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高中数学必修四导学案


必修 4

第一章

3 ?? 5

度,与它有相同终边的角的集合为 。 。

__________,在[-2π ,0]上的角是

§4-1 任意角及任意角的三角函数
【课前预习】阅读教材 P2 ?17 完成下面填空 1.任意角(正角、负角、零角、锐角、钝角、区 间角、象

限角、终边相同角等)的概念;终边 相同的角定义。 2. 把长度等于 的弧所对圆心角叫 1 弧度角; 以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 . 2. sin1 ? cos 2 ? tan 3 的结果的符号为 3.已知角 ? 的终边过点 P(4,?3) ,则

sin a =_______, cos a =_______, tan a =_______。

4.函数 y ? 值域是

sin x | cos x | tan x 的 ? ? | sin x | cos x | tan x |


1? =

o

rad,

1 rad=



3.任意角的三角函数的定义:设 ? 是一个任意角,

5.已知扇形的周长是 6cm ,面积是 2cm ,则扇 形的中心角 ? 的弧度数是 强调(笔记) : 。

2

P( x, y ) 是 ? 终边上的任一异于原点的点,则

sin? ?

, ?? cos

, ?? tan



4.角 ? 的终边交单圆于点 P,过点 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则角 ? 的正弦线用有向线段 表示,余弦线用 表示,正切线 用什么表示呢? 5. (1)终边落在第一象限的角的集合可表示 为 ; (2)终边落在 X 轴上的角的集合可表示 为 。 6. ? 的值在第 sin 第 象限及 象限及 7.扇形弧长公式 l = 扇形面积公式 S= 强调(笔记) : 象限及 为正; ? 在 cos 为正值; tan ? 在第 象限为正值. ; 。

【课中 35 分钟】 边听边练边落实 6..已知 ? 是第二象限的角, 问:(1) 2? 是第几象限的角? (2)

? 是第几象限的角? 2

7.已知角 ? 的终边过点 P(a, ?2a)(a ? 0) , 求: (1) tan ? ;

(2) sin ? ? cos ? 。
【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1. ? 570
0

=

弧度,是第___

_象限的角;



94



8.已知角 ? 的终边上有一点 P(? 3, ? )(? ? 0) 且

3.下列各命题正确的是 A.终边相同的角一定相等; B.第一象限的角都是锐角; C.锐角都是第一象限的角; D.小于 90 的角都是锐角。
0

( )

sin ? ?

2 ?, 4

求: cos ? , tan ? .

4.若 sin ? ? cos? , 且 sin ? ? cos ? ? 0, 则 ? 是第 象限的角。

5.已知角 ? 的终边上一点的坐标为(-4,3) , 9. 已知一扇形的中心角是 ? ? 75 , 所在圆的的半径
o

则 2 sin ? ? cos ? 的值为 6.已知角 ? 的终边上一点的坐标 为 s (n i



是 R ? 12cm, 求:扇形的弧长及该弧所在弓形面积。

2? 2? ) ,则角 ? 的最小正值为( , cs o 3 3 5? 2? 5? 11? A. B. C. D. 6 3 3 6

)

7.已知角 ? 的终边上有一点 A(4t ,?3t )(t ? 0) , 强调(笔记) : 求: 2 sin ? ? cos ? 的值。

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.若点 P 在 标是( 8.已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad, 求:该扇形的面积。

2? 的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐 3

0

) 。
0

? 2 . 若 ? ? 1690 ,?与?的终边相同,且 360
< ? < 360 ,则 ? =
0

_。

互助小组长签名:



95



§ 4-2

同角三角函数的基本关系

【课前预习】 阅读教材 P ?22 完成下面填空: 18 1、 同角三角函数关系的基本关系式: (1)平方关系: (? ? (2)商数关系: (? ? (3)倒数关系: (? ?

【课中 35 分钟】 边听边练边落实 6.化简 (1)

1 ? (sin 4 x ? sin 2 x cos 2 x ? cos 4 x) ? 3sin 2 x ; 2 sin x

) ; ) ; ) 。 (2)

1 ? cos? 1 ? cos? ? ( ? 为第四象限角) 1 ? cos? 1 ? cos?

【课初 5 分钟】 课前完成下列练习,课前 5 分钟回答下列问题: 1.若 sin? ? ?0.4 ( ? 是第四象限角) , 则 cos? = , tan? = 。 2.若 sin ? ? cos? ? 则 sin? cos? ? 3.若 ? 是第四象限角,且

2,
。 7.已知 sin ? cos? ?

求 cos? - sin ? 的值。 。

1 ? ? ,且 ?? ? , 8 4 2

tan ? ? ?

5 , 则 sin ? ? 12


4.若 0 ? ? ?

?

2 则 tan? ? cot? 的最小值为



5.若 0 ? 2x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2 x ? cos 2 x 成立的 x 的取值范围是 ( ) ? 3 A、 (0, ) B、 ( ? , ? ) 4 4 ? 3 ? 5 C、 ( , ? ) D、 [0, ] U [ ? , ? ] 4 4 4 4
强调(笔记) : 8.已知 tan? ? 2, 求下列各式的值: (1)

2 sin ? ? 3 cos? ; 4 sin ? ? 9 cos?



96



(2) sin? cos? ;

5.求证:

cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

(3)2 sin ? ? 3 sin? cos? ? 4 cos ? 。
2 2

6.已知 sin? ?

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3. 4.

m?3 , m?5 4 ? 2m ? cos? ? ( ?? ??), m?5 2 求(1)m 的值; (2) tan? 的值。

【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1.已知 cos? ?

7.已知 tan? ?

则 sin ? 的值是 2.已知 tan ? ?

1 , 且 tan? ? 0 , 5


2, cos? ? sin? 求(1) ; cos? ? sin?
(2) sin
2

? ? sin ? ? cos? ? 2cos2 ? 。

则 sin ? 的值为___________;

1 3 , 且 ? ? (? , ? ) , 2 2

3.已知 sin ? ? cos ? ? ? (0 ? ? ? ? ) , 则 tan ? ? ;

1 5

4. 已知 sin ? ? cos ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? ?

5 4



互助小组长签名:



97



§ 4-3

正弦、余弦的诱导公式

(2) cos 2 ( ?? ) ?

【课前预习】 阅读教材 P ?29 完成下面填空: 23 诱导公式: (1)角 2k? ? ? (k ? Z ),? ? ? , 2? ? ? , ?? 的三 角函数值与角 ? 三角函数值的关系分别是 什么? 3.计算

tan(360o ? ? ) 。 sin( ?? )

(1) sin 420o ? cos750o ? sin(?330o ) ? cos(?660o )

口诀为:

(2) sin 25? ? cos 25? ? tan(? 25? ) 。

6

3

4

(2)角

?
2

??,

3? ? ? 的三角函数值与角 ? 三角 2
4.sin (
2

函数值的关系分别是什么?

π π -x)+sin2(6 +x)= 3



强调(笔记) :

口诀为: 【课初 5 分钟】 课前完成下列练习,课前 5 分钟回答下列问题: 1. 求下列三角函数值: (1) sin

【课中 35 分钟】 边听边练边落实 5.化简:

11? 3

=
o



3 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) 2 cot(?? ? ? )sin(?? ? ? )

(2) cos( ?2040

)=

; 6.已知 ? 是第三象限的角, 。 且 f (? ) ?

16? (3) sin( ? )= 3
2.化简下列各式:

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? cot(?? ? ? ) sin(? ? ? )

3? ) 2

sin (1)

3

(?? )cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ;

(1) 化简: f (? ) ;



98



3? 3 (2) 若 cos( ? ? )? , 2 5
求: f (? ) 的值;

4.若 cos(?

??) ?

1 4



则 sin(2? ? ? ) ?



5.函数 f ( x) ? ax ? b cos x ? 3 ,
2

若 f (? 2 ) ? 5 ,则 f ( 2 ) ?



7.已知函数

6.已知 cos? ? 求:

1 ? , 且 ? ? ? ? 0, 3 2

f ( x) ? ax ? b sin x ? 1, 若f (5) ? 7, 求:f (?5).

cot(?? ? ? ) sin(2? ? ? ) 的值。 cos(?? ) tan?

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1. tan300°+sin450°的值为 7.已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 9? ) ? ? , 求: tan? 的值.

3 5



4 2.已知 cos(π +θ )=- ,θ 是第一象限角,则 5 sin(π +θ )= , tanθ = 。 互助小组长签名:

3.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? 3 的 奇偶性为 ;



99



§ 4 4【课前预习】

三角函数的图象

位后所得图象的函数解析式为 5.函数 y ? tan(2 x ? ? ) 的图象过点 ( 的一个值是 强调(笔记) :



?
12

,0), 则 ?

阅读教材 P ?34 完成下面填空: 30 1. “五点法”画正弦函数 y ? sin x, x ? ? 0, 2? ? 的 简图, 五个特殊点是 ( ( , ) ( , , ) ( ) 、 ( , , ) 。 )

2. 由函数 y ? sin x 的图象到函数

y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 的图象的变换方法之一 3
为: ① 将 y ? s i nx 的 图 象 向 左 平 移 个单位得

?

【课中 35 分钟】 边听边练边落实 6. 画出下列函数的简图: (1) y ? ? sin x, x ?[0,2? ] ; (2) y ? 1 ? cos x, x ?[0,2? ] 。

y ? sin( x ?

?
3

) 图象,

7. 试说明下列函数的图象与函数 y ? sin x 图象间

②再保持图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来 的 得 y ? sin(2 x ?

?
3

的变换关系: (1) y ? sin(x ?

) 图象,

③再保持图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来 的 倍得 y ? 2sin(2 x ?

?
3

) 图象,

); 3 2? (2) y ? sin(2 x ? ) ? 2; 3
(3) y ? 2 sin x 。

?

④最后将所得图象向

y ? 2 s i n (x ? 2

?
3

平移 2 个单位得

?) 的图象. 2

这种变换的顺序是: ①相位变换 ②周期变换 ③振幅变换。 若将顺序改成②①③呢? 【课初 5 分钟】 课前完成下列练习,课前 5 分钟回答下列问题: 1.函数 y ?

8. 函数 f (x) 图象的一部分如图所示,则 f (x) 的 解析式为 A. f ( x) ? 4 sin ( )

1 ? sin(2 x ? ) 的振幅是 ______, ; 2 9 频率是 ______, ,初相是 ______ ;

?x
3

? 3.5

B. f ( x) ? 3.5 sin

2. “五点法” 用 画函数 y ? 2 sin(x ? 所取五点为( ( , ) ( , )( 、 , ) (

?
3

) 的图象时,
) ) 。

, ,

?4 6 ?x C. f ( x) ? 3.5 sin ? 4.5 3 ?x D. f ( x) ? 4 sin ? 3.5 6
7.5

?x

3 . 函 数 y ? 1 ? s inx, x ? [0,2? ] 的 图 象 与 直 线

4

y ? 2 交点个数是 _____ 个。
0.5 4. 如果把函数 y ? cos(? x) 的图象向右平移 2 个单 0 3 9



100



【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3.

5.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? ) 的一段图象如下图所示, 求:函数的解析式. 2

?
4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1.要得到函数 y ?

? 0
8

3? 8

?2

2 cos x 的图象,只需将函数

) 图 象 上 的 点 的 ___ 坐 标 4 _____ 到原来的 ____ 倍,再向 ___ 平移 ____
个单位。 2.将函数 y ? sin(x ?

y ? 2 sin(2 x ?

?

6.解不等式: sin x ?

3 ( x ? R) 。 2

?
3

) 的图象上所有点的横坐

标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得的 图象向左平移 式是 3.函数 y ? ?2 sin(4 x ?

? 个单位, 所得的图象对应的解析 3
。 7. (1)画出函数 y=2sin(3x+

2? ) 的图象与 x 轴的交点 3 中,离原点最近的一点是 __________ 。

? )的图象。 4 ? (2)讨论函数 y=2sin(3x+ )的图象如何由 4
y=sinx 的图象变换得到?

4.若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? )的最小值为 ?2 , 周期为

2? ,且它的图象过点 (0, ? 2) , 3

求:此函数解析式.

互助小组长签名:



101



§ 4-5
【课前预习】

三角函数的性质

5.已知 y ? a sin x ? b 的最大值为 3, 最小值为-1, 求: a,b 的值。 ,

阅读教材 P ? 41 完成下面填空: 34 1. 正弦函数 y ? sin x 、的定义域为 值域为 单调递增区间 , 。 , 。 , 。 ,

2. 余弦函数 y ? cos x 的定义域为 值域为 单调递增区间 3.正切函数 y ? tan x 的定义域为 值域为 单调递增区间 , ,

强调(笔记) :

【课中 35 分钟】 边听边练边落实 6.求:函数 f ( x) ? log sin x (1 ? 2 cos x) 的定义域:

4.正弦函数、余弦函数的最小正周期 T=

f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的 最 小
正周期公式是 T= 正切函数的最小正周期 T= ; , 公式是 。

【课初 5 分钟】 课前完成下列练习,课前 5 分钟回答下列问题: 1. 函数 y ? cos(2 x ? 函数 y ? tan(3x ?

7. 求下列函数的值域: ⑴ y ? 3 tan x( x ? 1);

?
6

) 的周期为 ______;
⑶ y ? cos x ? sin x ? 1( x ?
2

?

?
3

)。

4

) 的周期是 ______;

n 函 数 y ? 3 s i x 的 周 期 为 _______ 。
2. y ?

0.25 ? sin x 的值域是____________。

3.函数 y ? sin 2 x 的对称轴方程为 _______ , 函数 y ? cos(x ?

?
2

8.设函数

) 的对称中心坐标为


f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图 象
的一条对称轴是直线 x ?

?
8

,

4.不等式 tan x ? ?1 的解集是



(1) 求 ? ;



102



5.若函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) 对任意实数 x 都

(2) 求:函数 y ? f (x) 的单调减区间。
有 f(

?

则 f ( ) ? ________。

?

6

? x) ? f (

?
6

? x),

6

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1.判断函数的奇偶性: ①y?

6.已知函数 y ? sin(?x ?

?
3

则 ) 的最小正周期为 3,

?=



设 函 数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

), 若 对 任 意

x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则
x1 ? x 2 的最小值是__
_____。

lg cos x _____

_____; _____。

7.求:函数 y ? log 1 [cos( ?
2

x 3

?
4

)] 的单调区间。

3? ② y ? sin( ? x) _____ 2

2. 函 数 y ? t a x ?( ) 的 对 称 中 心 是 n

?

4

___________,函数 y ? s in(2 x ? 方程是___________。

?
3

) 的对称轴

8. 求:函数 y ?

sin x ? 16 ? x 2 的定义域。

3. y ? cos 2 x 的单调递减区间为____________;

y ? 2 sin(? x) 的单调递增区间为__________。

4 . 若 f (x) 是 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? x 2 ? s i x, 则 x ? 0 时 n

互助小组长签名:

f (x) ?





103



第一章三角函数单元测试
班级 一、选择题(5 分×7=35 分): 1、化简 sin 600 的值是 B. ?0.5
0

姓名





A. 0.5

C.

3 2

D. ?

3 2
( )

2、已知 sin ? ? A. ?

4 3

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4

3、已知角 ? 的终边过点 P(4a,-3a) (a<0),则 2sin ? +cos 2 A. 5 4、已知 A.-2 2 B.- 5 C.0

? 的值是





D.与 ? 的取值有关 ( D.- )

sin ? ? 2 cos ? 3sin ? ? 5cos ?
B.2
2

? ?5, 那么tan? 的值
C.

23 16

23 16
( )

5、化简 1 ? sin 160? 的结果是 A. cos160? B. ? cos160? C. ? cos160? D. ? cos160?

6、下列函数中,在区间 ? 0, ? 上为增函数且以 ? 为周期的函数是 ? 2? A. y ? sin

?

??





x 2

B. y ? sin x

C. y ? ? tan x

D. y ? ? cos 2 x

7、把函数 y ? sinx 的图象向右平移

? 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,所得到的函数的解析式为 8

( A. y ? sin(



1 ? x- ) 2 8

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2x -

1 2

?
8

)

C. y ? sin(2x -

?
8

)

?
4

)

二、填空题(5 分×4=20 分) : 8.已知 cos? ?

1 ? cos(?? ? ? ) sin(2? ? ? ) tan(2? ? ? ) ,且 ? ? ? ? 0 ,则 = 3? ? 3 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 2 2

.



104



9.函数 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) (0 ? x ? ? ) 的递减区间是
3 ?? ? ? , 则 tan ?? ? ? = 2 4? ?
. .



10. 已知 cos ? ? ? , 且? ? ? ? 11、函数 y ? cos(x ? 三、解答题(共 45 分) :

3 5

?

? 2 )( x ? [ , ? ]) 的最小值是 8 6 3
2

12、 分)求值 sin 120? ? cos180? ? tan 45? ? cos (?330?) ? sin(?210?) (8
2

13、 (12 分)已知 ? ? (0, ? ) , sin ? ? cos ? ?

1 2

求 (1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos?

14、 (12 分)已知函数 y ? Asin(? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 点(
5? ,) 0 ,求这个函数的解析式. 9

2? ,最小值是-2,且图象经过 3

15.求函数 y ? 3sin x ? 4sin x ? 1 , x ? ?
2

?? ? , ? 的值域(13 分) ?3 ? ?



105



§ 4-6 两角和与差的三角函数公式
【课前预习】 阅读教材 P ?131 完成下面填空: 124

【课中 35 分钟】 边听边练边落实 7. 求值:

2 sin 50? ? sin 80?(1 ? 3 tan10?) 1 ? cos10?



sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?




tan(? ? ? ) ?
注意公式的“三用” : 指 用、 用和 用。



【课初 5 分钟】 课前完成下列练习,课前 5 分钟回答下列问题: 1.(1) sin17? cos 47? ? sin 73? cos 43? = ; __。 。

? 4 8.设 ? ? ( , ? ), 若 sin ? ? , 2 5
试求: (1) 2 cos(? ? (2) tan(? ?

?
4

);

?
3

)。

1 ? tan15? (2) =_________ 1 ? tan15?
2. (1 ? tan 26 ? )(1 ? tan19 ? ) ? 3.若 tan ?

则 cot ? 等于

?π ? ?? ? ? 3 , ?4 ?


4.若 tan ? ? 3 , tan ? ? 则 tan(? ? ? ) 等于

4 , 3
。 9.设 cos ? ?

1 11 , cos(? ? ? ) ? ? , 7 14 2

5.化简:

3 1 sin ? ? cos ? =______ 2 2

_____。

2 求: ? .

? ? ? ? (0, ) , ? ? ? ? ( , ? ) ,

6.求值:

2 sin 50 0 (1 ? 3 tan10 0 ) 。

强调(笔记) :



106



1 10. 求证: ? sin 2? . ? ? 4 cot ? tan 2 2

cos ?
2

6. 若 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? A. (0, ) 6 C.(

?
2

), 则 ? ?(

)

?

B.( D.(

? ?

, ) 6 4 , ) 3 2

? ?

, ) 4 3

? ?

7. 设 cos(? ? ? ) ? ?

4 12 , cos(? ? ? ) ? , 5 13 ? 3? ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? ? ? ( ,2? ) , 2 2 求: cos 2? , cos 2? 的值。

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1. cos 8. 已知 tan(? ? ? ) ?

?
6

? 3 sin

?
6

? ________ 。

且 ?、 ? ? (0, ? ) , 求: 2? ? ? 的值。

1 1 , tan ? ? ? , 2 7

2 . sin 62? cos 28? ? cos118? sin 152? =_______ ;

cos 15? ? sin 15? ? ______ 。 cos 15? ? sin 15?
3. tan10? tan 20? ? 3 (tan10? ? tan 20?) = 。

4.在 ?ABC 中,若 cos A ? 的值是_________。

4 5 , cos B ? , 则 cos C 5 13
互助小组长签名:

5.

2 cos10? ? sin 20? 的值为_________。 sin 70?



107



§ 4-7

二倍角的正弦、 余弦、 正切公式

强调(笔记) :

【课前预习】 阅读教材 P ?138 完成下面填空: 132 1. cos 2? ? = = ; ; ; ; 。 【课中 35 分钟】 边听边练边落实 6.若 f(sinx)=3-cos2x, 求 f(cosx)

sin 2? ?
tan 2? ?

2. 在二倍角公式中, 可得降次公式:

sin 2

?

? 2 【课初 5 分钟】 cos 2

?

2

?

; 。

课前完成下列练习,课前 5 分钟回答下列问题: 1.已知 3 sin x ? 2 cos x ? 0 ,则 tan 2x =_______。

7.已知 cos(

?

3 3? ? ??) ? , ? ?? ? ? , 4 5 2 2

求 cos(2? ? )的值。 4

?

2. 若 sin?

?? ? 1 ?? ? ? , ?6 ? 3 ? 2? ? ? 2? ? = ? 3 ?


则 cos?

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x , 则( )

A. 0 ? x ? ?

5? C. ?x? 4 4

?

7? 4 4 ? 3? D. ? x ? 2 2
B.

?

?x?

8. 已知 tan(α ? β ) ? 。

1 1 , β?? , tan 2 7

4.化简 sin 6? cos 24? sin 78? cos 48? = 5.已知 sin 2? ? 3 , 3? ? ? ? ? ? ), (? 5 4 2 求:cos ?的值。

且α,β ? (0,π ),
求 2α ? β 的值。



108



9.求证: tan

? sin ? 1 ? cos ? ? ? 2 1 ? cos ? sin ?

6.已知 sin ? ? cos 2? , ? ? (

?
2

, ? ),

求:tan ?

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1.求值: (1) sin 22 30? ? cos 22 30? ?
? ?

7.若 tan ? ? 3 ,求: sin 2? ? cos 2? 的值

8.化简

(2) 8sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

1 ? sin 4? ? cos 4? 。 1 ? sin 4? ? cos 4?

?

2.已知: tan x ? 2 ,则 tan 2( x ?

?
4

)?

3.化简 2 ? sin 2 ? cos 4 =
2

4.化简 cos 2? ? 2 sin ? 得
2

互助小组长签名: 5.设 f (tan x) ? tan 2 x ,求 f (2)

§ 4-8
【课前预习】

三角函数的最值问题

阅读教材 P ?142 完成下面填空: 139 1. (1)设 M 和 N 分别表示函数 y ?

1 cos x ? 1 的最大 3 值和最小值,则 M+N 等于_____ __.



109



2 (2)函数 y ? 4 sin x cos x 在区间[0, ? ]上的最大 3 值为_______,最小值为_______.
2.(1)函数 y ? sin x ? cos x 的最大值为_______,最 小值为_______. (2)函数 y ? 2 sin( _______. 8. 求:函数 y ? (4 ? 3sin x)(4 ? 3 cos x) 的最小值。

?
3

? x) ? sin(

?
6

? x) 的最大值为

5 5 3. 函数 y ? sin 2 x ? sin x ? 的最大值为_______, 2 2 最小值为_______.
4.函数 f ( x) ? sin x ? 小值是_______. 5.求函数 y ?

1 , x ? (0, ? ) ,则 f (x) 的最 sin x

9. 扇形 AOB 的半径为 1,中心角为 60? , PQRS 是 扇形的内接矩形,问 P 在怎样的位置时,矩形 PQRS 的面积最大,并求出这个最大值。 B

cos x 的最大值。 cos x ? 1

Q

P

O R S

A

强调(笔记) :

【课中 35 分钟】 边听边练边落实: 7. 求函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[ ? 的最大值与最小值。

10.已知函数

f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

? ?

, ]上 2 2

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 3 求函数 f (x) 的最大、最小值.

?

,



110



【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问: 1.当 ? ? ? x ? ? 时, 7. 求函数 y ? sin x(cos x ? sin x)(0 ? x ? 值。

?
4

) 的最大

2

2

函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的最大值是 ,最 小值是 。

www.xkb1.com

2. 函数 y ? cos2 x ? 3 cos? 2 的最小值为
1 的最大值是 2 ? sin x ? cos x



1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1 , 2 2 x?R (错误!未找到引用源。 )当函数 y 取得最大值时, 求自变量 x 的集合;
8. 已 知 函 数 y ? (错误!未找到引用源。 该函数的图象可由 )

3.函数 y ?



y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的平移
和伸缩变换得到?

4.若函数 y ? a ? b sin(4 x ? 值分别为 5 和 1,则 ,b ? a? 5.函数 y ? 2 sin(

?
3

) 的最大值和最小



?
3

? x) ? cos(


?
6

? x) 的最小值为
互助小组长签名:

6. 求函数 y ? cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ?

7 的最大值。 4

《三角恒等变换》单元测试题
班级 姓名



111



一、选择题(5 分×7=35 分): 1.sin14? cos16? +sin76? cos74? 的值是 A. ( )

3 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

1 2
( )

2.在△ABC 中, cos Acos B ? sin Asin B ,则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 3.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? ? cos ? , ? , 且 a ∥ b ,则锐角 ? 为 A、 30? 4.下列各式中值等于 B、 60? C、 45?

D.无法判定 ( D、 75? ( ) )

?

3 2

?

? ?

1? 3?

?

?

1 的是 2
tan 22.5 1 ? tan 2 22.5?
?

A、 sin15 cos15 5.函数 y ? sin

?

?

B、

C、 cos

2

?
12

? sin 2

?
12

1 ? cos
D、

?
3

2
( )

x x ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 11 5? 5? A、 x ? ? B、 x ? C、 x ? ? 3 3 3
2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3
B.

D、 x ? ?

?
3
( )

6.已知 cos 2? ?

A.

13 18

11 18

C.

7 9

D. ?1

7.把函数 y=sin2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? ? 3 的图象,则向量 a 可以是( 6?
D. ? ?



A. ?

?? ? ,3 ? ?6 ?

B. ? ?

? ? ? ,3 ? ? 6 ?

C. ? ?

? ? ? , ?3 ? ? 12 ?

? ? ? ,3 ? ? 12 ?

二、填空题(5 分×4=20 分) : 8. cos75 ? ·cos15 ? 的值是 。 9. cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ .
? ? ? 10. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值是
?

. 。

11、已知 cos(? ? ? ) ?

1 , ? ? ? ? 2? ,则 sin 2? 的值是= 3
2

三、解答题(共 45 分) :www.xkb1.com 12.化简: [2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° ]· sin 80? (10 分) ) .



112



13.已知

π 3π 12 3 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值(10 分) 2 13 5 4

14.已知函数 y ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x ,
2 2

(1)求此函数的最小正周期; (2)求此函数的单调递减区间(12 分) 。

15.(本题满分 13 分) (1)已知 tan? ? ?2 ,且 ? 是第二象限的角,求 sin ? 和 cos ? ; (2)已知 0 ? x ?

?

?? ? 5 , sin? ? x? ? , 求 ?4 ? 13 4

cos 2 x 的值. ?? ? cos? ? x? ?4 ?



113



①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点

必修 4 第二章 §2-1、2 平面向量及运算法则
【课前预习】阅读教材 P74-P113 完成下面填空 1、向量: (1)概念:既有 又有 的量叫做向量 (2)表示:可以用有向线段来表示,包含三个要 素: 、 和 ;记为 AB 或 a

必在一直线上;? ②两个单位向量是相等向量;? ③若 a=b, b=c,则 a=c; ④若一个向量的模为 0,则该向量的方向不确定; ⑤若|a|=|b|,则 a=b。 错误!未找到引用源。若 a 与 b 共线, b 与 c 共线, 则 a 与 c 共线 其中正确命题的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个

??? ?

?

???? ? ?? ? ??? ? (3) AB 的长度叫向量的模, 模: 记为 | AB | 或 | a |
(4)零向量:零向量的方向是任意的 单位向量是____________的向量. (5) 相等向量: 的向量叫相等向量; (6)共线向量: 的向量叫平行向量, 也叫共线向量 2、向量运算的两个法则: 加法法则: (1)平行四边形法则,要点是:统一起点; (2)三角形法则,要点是:首尾相接; 减法法则:向量减法运算满足三角形法则,要点是 统一起点,从 指向 。 3、实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫 做向量的数乘,记作 ? a , 其长度与方向规定如下: (1)| ? a | = | ? || a | ; (2)? > 0 时,? a 与 a 同

2、如图所示,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、 BC、CA 的中点,则 AF ? DB =( )
C

A. FD C. FE

B. FC
F E B

D. BE

A

D

3、在平行四边形 ABCD 中,下列各式中成立的是 ( ) A. AB ? BC ? CA C. AC ? BA ? AD

???

??? ?

?? ?

B. AB ? AC ? BC D. AC ? AD ? DC

???

??? ?

??? ?

??? ?

?? ?

???

??? ?

???

??? ?

?

?

4.下面给出的四个式子中,其中值不一定为 0 的 是( ) A. AB ? BC ? CA

?

?

?

?

?

??? ??? ??? ? ? ?

B. OA ? OC ? BO ? CO

??? ???? ??? ??? ? ? ?

? ? ? ? 向;? < 0 时,? a 与 a 反向; (3)? = 0 时,? a = 0
4、向量的线性运算满足: (1) ? ( ? a ) ? (2)( ? ? ? ) a = (3) ? ( a ? b) = 5、 a // b ? b ? ? a (a ? 0) 其中 ? ? R 且唯一

C. AB ? AC ? BD ? CD D. NQ ? QP ? MN ? MP 强调(笔记) :

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

???? ??? ???? ???? ? ?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

【课中 35 分钟】边听边练边落实 5 . 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A B ? A ? D A 则必有 D ? B A ( ) A.

???? ? AD ? 0

B.

??? ? ???? ? ? AB ? 0或 AD ? 0

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.给出下列命题:?


C. ABCD 是矩形

D. ABCD 是正方形

6、如图所示,OADB 是以向量 OA = a ,OB = b 为

114



边的平行四边形,又 BM=

1 1 BC,CN= CD.试用 3 3

1. 2. D 3. 4.

a , b 表示 OM , ON , MN .
B M C O N N A

【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 下面的几个命题: ①若 a ? b ? b 则a与b共线 ;

7、设两个非零向量 e1 、 e 2 不是平行向量 ( 1 ) 如 果 AB = e1 + e 2 , BC =2 e1 +8 e 2 ,

②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向 量; ③若 a, b 满足 a ? b 且 a 与 b 同向,则 a ? b ; ④由于 0 方向不定,故 0 不能与任何向量平行; ⑤对于任意向量 a , b, 有 a ? b ? a ? b ? a ? b 其中正确命题的序号是: ( ) A.①②③ B.⑤ C.③⑤

? ?

?

?

?

?

?

?

CD =3( e1 ? e2 ),求证 A、B、D 三点共线;
(2) 试确定实数 k 的值, k e1 + e 2 和 e1 + k e 2 是 使 两个平行向量.

?

?

? ?

D.①⑤

2.设 D、E、F 分别为△ ABC 的边 BC、CA、AB → → → 的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AB 1 1 → =- a-b ②BE=a+ b 2 2 1 1 → ③CF=- a+ b 2 2

→ → → ④AD+BE+CF=0.其中正确的命题个数为 变式: 已知 OA 、 OB 不共线, OP =a OA +b OB . 求证:A、P、B 三点共线的充要条件是 a+b=1. ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

3. 设 两 非 零 向 量 e1 , e 2 , 不 共 线 , 且

? ?

? ? ? ? k (e1 ? e2 ) //(e1 ? ke 2 ) ,则实数 k 的值为(
A.1 B.-1 C. ?1 D.0



强调(笔记) :

互助小组长签名:

必修1 第一章 §2-3、4 平面向量
【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 【课前预习】阅读教材 P93-112 完成下面填空 1.平面向量的基本定理:
第 115 页

如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那 么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实 数λ 1,λ 2 使 a= (2)平面向量的坐标运算: 两个向量和与差的坐 标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;一个向 量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 减 去 始 点 的 坐 标 。 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则

? ? a ? ? b =___________ ? ? ? ③ ? a+b ? ? c =___________
② (5)平面向量数量积的坐标表示 已知非零向量 a= ? x1 ? y1 ? ,b= ? x 2 ? y 2 ? ,a ? b= (6)平面内两点间的距离公式 设 a=(x,y), a = ___

? ?

?

?

? ?

?

?2

或 a =___________ 。

?

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2?
y1); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标. (3)向量共线的两种判定方法:a∥b

3.向量垂直的判定

? ? a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , 则 a?b ? a?b = 0 ;

? ( b ? 0 ) ? a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

4.平面向量的应用
(1)能用平面向量知识处理平面几何中的一些问 题,如长度、角、距离,平行、垂直等问题。 (2)用向量知识把日常生活中的问题转化为数学 问题,建立数学模型解决实际问题。

2.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义:已知两个非零向量 a 与b,它们的夹角是θ ,则数量|a||b|cos?叫 a 与b 的数量积, 记作 a?b, 即有 a?b = |a||b|cos?, 0≤θ≤π) ( 。 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。注意:两个向 量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的 符号所决定. (2)向量的数量积的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. (3)两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是单位向量; 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0; 3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, a?b 当 a?b = ?|a||b|. 特别地 a?a = |a|2 或 | a |?

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.下列说法中,正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示 该平面内所有向量的基底; ②一个平面内有 无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量。 A.①② B.①③ C.②③ D①②③ 2.若向量 a = (1,1), b = (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( A、 ? )

a ?a

?

?

?

?

a ?b 4? cos? = | a || b |
5? |a?b| ≤ |a||b|。

1 ? 3 ? a+ b 2 2

B、

1 ? 3 ? a? b 2 2

C、 (4)向量的数量积满足下列运算律

3 ? 1 ? a? b 2 2
?

D、 ?

3 ? 1 ? b a+ 2 2
?

??? b, 已知向量 a, c 与实数 ? 。 ? ? ① a ? b =___________(______律)

3.已知向量 a ? (?2,4) b ? (1,?2)则 a 与 b 的 关系是( A.不共线 ) B.相等

?

?

C.同向

D.反向



116



4.已知 a ? (?1,3),b ? (x ,?1) , a // b , x= 且 则 ( A.3 ) B.-3 C.

?

?

? ?

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.设向量 a=(1,-3) ,b=(-2,4) ,c=(-1,-2) ,若表 示向量 4a、4b-2c、2(a-c) 的有向线段依次首 、d 尾 相 接 能 构 成 四 边 形 , 则 向 量 d 为 ( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 2 . 已 知 向 量 a ? (3,4), b ? (sin ? , cos? ), 且

1 3

D. ?

1 3

强调(笔记) :

【课中 35 分钟】边听边练边落实 5. 设 e1 , e 2 是同一平面内所有向量的一组基 底,则以下各组向量中,不能作为基底的是 ( ) A. e1 + e 2 和 e1 - e 2 C. e1 +2 e 2 和 2 e1 + e 2

? ?

?

?

? ? ?

B. 3 e1 -2 e 2 和 4 e1 -6 e 2

?

?

?

?

?

?

?

D. e1 + e 2 和 e 2

?

?

?

a ∥ b ,则 tan? =
A.



) C.

6.已知:|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b, ③a 与 b 的夹角是 60° 时,分别求 a· 与 | a+ b| b

3 4

B. ?

3 4

4 3

D. ?

4 3
?

3.设 e1,e2 是两个单位向量,它们的夹角为120 , 则(2e1-e2) 1+2e2)= (3e . 4.若 a=(λ,2) ,b=(-3,5) 与 b 的夹角为 ,a 钝角,则 λ 的取值范围为 ( ) 10 A.( ,+∞) 3 10 B.[ ,+∞) 3 10 D.(-∞, ] 3

? ? ? ? ? ? 7. 设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 及 3a ? 2b ? 7 ? ? (1)求 a, b 所成角的大小。 ? ? (2)求 3a ? b 的值。

10 C.(-∞, ) 3

5. (江西卷文 13)已知向量 a , b 满足 | b |? 2 , a 与 b 的 夹 角 为 60? , 则 b 在 a 上 的 投 影 是 ; 6.已知|a|=3 ,b=(1,2) ,且 a∥b,求 a 的坐标

?

?

?

?

?

?

?

互助小组长签名: 强调(笔记) :



117



必修 4 第二章 向量练习
【课前预习】完成下面填空 1.平面向量的实际背景及基本概念 从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念, 明确向量与数量的区别,理解向量的基本概念: 向量 的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等, 2.平面向量的线性运算 (1)掌握向量的加减法运算,会用向量加法的三 角形法则和平行四边形法则作两个向量的和或差 向量, (2)掌握实数与向量积的定义及几何意义;理解 向量共线的充要条件。 3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量的基本定理: (2)平面向量的坐标运算 向量共线的两种判定方法 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , a∥b( b ? 0 ) ? a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 向量垂直的两种判定方法 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , 则 a?b ? a?b = 0; ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

2. 已知|a|=3, |b|=5, 如果 a∥b, a· 则 b= 3. 安徽卷理 3 文 3) ( 设向量 a ? ?1,0 ? , ? ? b 则下列结论中正确的是 A、 a ? b C、 a ? b 与 b 垂直 B、 a ? b ? D、 a ∥ b

.

?1 1? , ?, ?2 2?

2 2

→ → 4.在△ ABC 中, =a, =b, a· AB BC 且 b<0, 则△ ABC 的形状是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 ( ) B.直角三角形 D.不能确定

5、设 a 表示“向东走 3km” b 表示“向北走 3km” 则 a + b 表示

?

?

? ?



?

?

强调(笔记) :

?

?

?

4.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义: (2)向量的数量积的几何意义: 5.平面向量的应用 能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题, 如长度、角、距离,平行、垂直等问题。 【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1. 已知AM为△ABC的BC边上的中线, AB 若 = a , AC = b ,则 AM =( 7. 设向量 a, 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3, b 求|3a +b|的值. 【课中 35 分钟】边听边练边落实 6.设 AB = a +5 b , BC =-2 a +8 b ,CD =3 a -3 b , 那么下列各组的点中三点一定共线的是( A. A,B,C B. A, C, D C. A,B,D D. B,C,D )

?

?

?

?

?

?

?

?



? ? 1 ( a- b ) 2 ? ? 1 C.- ( a + b ) 2
A.

? ? 1 ( a- b ) 2 ? ? 1 D. ( a + b ) 2
B.-



118



→ → 8.在△ ABC 中,AB=(1,1),AC=(2,k),若△ ABC 中有一个角为直角,求实数 k 的值.

1.已知 a ? 3,4? ,b=? ? 5,12 则 a与 b 夹角的余弦为 ? ( A. )

?

?

? ??

63 65

B. 65

C.

13 5

D. 13

2.当|a|=|b|≠0 且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的 关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 3.与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是( A. ( , ) 9.某人在静水中游泳,速度为 4 3 千米/时,他在 水流速度为 4 千米/时的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向 前进?实际前进的速度为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的 方向前进?实际前进的速度为多少?

?

)

4 3 4 3 ( B. ? ? ) 5, 5 5 5 4 3 4 3 4 3 4 3 ( ? C. , )或(- ,- ) D.( , )或(- ,) 5 5 5 5 5 5 5 5
4 .( 重 庆 卷 理 2 ) 已 知 向 量 a, b 满 足

? ?

? ? ? ? ? ? a ? b ?0 , a ? 1 , b ? ,则 2a ? b ? ( 2,
A. 0 B.

) D. 8

2 2

C. 4 )

5.下列各式正确的是(

? ? ? ? A. a ? b = a b ? ? ? ? 2 ?? ?? B. a ? b =a 2 ? b2 ? ? ? ? ? ? ? C.若 a ? b-c , 则 a ? b=a ? c ? ? ? ? ? ? D. 若 a ? b=a ? c 则 b=c

? ? ? ?

强调(笔记) :

→ → 6.已知等边△ ABC 的边长为 1,且BC=a,CA=b, → AB=c,则 a· b+b· c+c· 等于 ( a ) 9 4

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问


3 A.- 2

B

3 2

C.0

D.

7.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小, 则实数 t 的值为___________。 新 课 标 第 一 网 系 列 资 料

?

?

?

?

www.xkb1.com
互助小组长签名:

119



第二章平面向量单元测试题
班级 一、 选择题(5 分×7=35 分): 1、下列命题正确的个数是 ① AB ? BA ? 0 ;② 0 ? AB ? 0 ;③ AB ? AC ? BC ;④ 0 ? AB ? 0 姓名 ( )

??? ??? ? ?
A、1

?

? ??? ?

?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

? ? ? ? 2、若向量 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1, 2) ,则 c 等于 ( ) 1? 3? 1? 3? 3? 1? 3? 1? A、 ? a ? b B、 a ? b C、 a ? b D、 ? a ? b 2 ? 2? 2 2 2? 2 2 ? 2 3、已知 a ? (1, 2) , b ? (2 x, ?3) 且 a ∥ b ,则 x ? ( ) 3 3 A、-3 B、 ? C、0 D、 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ②若不平行的两个非零向量 a , b 满足 a ? b ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ; ③若 a 与 b 平行,则 a ? b ? a ? b ;④若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中真命题的个
数是 ( A、1 B、2 C、3 D、4 ( D、30 ? ( D、 ) ) )

B、2

C、3

D、4

? ? ? ? ? ? 5、已知 a ? 3 , b ? 2 3 , a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角是
A、150 ? B、120 ? C、60 ?

6、若 a ? (3,4), b ? (2,?1), 且(a ? xb) ? (a ? b) ,则实数 x= A、23 B、

23 2

C、

23 3

23 4
( )

0 7、在Δ ABC 中,若 AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 60 ,则 BA ? AC ?

A、6

B、4

C、-6

D、-4

二、填空题(5 分×4=20 分) : 8、已知 a ? (5, x), a ? 13, 则x ? 9、已知 MA ? (?2, 4), MB ? (2, 6) ,则

????

????

? 1 ??? AB ? 2

10、若 A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且 A、B、C 三点共线,则 x= 11、已知向量 a ? (6, 2) 与 b ? ( ?3, k ) 的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 三、解答题(共 45 分) :

?

?

12、向量 OA ? (k ,12) , OB ? (4,5) OC ? (10, k ) ,当 k 为何值时,A,B,C 三点共线?(10 分)

??? ?

??? ?

????



120



13、在直角△ABC 中, AB =(2,3) AC =(1,k) , ,求实数 k 的值。 (10 分)

??? ?

????

14、 已知 e1 、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? 3e2 (1)求 a ? b (2)求 a ? b 与

??

?? ?

?

??

?? ?

?

??

?? ?

? ?

? ?

? ? a ? b 的夹角.

(12 分)

15、 已知 a ? (1, 2) , b ? ( ?3, 2) 当 k 为何值时?(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时,它们是同向还是反向?(13 分)

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?



121



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数学必修 4 模块测试题
时间:120 分钟 满分:100 分

一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. sin 390 ?
0

( B. ?

)

A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2
( )

2.若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin30° 的值为 ) A.1 B. ?

1 2
? 的是 2

C.0

D.

1 2
( )

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

B. y ? sin x cos x

C. y ? tan

x 2

D. y ? cos 4 x ( )

4.已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,则扇形的中心角的弧度数是 A. 1 B. 1 或 4 C. 4 D. 2 或 4

1 ,则 sin 2? ? 3 1 1 8 8 A. B. ? C. D. ? 2 2 9 9 x ?? 6.已知函数 f ( x) ? sin , g ( x) ? tan(? ? x) ,则 2 A. f ( x) 与 g ( x) 都是奇函数 B. f ( x) 与 g ( x) 都是偶函数 C. f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数 D. f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数 r r r r r r r r 2 7 已知 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 2 , | a ? b |? 4 ,则 | a ? b | ?
5.已知 sin ? ? cos ? ?

(

)





(

)

uuu r uuu r 8.已知 P (2, ?1) , P2 (0,5) 且点 P 在 P P2 的延长线上, | P P |? 2 | PP2 | , 1 1 1 则点 P 的坐标为 4 2 A. (2, ?7) B. ( ,3) C. ( ,3) D. (?2,11) 3 3 2 ? 1 ? 9.已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 5 4 4 4 1 22 3 13 A. B. C. D. 6 13 22 18 3 ? sin x 10.函数 y ? 的值域为 3 ? sin x 1 1 A.[-1,1] B.[0,1] C.[- ,2] D.[ ,2] 2 2

A. 3

B. 5

C.3

D.10

(

)

(

)







122



二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11. 要得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

r r ) ? 2 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象按 a 平移即可,则 a 可以是


_______. 12.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 13.函数 y ?

sin x 的定义域是



14. 给出下列五个命题: ①函数 y ? 2sin(2 x ?

?
3

) 的一条对称轴是 x ?

②函数 y ? tan x 的图象关于点( ④若 sin(2 x1 ?

?

) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z 4 4
(填写正确命题前面的序号)

?

? ,0)对称; ③正弦函数在第一象限为增函数 2

5? ; 12

以上四个命题中正确的有

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 15、已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
若 cos(? ?

3? 1 ) ? ,则 f ?? ? = 2 5



三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本题满分 6 分)已知 求: cos2? 的值.

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , 且 cos( ? ? ) ? , ? ? ? ) ? ? , ? sin( 4 13 5

17、(满分 10 分)已知 6 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? 0,? ? [
2 2

?

, ? ], 求 sin(2? ? ) 的值. 2 3

?



123



18、 (本小题满分 14 分) 某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:

t y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b 。 (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式; (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该 港?

19. 已知 OP = ( 2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点 错误! 未找到引用源。 求使 MA? MB 取最小值时的 OM ; 错误! 未找到引用源。 (1) 对 中的点 M , 求 ?AMB 的余弦值。



124



20(本小题满分 14 分) 已知 a ? ( 3 sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a ? b (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 当 x ? ? ?

r

r

r r

? ? ?? 时, f ( x) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值, 并求出相应的 x 的值. , ? 6 3? ?



125




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