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(数学)高三数学思想方法专题讲座【第4讲:转化与化归思想】


高三数学思想方法专题讲座【第 4 讲:转化与化归思想】
【思想方法要点】 1.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与 化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数 学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等. 转化与化归的原则:(1)熟悉化原则; (3)直观化原则; 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、 解决数学问题时, 思维受阻或寻求简单方法或从一种状 况转化到另一种情形, 也就是转化到另一种情境使问题得到解决, 这种转化是解决问题的有 效策略,同时也是成功的思维方式. 常见的转化方法有: (1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)等价转化法;(5)特殊化方法; (6)构造法;(7)坐标法;(8)类比法;(9)引入参数法;(10)补集法. (2)简单化原则; (4)正难则反原则.

【典型例题分析】 1.方程 m ? 1 ? x ? x 有解,则 m 取得最大值( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2

2.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 a、b、c 成等差数列,则

cos A ? cos C ? __________. 1 ? cos A cos C
3.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x), 则 f ( ) ? _________. 2
3 2 4. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ax ? 1, 若函数 g ( x) ? f ( x) 在区间 (?1,1) 上存在零点, 则实

数 a 的取值范围是_________.
2 5.设 f ( x) 是定义在 R 上的单调增函数,若 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对任意 a ?[?1,1] 恒

成立,则实数 x 的取值范围是_________.
1

6.若对于任意 t ? [1,2], 函数 g ( x) ? x ? (
3

2 m ? 2) x ? 2 x 在区间 (t ,3) 上总不为单调函数, 2

则实数 m 的取值范围是_________. 7.在等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? b1 ? 2, a2 ? b2 ? 2 ? b, Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和. (1)是否存在正整数 b, 使得数列 {bn } 的所有项都在数列 {an } 中, 若存在, 求出所有的 b, 若不存在,说明理由; (2)是否存在正实数 b,使得数列 {bn } 中至少有三项在数列 {an } 中,但 {bn } 中的项不都 在数列 {an } 中,若存在,求出一个可能的 b 的值,若不存在,请说明理由.

2

参考答案
1.解析:由原式得 m ? x ? 1 ? x , 设 1 ? x ? t (t ? 0), 则 m ? 1 ? t ? t ?
2

5 1 ? (t ? ) 2 , 4 2

?m ?

5 1 ? (t ? ) 2 在 [0,??) 上是减函数,? t ? 0 时,m 的最大值为 1.选 A 4 2

2.解析:根据题意,所求数值是一个定值,故可利用满足条件的直角三角形进行计算.令

a ? 3, b ? 4, c ? 5, 则 ?ABC 为直角三角形,且 cos A ?

4 , cosC ? 0, 代入所求 5

4 ?0 cos A ? cos C 4 ? 5 子,得 ? 1 ? cos A cos C 1? 4?0 5 5
3. 解析: 因为 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x), 所以

f ( x ? 1) 1 ? x ? , 使 f ( x) 特殊化, 可设 f ( x) ? f ( x) x

xg ( x), 其中 g ( x) 是周期为 1 的奇函数, 再将 g ( x) 特殊化, 可设 g ( x) ? sin 2?x, 则
5 f ( x) ? x sin 2?x, 经验证 f ( x) ? x sin 2?x 满足题意,则 f ( ) ? 0. 2
4.解析: g ( x) ? f ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? a, g ( x) ? f ( x) 在区间 (?1,1) 上存在零点,等价于 3 x
2

? 4 x ? a 在区间 (?1,1) 上有解,等价于 a 的取值范围是函数 y ? 3x 2 ? 4 x 在区间

4 (?1,1) 上的值域,不难求出这个函数的值域是 [ ,7) ,故所求的 a 的取值范围是 3 4 [ ,7) 3
2 2 ? f ( x) 在 R 上是增函数, 5. 解析: ∴由 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 可得 1 ? ax ? x ? 2 ? a,

a ? [?1,1] ?a( x ?1) ? x2 ? 1 ? 0, 对 a ?[?1,1] 恒成立,令 g (a) ? ( x ? 1)a ? x 2 ? 1.
则当且仅当 g (?1) ? x ? x ? 2 ? 0, g (1) ? x ? x ? 0, 解之,得 x ? 0或x ? 1. 故
2 2

实数 x 的取值范围为 x ? ?1或x ? 0. 6. 解析:g ' ( x) ? 3x ? (m ? 4) x ? 2, 若 g ( x) 在区间 (t ,3) 上总为单调函数, 则① g ' ( x) ? 0
2

在 (t ,3) 上恒成立, 或② g ' ( x) ? 0 在 (t 3) 上恒成立, 由①得 3x ? (m ? 4) x ? 2 ? 0,
2

2 2 ? 3 x 在 x ? (t ,3) 上恒成立,? m ? 4 ? ? 3t 恒成立,则 m ? 4 ? ?1, x t 2 2 即 m ? ?5 , 由②得 m ? 4 ? ? 3 x 在 x ? (t ,3) 上恒成 立, 则 m ? 4 ? ? 9, 即 x 3
即m? 4 ?
3

m??

37 ? 3 37 ? m ? ?5 3

∴函数 g ( x) 在区间 (t ,3) 上总不为单调函数的 m 的取值范围为 ?

7.解:(1)当 b 取偶数 (b ? 2k , k ? N *) 时, {bn } 中所有项都是 {an } 中的项, 证明如下:由题意: b1 , b2 均在数列 {an } 中, 当 n ? 3 时, bn ? 2(

2 ? b n?1 0 n ?1 1 n?2 n?1 ) ? 2(k ? 1) n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1k ?1k ?1 ) 2

0 n?2 1 n?3 n?2 ? 2 ? 2k[(Cn ? Cn ? ?? Cn ) ?1] ?1k ?1k ?1 ? 1 0 n?2 1 n?3 n?2 说明 {bn } 的第 n 项是 {an } 中的第 Cn ? Cn ? ?? Cn ?1k ?1k ?1 ? 1 项.

当 b 取奇数 (b ? 2k ? 1, k ? N *) 时,因为 bn 不是整数, 所以数列 {bn } 的所有项都不在数列 {an } 中. 综上,所有的符合题意的 b ? 2k (k ? N *) (2)由题意,因为 b1 , b2 在 {an } 中,所以 {bn } 中至少存在一项 bm (m ? 3) 在 {an } 中, 另一项 bt (t ? ? m) 不在 {an } 中,

b m?1 ? 2 ? (k ? 1)b, 2 b 3 2 取 m ? 4 得 2(1 ? ) ? 2 ? ( k ? 1)b, 即 (b ? 2) ? 4(k ? 2). 2
由 bm ? ak 得 2(1 ? ) 取 k ? 4, 得 b ? 2 2 ? 2 (舍负值). 此时 b4 ? a3 当 b ? 2 2 ? 2 时, b3 ? 8, an ? 2 ? (n ? 1)(2 2 ? 2), 对任意 n, an ? ? b3 综上,取 b ? 2 2 ? 2. (此问答案不唯一)

4


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