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第二部分 专题二 第四讲 高考中的三角函数(解答题型)


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[做考题 体验高考]
? π? 1.(2012· 广东高考)已知函数f(x)=2cos?ωx+6?(其中ω>0, ? ?

x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值;
? π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? (2)设α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17, ? ? ? ? ? ?

求cos(α+β)的值.
? π? 解:(1)∵f(x)=2cos?ωx+6?,ω>0的最小正周期T=10π= ? ?

2π 1 ω ,∴ω=5.
?1 π? (2)由(1)知f(x)=2cos?5x+6?, ? ?

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? π? ? 5π? 5π? 16 6 ? 而α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f?5β- 6 ?=17, ? ? ? ? ? ? ?1? 5π? π? 6 ? ?5α+ ?+ ?=- , ∴2cos 5 3 ? 6? 5 ? ? ?1? 5π? π? 16 2cos?5?5β- 6 ?+6?=17, ? ? ? ? ? π? 3 即cos?α+2?=-5,cos ? ?

8 β=17,

3 4 15 于是sin α=5,cos α=5,sin β=17, 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5×17-5×17=-85.

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2.(2012· 山东高考)已知向量m=(sin

? x,1),n=? ?

? A 3Acos x, 2 cos 2x? ?

(A>0),函数f(x)=m· n的最大值为6. (1)求A; π (2)将函数y=f(x)的图像向左平移12个单位,再将所得图像 1 上各点的横坐标缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函
? 5π? 数y=g(x)的图像,求g(x)在?0,24?上的值域. ? ?

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解:(1)f(x)=m· n A = 3Asin xcos x+ 2 cos 2x
? =A? ? ? ? 3 1 ? sin 2x+2cos 2x? 2 ?

? π? =Asin?2x+6?. ? ?

因为A>0,由题意知A=6.
? π? (2)由(1)f(x)=6sin?2x+6?. ? ?

π 将函数y=f(x)的图像向左平移12个单位后得到

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? ? ? π ? π? π? y=6sin?2?x+12?+6?=6sin?2x+3?的图像; ? ? ? ? ? ?

1 再将得的到图像上各点横坐标缩短为原来的2倍,纵坐标不变,
? π? 得到y=6sin?4x+3?的图像. ? ? ? π? 因此g(x)=6sin?4x+3?. ? ? ? 5π? π ?π 7π? 因为x∈?0,24?,所以4x+3∈?3, 6 ?, ? ? ? ? ? 5π? 故g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6]. ? ?

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?sin x-cos x?sin 2x 3.(2012· 北京高考)已知函数f(x)= . sin x (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间.
解:(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z), 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. sin 2x 因为f(x)=(sin x-cos x) sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 =
? π? 2sin?2x-4?-1, ? ?

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2π 所以f(x)的最小正周期T= 2 =π. (2)函数y=sin
? π 3π? x的单调递减区间为?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). ? ?

π π 3π 由2kπ+2≤2x-4≤2kπ+ 2 ,x≠kπ(k∈Z), 3π 7π 得kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z).
? 3π 7π? 所以f(x)的单调递减区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ?

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4.(2012· 浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为 2 a,b,c.已知cos A=3,sin B= 5cos C. (1)求tan C的值; (2)若a= 2,求△ABC的面积. 2 5 2 解:(1)由0<A<π,cos A=3,得sin A= 1-cos A= 3 .
又 5cos C=sin B=sin (A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 2 = 3 cos C+3sin C. 所以tan C= 5.

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5 1 (2)由tan C= 5,得sin C= ,cos C= . 6 6 5 于是sin B= 5cos C= . 6 a c 由a= 2及正弦定理sin A=sin C,得c= 3. 1 5 设△ABC的面积为S,则S=2acsin B= 2 .

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[析考情 把脉高考] 考点统计 三角恒等变换 三角函数的图像与性质 3年5考 3年9考

解三角形
向量与三角的综合问题 解三角形的实际应用

3年12考
3年4考 3年4考

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考 情 分 析
(1)三角恒等变换是高考的热点内容,在解答题中多作为一

种化简工具考查,其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考
查的重点. (2)三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点,侧重

于对函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调性、对称性以及最值
等的考查,常与其他知识交汇以解答题的形式考查,难度中等. (3)正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考 内容.在解答题中主要考查:①边和角的计算;②面积的计算; ③有关的范围问题.由于此内容应用性较强;解三角形的实际 应用问题也常出现在高考解答题中.

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三角变换与求值
[例1] (2012· 江南十校联考)已知函数f(x)=sin x+cos x.

cos2x-sin xcos x (1)若f(x)=2f(-x),求 的值; 2 1+sin x (2)求函数F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增区间. [思路点拨] 求代数式即可; (2)利用倍角公式及辅助角公式将F(x)整理为F(x)=Asin(ωx+ φ)+b的形式求解. (1)由条件可求tan x的值,然后利用弦化切得所

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[规范解答]

(1)∵f(x)=sin x+cos x,

∴f(-x)=cos x-sin x. ∵f(x)=2f(-x), ∴sin x+cos x=2(cos x-sin x),且cos x≠0, 1 ∴tan x=3, cos2 x-sin xcos x cos2x-sin xcos x 1-tan x 6 ∴ = = = . 1+sin2 x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 11

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(2)由题知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x, ∴F(x)=cos 2x+sin 2x+1, ∴F(x)=
? π? 2sin?2x+4?+1. ? ?

? π? ∴当sin?2x+4?=1时,F(x)max= ? ?

2+1.

π π π 由-2+2kπ≤2x+4≤2+2kπ(k∈Z)得 π 3π 8+kπ≥x≥- 8 +kπ(k∈Z), 故所求函数F(x)的单调递增区间为
? 3π ? π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z). 8 8 ? ?

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(1)已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般 思路为: ①先化简所求式子或所给条件;

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及
角入手); ③将已知条件代入所求式子,化简求值. (2)有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”,即: 遇正切,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高 次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角.

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x 1.已知函数f(x)=2cos2 2- 3sin x. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
? π? 1 cos 2α ?α- ?= ,求 (2)若α为第二象限角,且f 3? 3 1+cos 2α-sin ?



的值.

x 解:(1)∵f(x)=2cos 2- 3sin x
2

=1+cos x- 3sin

? π? x=1+2cos?x+3?, ? ?

∴最小正周期T=2π,f(x)的值域为[-1,3].

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? π? 1 (2)∵f?α-3?=3, ? ?

1 1 ∴1+2cos α=3,即cos α=-3. 2 2 ∵α为第二象限角,∴sin α= 3 . cos2 α-sin2α cos 2α ∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 cos α+sin α -3+ 3 1-2 2 = 2cos α = 2 = 2 . -3

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2.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m- 3cos 2x)i(λ,m, x∈R),且z1=z2. (1)若λ=0且0<x<π,求x的值;
? 2π? 1 (2)设λ=f(x),已知当x=α时,λ=2,试求cos?4α- 3 ?的值. ? ? ?sin 2x=m, ? 解:(1)∵z1=z2,∴? ?λ=m- 3cos 2x. ?

∴λ=sin 2x- 3cos 2x, 若λ=0,则sin 2x- 3cos 2x=0,得tan 2x= 3. ∵0<x<π,∴0<2x<2π. π 4π ∴2x=3或2x= 3 .

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π 2π ∴x=6或 3 . (2)∵λ=f(x)=sin 2x- 3cos 2x
?1 =2? sin ?2 ? 3 2x- 2 cos 2x? ? ? π π? =2?sin 2xcos 3-cos 2xsin3? ? ? ? π? ?2x- ?, =2sin 3? ? 1 又∵当x=α时,λ=2, ? ? π? 1 π? 1 ∴2sin?2α-3?=2,sin?2α-3?=4, ? ? ? ? ? 2π? π? 2? ∴cos?4α- 3 ?=1-2sin ?2α-3? ? ? ? ? 1 7 =1-2×16=8.

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三角函数的图像与性质

[例2] (2012· 深圳模拟)已知函数f(x)=2
?x π? cos?2+4?-sin(x+π). ? ?

?x 3· ?2 sin ?

π? + 4? ?

(1)求f(x)的最小正周期; π (2)若将f(x)的图像向右平移 6个单位,得到函数g(x)的 图像,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.

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[思路点拨]

利用诱导公式及辅助角公式将f(x)整理成

f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解.
[规范解答]
? x=2? ? ?

(1)∵f(x)=

? π? 3sin?x+2?+sin ? ?

x= 3cos x+

sin

? ? π? 3 1 ? cos x+2sin x?=2sin?x+3?, 2 ? ? ?

∴f(x)的最小正周期为2π.

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π (2)∵将 f(x)的图像向右平移 6个单位,得到函数 g(x)的图像,
?? ? ? π? π? π? π? ∴g(x)=f?x-6?=2sin??x-6?+3?=2sin?x+6?. ? ? ? ? ? ?? ?

π ?π 7π? ∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?, ? ?
? π? π π π ∴当 x+6=2,即 x=3时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? ? π? π 7π 1 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ?

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?1?求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数 的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式,尽量化 为y=Asin?ωx+φ?的形式,然后再求解. ?2?对于形如y=asin ωx+bcos ωx型的三角函数,要通过 引入辅助角化为y= a 2+b 2 sin?ωx+φ??cos φ= sin φ=
b a +b
2 2

a a 2+b 2



?的形式来求.

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3.函数 y=Asin(ωx+φ)

? π? ?A>0,ω>0,|φ|< ?的一段图像如图所示. 2? ?

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图像向右平移 4个单位,得到 y=g(x)的图像, 求直线 y= 6与函数 y=f(x)+g(x)的图像在(0,π)内所有交点的 坐标.

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2π 解:(1)由题意知A=2,T=π,于是ω= T =2, π 将y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度,
? π? π 得f(x)=2sin 2(x+12)=2sin?2x+6?. ? ? ? ? π? π? (2)依题意得g(x)=2sin?2?x-4?+6? ? ? ? ? ? π? =-2cos?2x+6?. ? ? ? ? π? π? 故y=f(x)+g(x)=2sin?2x+6?-2cos?2x+6? ? ? ? ?

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=2 由2

? π? 2sin?2x-12?. ? ? ? π? 2sin?2x-12?= ? ? ? π? 6,得sin?2x-12?= ? ?

3 2.

π π π ∵0<x<π,∴-12<2x-12<2π-12. π π π 2π ∴2x-12=3或2x-12= 3 , 5 3 ∴x=24π或x=8π,
?5π ∴所求交点坐标为?24, ? ? ?3π 6?或? 8 , ? ? ? 6?. ?

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4.已知函数 f(x)=( 3sin ωx+cos 且函数

? 3π ?? 1? ωx) ?sin?- 2 +ωx??0<ω<2?, ? ?? ?

?5π ? y=f(x)的图像的一个对称中心为? 3 ,a?. ? ?

(1)求 a 的值和函数 f(x)的单调递减区间; (2)在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 2a-c cos C 满足 b =cos B,求函数 f(A)的取值范围.

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解:(1)f(x)=( 3sin ωx+cos ωx)cos ωx 3 1 1 = 2 sin 2ωx+2cos 2ωx+2
? π? 1 =sin?2ωx+6?+2. ? ?

6k-1 5π π 据题意,2ω· +6=kπ,k∈Z,ω= 20 ,k∈Z, 3 1 1 ∵0<ω<2,∴当k=1时,ω=4.
?1 π? 1 从而f(x)=sin?2x+6?+2, ? ?

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1 π 1 π 3π 故 a=2,2kπ+2≤2x+6≤2kπ+ 2 ,k∈Z,
? 2π 8π? 单调递减区间是?4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 ?,k∈Z. ? ?

(2)2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,2sin Acos B= 1 π sin(B+C),cos B=2,∴B=3.
?1 π? 1 2 ? A+ ?+ ,0<A< π, f(A)=sin 2 6? 2 3 ? ? 3? π 1 π π 3 ?1, ? 6<2A+6<2,1<f(A)<2,f(A)∈? 2?.

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正、余弦定理及解三角形
[例3] (2012· 济南模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边 π 6 分别为a,b,c.已知A=3,cos B= 3 ,且c2=a2+( 6-1)b. (1)求sin C的值; (2)求边b的长. [思路点拨] (1)由三角形内角和定理A+B+C=π,可求 sin C=sin(A+B); (2)利用余弦定理求b.

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[规范解答]

(1)∵A,B,C为△ABC的内角,

π 6 且A=3,cos B= 3 , 3 ∴C=π-(A+B),sin B= 3 , 3 2+ 3 ∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 6 (2)由余弦定理得: c2=a2+( 6-1)b=b2+c2-2bccos A+( 6-1)b, 即b-c+ 6-1=0. 6+1 bsin C 又由正弦定理得c= sin B = 2 b,则b=2. 所以边b的长为2.

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解三角形问题主要指求三角形中的一些基本量,即求 三角形的三边、三角等.它的实质是将几何问题转化为代 数问题,解题关键是正确分析边角关系,依据题设条件合 理地设计解题程序.

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tan xtan 2x 5.已知函数 f(x)= + 3(sin2x-cos2x). tan 2x-tan x (1)求函数 f(x)的定义域和最大值; (2)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 b=2a,求 f(A)的取值范围.
π ? ?x≠kπ+2?k∈Z?, ? 解:(1)由 f(x)的解析式可知?2x≠kπ+π?k∈Z?, ? 2 ? ?2x≠kπ+x?k∈Z?,

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π ? x≠kπ+2?k∈Z?, ? ? 即?x≠kπ+π?k∈Z?, ? 2 4 ? ?x≠kπ?k∈Z?. 故函数 f(x)的定义域为
? D=? ? ? π kπ π x|x≠kπ+2,x≠ 2 +4,x≠kπ,k∈Z?. ?

sin xsin 2x cos xcos 2x f(x)= sin 2x sin x - 3cos 2x cos 2x-cos x

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sin xsin 2x = - 3· 2x cos sin 2xcos x-cos 2xsin x sin xsin 2x = - 3cos 2x sin?2x-x? =sin 2x- 3cos
? π? 2x=2sin?2x-3?. ? ?

π π 5 令2x0-3=2kπ+2,得x0=kπ+12π(k∈Z), 因为x0∈D,所以x=x0时,f(x)取得最大值f(x0)=2.

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b2+c2-a2 4a2+c2-a2 1 (2) 由 余 弦 定 理 得 , cos A = = = 2bc 4ac 4
?3a ? + ?c

c? 1 ?≥ ×2 a? 4

3a c 3 c ·= 2 , a

3a c 当且仅当 c =a时取等号,即 c= 3a 时等号成立. π π π 因为 A 为△ABC 的内角,所以 0<A≤ ,则- <2A- ≤0, 6 3 3 所以-
? π? 3<2sin?2A-3 ?≤0, ? ?

故 f(A)的取值范围为(- 3,0].

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解三角形的实际应用
[例4] (2012· 郑州模拟)郑州市某广场 有一块不规则的绿地如图所示,城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境 标志,小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC、△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米, ∠C=∠D. (1)求AB的长度; (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因 素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由),最低造价 为多少?( 2=1.414, 3=1.732)

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[思路点拨]

(1)在△ABD及△ABC中利用余弦定理求解;

(2)造价最低,即面积最小.
[规范解答] (1)在△ABC中,由余弦定理得 ①

AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = , 2AC· BC 2×8×5 在△ABD中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = , 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D得cos C=cos D, 解得AB=7,所以AB的长度为7米.



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(2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 易知S△ABD=2AD· BDsin D, 1 S△ABC=2AC· BCsin C, 因为AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D, 所以S△ABD>S△ABC.

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故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低. 因为AD=BD=AB=7,所以△ABD是等边三角形,∠D=60° . 1 故S△ABC=2AC· BCsin C=10 3, 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元.

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(1)解有关正弦定理、余弦定理的实际应用题时,首先
要理清问题的情景,且要熟悉相关术语,如方位角、仰角、 俯角、坡度等概念. (2)解三角形应用题的关键是正确画出示意图,把实际 问题化归为解三角形的问题,然后根据已知与所求灵活选

用公式.

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6.如图所示,在某港口O要将一件重要物 品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,

在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西
30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的 航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的

大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确 定小艇航行速度的最小值;

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(3)是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,
总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定 v的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)设相遇时小艇航行距离为S海里,则 S= 900t2+400-2· 20· 30t· cos?90° -30° ? = 900t -600t+400=
2

? 1?2 900?t-3? +300 ? ?

1 故当t=3时,Smin=10 3,v=30 3,即小艇以每小时30 3 海里的速度航行,相遇时距离最小.

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(2)若轮船与小艇在B处相遇,由题意可得: (vt)2=202+(30t)2-2· (30t)· 20· cos(90° -30° ) 400 600 化简得v = t2 - t +900
2

?1 3?2 =400? t -4? +675, ? ?

1 1 1 由于0<t≤2,即 t ≥2,所以当 t =2时,v取得最小值10 13, 即小艇航行速度的最小值为10 3海里/小时.

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400 600 1 (3)由(2)知v = t2 - t +900,令 t =μ(μ>0),
2

于是有400μ2-600μ+900-v2=0,小艇总能有两种不同的航 行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,
??600?2-1 600?900-v2?>0, ? ∴? ?900-v2>0, ?

解得15 3<v<30,所以v的取值范围为(15 3,30).

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(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像求解析式 时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定ω;由图像上的关键点确定φ. (2)求函数的周期时,注意以下规律:相邻的最高点与最低 点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横 1 坐标与相邻零点的差的绝对值为4个周期.

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(3)若函数y=Asin(ωx+φ)中,A>0,ω<0,不易直接求 单调区间,一般的做法是:用诱导公式将函数变为y=- Asin(-ωx-φ),再利用y=Asin(-ωx-φ)的增区间为y=

-Asin(-ωx-φ)的减区间,减区间为其增区间转换即可.
(4)正弦定理揭示了三角形三边及其对角正弦的比例关 系,余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之 间的关系.在使用正弦定理求三角形内角时,要注意解的可 能情况,判断解情况的基本依据是三角形中大边对大角.

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