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高中椭圆练习题(有答案


椭圆检测题
一、选择题: 1.下列方程表示椭圆的是() A.

x2 y 2 ? ?1 9 9

B. ? x2 ? 2 y 2 ? ?8

C.

x2 y 2 ? ?1 25 9

D. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1

2.动点 P 到两

个定点 F 1 (- 4,0). F2 (4,0)的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为() A.椭圆 B.线段 F1F2
2

C.直线 F1F2

D.不能确定

3.已知椭圆的标准方程 x ? A. (? 10,0)

y2 ? 1,则椭圆的焦点坐标为() 10
C. (0, ?3) D. (?3, 0)

B. (0, ? 10)

4.椭圆

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 和 ? ? 1(a 2 ? b2 ? k 2 ) 的关系是 2 2 2 2 2 2 a b a ?k b ?k
D.有相同的焦点

A.有相同的长.短轴 B.有相同的离心率 C.有相同的准线 5.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距离是() 5 9
B.2 C.3 D.6

A. 2 5 ? 3

6.如果

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围为() a2 a ? 2
B. ? ?2, ?1? ? ? 2, ???
2 2

A. (?2, ??)

C. (??, ?1) ? (2, ??)

D.任意实数 R

7.“m>n>0”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的” () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是 4,长轴长是短轴长的 A. 5 B. 4 C. 6

3 倍,则椭圆的焦距是() 2

D. 2 5 C. 方 程

9.关于曲线的对称性的论述正确的是() A.方程 x ? xy ? y ? 0 的曲线关于 X 轴对称
2 2

x2 ? xy ? y 2 ? 10 的曲线
关于原点对称

B.方程 x ? y ? 0 的曲线关于 Y 轴对称
3 3

1

D.方程 x3 ? y3 ? 8 的曲线关于原点对称

C

F1
D

c
F2
第 11 题

x2 y2 x2 y 2 ? ?1 10.方程 (a>b>0,k>0 且 k≠1)与方程 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)表示的椭圆 ( ) . ka 2 kb 2 a b
A.有相同的离心率;B.有共同的焦点;C.有等长的短轴.长轴; D.有相同的顶点. 二、填空题: (本大题共 4 小题,共 20 分.) 11.(6 分)已知椭圆的方程为: ___ ________. 12. ( 6 分 ) 椭 圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的 长 轴 长 为 ____ , 短 轴 长 为 ____ , 焦 点 坐 标 为 四个顶点坐标分别为___ 13.(4 分)比较下列每组中的椭圆: (1)① 9x2 ? 4 y 2 ? 36 与② ,离心率为 ;椭圆的左准线方程为

F 2

x2 y 2 ? ? 1,则 a=___,b=____,c=____,焦点坐标为: 64 100

__,焦距等于______;若 CD 为过左焦点 F1 的弦, (如图)则? F2 CD 的周长为

x2 y 2 ? ? 1 ,哪一个更圆 12 16

(2)①

x2 y 2 ? ? 1 与② 9 x2 ? y 2 ? 36 ,哪一个更扁 6 10

14.(4 分)若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(30 分)求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,-3) , (0,3) ,椭圆的短轴长为 8;

2

(2)两个焦点的坐标分别为(- 5 ,0) , ( 5 ,0) ,并且椭圆经过点 (2 2, )

2 3

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P 1 ( 6,1)、P 2 (- 3,- 2)

16.(12 分)已知点 M 在椭圆
'

x2 y 2 ? ? 1 上,M P' 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂直为 P' , 25 9

并且 M 为线段 P P 的中点,求 P 点的轨迹方程

17.(12 分)设点 A,B 的坐标为 (?a,0),(a,0)(a ? 0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且它们 的斜率之积为 ?k (k ? 0且k ? 1) 求点 M 的轨迹方程,并讨论 k 值与焦点的关系.

3

18.(12 分)当 m 取何值时,直线 l : y ? x ? m 与椭圆 9 x2 ? 16 y 2 ? 144 相切,相交,相 离?

x2 y 2 5 ? ? 1(0 ? m ? 45) 的焦点分别是 F1 和 F2 ,已知椭圆的离心率 e ? 19.(14 分)椭圆 45 m 3
过中心 O 作直线与椭圆交于 A,B 两点, O 为原点,若 ABF2 的面积是 20, 求: (1) m 的值(2)直线 AB 的方程

4

参考答案
1.选择题: 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 C 8 D 9 C 10 A

二.填空题: 11 10,8,6, (0, ?6 ) ,12,40 12 10,8, ( ?0 3 , 13 ②,② ) , (-5,0).(5,0).(0,-4). 14

(0,4) ,

3 25 , x?? 5 3

3 5

三.解答题: 15.(1)解:由题意,椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
2 2 2

由焦点坐标可得 c ? 3 ,短轴长为 8,即 2b ? 8, b ? 4 ,所以 a ? b ? c ? 25

y x ? 椭圆的标准方程为 25 ? ?1 16
2 2

x2 y 2 (2)由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
由焦点坐标可得 c ?

2 2 5 , 2a ? (2 2 ? 5)2 ? ( )2 ? (2 2 ? 5)2 ? ( )2 ? 6 3 3
x2 y 2 ? ?1 9 4

所以 b = a ? c =9-5=4,所以椭圆的标准方程为
2
2 2

(3) 设 椭 圆 的 方 程 为 mx2 ? ny 2 ? 1 ( m ? 0, n ? 0 ), 因 为 椭 圆 过

P 1 ( 6,1)、P 2 (- 3,- 2)

? 6 m ? n ?1 ? ? 3m ? 2 n ?1 ?

? m? 1 9 解得 ? n ? 1 ? 3

所以椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 9 3

16.解:设 p 点的坐标为 p ( x, y ) , m 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意可知

? x0 ? x ? x ? x0 ? y ? 2 y0 ? ? y ? ? y0 ? 2



因为点 m 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,所以有 25 9
5

2 x0 y2 ? 0 ?1 25 9

② , 把①代入②得

x2 y 2 ? ? 1 ,所以 P 点的轨迹是焦点在 y 轴上,标 25 36

准方程为

x2 y 2 ? ? 1 的椭圆. 25 36

17. 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,因为点 A 的坐标是 (?a , 0) ,所以,直线 AM 的斜率

k AM ?

y y ( x ? ?a ) , 同 理 直 线 BM 的 斜 率 k BM ? ( x ? a) . 由 已 知 有 x?a x?a

y y x2 y 2 ? ?k ( x ? ? a )化简得点 , M 的轨迹方程为 2 ? 2 ? 1( x ? ? a) x?a x?a a ka
当 0 ? k ? 1 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 k ? 1 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆.

18.解:

?

y ? x ? m ?? ? ① 9 x2 ?16 y 2 ?144 ? ②
2 2

①代入②得 9 x2 ? 16( x ? m)2 ? 144 化简得 25x ? 32mx ? 16m ? 144 ? 0

? ? (32m)2 ? 4 ? 25(16m2 ?144) ? ?576m2 ? 14400
当 ? ? 0, 即 m ? ?5 时,直线 l 与椭圆相切; 当 ? ? 0 ,即 ?5 ? m ? 5 时,直线与椭圆相交; 当 ? ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 5 时,直线与椭圆相离. 19.解: (1)由已知 e ?
2

c 5 ? , a ? 45 ? 3 5 ,得 c ? 5 , a 3
2 2

所以 m ? b ? a ? c ? 45 ? 25 ? 20 (2)根据题意

S

ABF2

? S F 1F B ? 20 , 设 B( x, y) , 则 S F F B ? 1 2
1 2

2

F1 F2 y ,

F1F2 ? 2c ? 10 ,所以 y ? ?4 ,把 y ? ?4 代入椭圆的方程
B 点的坐标为 (? 3, ? 4) ,所以直线 AB 的方程为 y ?

x2 y 2 ? ? 1 ,得 x ? ?3 ,所以 45 20

4 4 x或y ? ? x 3 3

6


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