )

2

的值为

A.

B.1

C.2

D.不确定

8.已知 f (1, 1 ) ? 1 , f ( m , n ) ? N * ( m 、 n ? N *) ,且对任意 m 、 n ? N * 都有: ① f ( m , n ? 1 ) ? f ( m , n ) ? 2 ;② f ( m ? 1, 1 ) ? 2 f ( m , 1 ) . 给出以下三个结论: (1) f (1, 5 ) ? 9 ; (2) f ( 5 , 1 ) ? 16 ; (3) f ( 5 , 6 ) ? 26 . 其中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分.X|k |B| 1 . c|O |m 9.圆心为 (1,1 ) 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是_______________. 10.向量 a 、 b 满足 a ? 3 , b ? 5 , a ? b ? 7 ,则 a 、 b 的夹角为________. 11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种. 12.如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为 4 一个内 角为 60 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表
0

面积为________.
主视图 左视图

13. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线
? cos( ? ? ?
4
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) ?

2

与圆 ? ?

2

的公共点个数是________.
俯视图

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14. (不等式选讲选做题) x 、 y ? 0 , x ? y ? 1 ,则 ( x ?

1 x

)( y ?

1 y

) 的最小值为______.

A
15. (几何证明选讲选做题)如图所示,等腰三角形 ABC 的底边 AC 长 为 6 , 其外接圆的半径长为 5, 则三角形 ABC 的面积是________.

B C

O

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设集合 A ? ?x x 2 ? 4 ? , B ? ? x 1 ?
? ? ? ?. x ? 3? 4

(1)求集合 A ? B ; (2)若不等式 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ,求 a , b 的值.
2

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos ( x ?
2

?
12

)?

1 2

sin 2 x .

(1)求 f ( x ) 的最值; (2)求 f ( x ) 的单调增区间.

新 课



第 一 网

18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AC ? CD , ABC ? 60 ? , ? PA ? AB ? BC , AB ? AD , E 是 PC 的中点. (1)求证: CD ? AE ; (2)求证: PD ? 面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的平面角的正弦值.

P

E A C B D

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y ? ax ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 C 上一个动点,
2

过点 P 且与抛物线 C 相切的直线记为 L . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 L 的距离最小?

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20. (本小题满分 14 分) 数列 ?a n ? 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列.令 b n ? 1 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,
c n ? 2 ? b1 ? b 2 ? ? ? b n , n ? N * .

(1)试用 a 、 q 表示 b n 和 c n ; (2)若 a ? 0 , q ? 0 且 q ? 1 ,试比较 c n 与 c n ? 1 的大小; (3) 是否存在实数对 ( a , q ) , 其中 q ? 1 , ?c n ? 成等比数列. 使 若存在, 求出实数对 ( a , q ) 和 ?c n ? ;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? ( x ? 1 ) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

(1)当 b ?

1 2

时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性;

(2)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式
1 n
2

? ln( n ? 1 ) ? ln n ?

1 n

都成立.

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珠海市 2013 年高三模拟考试
数 学(理 科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.A 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9. ( x ? 1 ) ? ( y ? 1 ) ? 2
2 2

10. 120 ? (或 13. 1

2 3

? )

11. 11 14.
25 4

12. ? 15. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: A ? ?x x 2 ? 4 ? ? ?x ? 2 ? x ? 2 ? ,……………………………………………… 3 分
? ? x ?1 ? 4 ? B ? ?x1 ? ? 0 ? ? ?x ? 3 ? x ? 1? ,……………………… ? ? ?x x ? 3? ? ? x ? 3 ?

3分

(1)? A ? B ? ?x ? 2 ? x ? 1? ;……………………………………………………. 2 分 (2)因为 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ? ?x ? 3 ? x ? 1? ,
2

所以 ? 3和 1 为 2 x ? ax ? b ? 0 的两根,……………………………………… 2 分
2

? a ? ? ?3 ? 1 ? ? 2 故? ,所以 a ? 4 , b ? ? 6 .……………………………………. 2 分 ? b ? ?3 ? 1 ?2 ?

17. (本小题满分 12 分) 解: f ( x ) ?
? 1 2 1 2
? 1 2 (1 ? 3 2

[1 ? cos( 2 x ?

?
6

)] ?

1 2

sin 2 x ………………………………………… 2 分

[1 ? (cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

) ? sin 2 x ]

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cos 2 x ?

1 2

sin 2 x ) …………………………………………

2分

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?

1 2

sin( 2 x ?

?
3

)?

1 2

…………………………………………………….

2分

(1) f ( x ) 的最大值为 1 、最小值为 0 ;……………………………………………… 2 分 (2) f ( x ) 单调增,故 2 x ? 即 x ? [k? ?
5? 12 , k? ?

?
3

? [2 k? ?

?
2

,2 k ? ?

?
2

] ,…………………………… 2 分

?
12

]( k ? Z ) , 5? 12 , k? ?

从而 f ( x ) 的单调增区间为 [ k ? ?

?
12

]( k ? Z ) .…………………… 2 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明: PA ? 底面 ABCD ,? CD ? PA 又 CD ? AC , PA ? AC ? A ,故 CD ? 面 PAC AE ? 面 PAC ,故 CD ? AE ………………………………………………… 4 分 (2)证明: PA ? AB ? BC , ? ABC ? 60 ? ,故 PA ? AC E 是 PC 的中点,故 AE ? PC 由(1)知 CD ? AE ,从而 AE ? 面 PCD ,故 AE ? PD 易知 BA ? PD ,故 PD ? 面 ABE ……………………………………………… 5 分 (3)过点 A 作 AF ? PD ,垂足为 F ,连结 EF . 由(2)知, AE ? 面 PCD ,故 ? AFE 是二面角 A ? PD ? C 的一个平面角. 设 AC ? a ,则 AE ?
2 2 a , AD ?

2 3

a , PD ?

7 3

a

从而 AF ?

PA ? AD PD

?

2 7

a ,故 sin ? AFE

?

AE AF

?

14 4

.……………… 5 分

说明:如学生用向量法解题,则建立坐标系给 2 分,写出相关点的坐标给 2 分,第(1)问 正确给 2 分,第(2)问正确给 4 分,第(3)问正确给 4 分。 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)抛物线方程为 x
2

? 1

1 a

y ……………………………………………………… 2 分 ) ………………………………………………………… 2 分

故焦点 F 的坐标为 ( 0 ,

4a
2 (2)设 P ( x 0 , y 0 ) 则 y 0 ? ax 0

? y ' ? 2 ax , ? 在 P 点处抛物线(二次函数 ? 切线 L 的方程是:
即 y ? ax
2 0

)的切线的斜率

k ? 2 ax

0

.... 2 分

y ? y0 ? k (x ? x0 )

? 2 ax 0 ( x ? x 0 )
2 0

即 2 ax 0 x - y ? ax

? 0

...... 3 分

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0 ? ? 焦点 F 到切线 L 的距离 d ?

1 4a

? ax
2

2 0

? ? ( ? 1)
2

1 4a

4a x0

2

2

?1 ?

1 4a

..... 3 分

( 2 ax 0 )
当且仅当 x 0 ? 0 时上式取“=”

此时 P 的坐标是

( 0 ,0 )

...... 1 分

? 当 P 在 ( 0,0) 处时,焦点

F 到切线

L 的距离最小

.

...... 1分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 q ? 1 时, b n ? 1 ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 1 ? na ,
c n ? 2 ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? 2 ?

?(1 ? a ) ? (1 ? na ) ?n
2

?

a 2

n

2

? (
n

a 2

? 1) n ? 2

当 q ? 1 时, b n ? 1 ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 1 ?

a (1 ? q ) 1? q

c n ? 2 ? ( b 1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? 2 ? (1 ?

a 1? q

)n ?

a 1? q

(q ? q

2

?? ? q )
n

? 2 ? (1 ?

a 1? q

)n ?

aq (1 ? q )
2

(1 ? q ) ? 2 ?
n

aq (1 ? q )
2

? (1 ?

a 1? q

)n ?

aq (1 ? q )
2

q

n

所以 b n

,q ? 1 ?1 ? na ? n a (1 ? q ) ? ? 1? ,q ? 1 ? 1? q ?
a ? a 2 n ? ( ? 1) n ? 2 ,q ? 1 ? ? 2 2 ? ? ;…………………… aq a aq n ? (1 ? )n ? q ,q ? 1 ?2 ? 2 2 ? 1? q (1 ? q ) (1 ? q ) ?
aq (1 ? q ) aq (1 ? q ) a 1? q
2 2

cn

4分

(2)因为 c n ? 2 ?

? (1 ?

a 1? q a 1? q

)n ?

aq (1 ? q )
2

q ,新课
n

标第 一 网

所以 c n ? 1 ? 2 ?

? (1 ?

)( n ? 1 ) ?

aq (1 ? q ) a 1? q
2

q

n ?1

c n ? 1 ? c n ? ? (1 ?

)?

aq (1 ? q )
2

(q

n ?1

? q ) ? ?1 ?
n

(1 ? q

n ?1

)

当 q ? 1 时, 1 ? q ? 0 , 1 ? q

n ?1

? 0
n ?1

当 0 ? q ? 1 时, 1 ? q ? 0 , 1 ? q

? 0

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所以当 a ? 0 , q ? 0 且 q ? 1 时, c n ? 1 ? c n ? 0 ,即 c n ? 1 ? c n ;………… 5 分 (3)因为 q ? 1 , q ? 0 ,所以 c n ? 2 ?
aq (1 ? q )
2

? (1 ?

a 1? q

)n ?

aq (1 ? q )
2

q ,
n

aq aq ? ? 2? ? 0 ? 0 2 2 ? ? ? ? ?1 ? q ? ?1 ? q ? 因为 ?c n ? 为等比数列,则 ? 或? , a a ? 1? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? 1? q 1? q ? ?
1 1 ? ? a ? a ? ? ? ?a ?1 3 或 3 .………………………… 所以 ? (舍去) ,所以 ? ? 2 2 q ? 0 ? ?q ? ?q ? 3 3 ? ?

5分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? ) ,
2( x ? ? 1 2 x )
2

f '(x) ? 2 x ? 2 ?
?

b x

?

2x

2

? 2x ? b x

? b ?

1 2 ( x ? 0)

…… 1 分 …… 2 分

当b ?

1 2

时, f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在定义域 ( 0 , ?? ) 上单调递增.
1 2

(2)①由(Ⅰ)得,当 b ?
1 2

时,函数 f ( x ) 无极值点.
2

②b ?

时, f ' ( x ) ?
1 2

( 2 x ? 1) 2x

? 0 有两个相同的解 x ?

1 2



但当 x ? ( 0 , ?b ? 1 2

)时, f ' ( x ) ? 0 ; 当 x ? (

1 2

, ?? )时 , f ' ( x ) ? 0 时,

时,函数 f ( x ) 在 ( ? 1, ? ) 上无极值点. ? 时, f ? ( x ) ? 0 有两个不同解,
1 ? 2b 2 1 2 1 2 1 2 1 ? 2b 2

…… 3 分

③当 b ?
1 2

1 2

x1 ?

?

, x2 ?

?

? i ) b ? 0 时, x 1 ?

?

1 ? 2b 2 1 ? 2b 2

? 0 ? ( 0 , ?? ),舍去



而 x2 ?

?

? 1 ? ( 0 , ?? ) ,

此时 f ? ( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:X k
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x

(0, x 2 )

x2

( x 2, ? ) ?
?

f ?( x )

?

0

f (x)



极小值
1 2 1 ? 2b 2



由此表可知:? b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ? 当0 ? b ?
1 2

?



…… 5 分

ii)

时,0< x 1 ? x 2 <1

此时, f ? ( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

( ? 1, x 1 )
?

x1

( x 1, x 2 )

x2

( x 2, ? ) ?
?

f ?( x )

0

?

0

f (x)


1 2

极大值


1 2

极小值
1 ? 2b 2



由此表可知: 0 ? b ?

时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 x1 ?

?

和一个极小值点

x2 ?

1 2

?

1 ? 2b 2



…… 7 分

综上所述: 当且仅当 b ?
1 2

时 f ( x ) 有极值点;
1 2 1 ? 2b 2 1 2
2

…… 8 分

当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x ?

?



当0 ? b ?

1 2

时, f ( x ) 有一个极大值点 x ?

?

1 ? 2b 2

和一个极小值点 x ?

1 2

?

1 ? 2b 2

(3)由(2)可知当 b ? ? 1 时,函数 f ( x ) ? ( x ? 1 ) ? ln x ,
1 2 1 ? 2b 2 1? 2 3

此时 f ( x ) 有惟一极小值点 x ?

?

?

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且 x ? (0,

1? 2

3

)时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 ,

1? 2

3

) 为减函数

…… 9 分

? 当 n ? 3 时, 0 ? 1 ? 1 ? ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ? 当 n ? 3 时恒有 1 n

1 n

?

4 3

?

1? 2 0 ? 1 n
2

3

, ? ln( 1 ? 1 n

),即恒有

1 n
2

)

…… 11 分

ln( n ? 1 ) ? ln n ?

成立

令函数 h ( x ) ? ( x ? 1 ) ? ln x ( x ? 0 )
则 h'(x) ? 1 ? 1 x ? x ?1 x
? x ? [1 , ?? )时 h ( x ) 为增函数 1 n ? ln( 1 ? 1 n ) ? 0

…… 12 分

? x ? 1 时, h ' ( x ) ? 0 ,又 h ( x ) 在 x ? 1处连续 ? n ? 3 时 1?1? 1 n ? ln( n ? 1 ) ? ln n ? ln( 1 ? 1 n 综上述可知 n ? 3 时恒有 1 n ) ? ? h (1 ? 1 n 1 n ) ? h (1 ) 即

…… 14 分
1 n
2

? ln( n ? 1 ) ? ln n ?

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