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陕西商洛2016届高三4月份文科数学检测


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商洛市 2016 年高考模拟检测试题 数学(文)
命题人:丹凤中学 巩堪良 张 建
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ?

1 , B ? {x | A. (2, ??) A. y ?

?

?

x?2 ) ? 0} ,则 A ? (CR B ) ? ( x B. ?1,2? C. ?0, D. ?? ?, ? ?? 0? ? ?1 , ? ??
( ) D. y ? )

2.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是

3. 向量 a ? ?2,3? 与直线 l : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的位置关系是( A.垂直 4. 复数 z ? ( B.相交 C.异面

1 ? sin x x

B. y ?

sin x x

C. y ?

1 ? cos x x
D.平行

cos x x

i 2 ) ,则复数 2 ? Z 在复平面上对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )



A.第一象限

5.在等腰 ?ABC 中, BC ? 4 , AB ? AC , BA ? BC ? ( A. 4 B. 8 C. ?4 D. ?8

??? ? ??? ?

x ? 1, ? x, ? 6. 已知函数 f ( x ) ? ? π ?sin x, x ? 1, ? 2
A.函数 f ( x ) 在 [ ?

则下列结论正确的是

π π , ] 上单调递增 2 2

B.函数 f ( x ) 的值域是 [?1,1] D. ?x ? R, f ( ? x) ? f ( x )

C. ?x0 ? R, f (? x0 ) ? ? f ( x0 )

7.已知正项等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2017 ? 2 ,则 A.1 B.2

1 1 的最小值为( ? a 2 a 2016
D.2018



C.2016

8. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形 (如 则它的体积为( )

图所示),

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A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

5 6

9. 直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 的中点横坐标为 3,则线段 AB 的长为( A. 5 ) B. 6 C. 7 D. 8

10. 在数列 ?an ? 中,已知 S n ? 2 n ? 1 ,则 a12 ? a22 ???? ? an 2 等于

A

4n ? 1 3

B

( 2n ? 12) 3

C

4n ? 1

D

n (2 ? 12)

11.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍, a 2 b2
) B D

则其渐近线方程为( A C

2x ? y ? 0 4x ? 3y ? 0

x ? 2y ? 0 3x ? 4 y ? 0

12.已知 f ??x ? ? a?x ? 1??x ? a ? 是函数 f ?x ? 的导函数,若 f ?x ? 在 x ? a 处取得极大值,则实数 a 的 取值范围是( A. ?0, ? ?? ) B. ?1 , ? ?? C. ?0,1? D. ?? ?, 1?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上

13.执行右图所示的程序框图(其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为 ?y ? x ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的 ? x ? ?2 ?
最小值为 . 15.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个 顶点的距离都不小于 2 的概率是___________。 16. 底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫 正棱锥. 如图,半球内有一内接正四棱锥 S ? ABCD ,该四棱 锥的体积为

16 ,则该半球的体积为 3



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三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答 卷纸的相应位置上 17.(本小题满分 12 分)某校在一次高三年级“诊断性”测试后,对该年级的 500 名考生

的数学成绩进行统计分析,成绩的频率分布表及频率分布直方图如下所示,规定成绩不 小于 125 分为优秀。

(1) 若用分层抽样的方法从这 500 人中抽取 4 人的成绩进行分析,求其中成绩为优秀 的学生人数; (2) 在(1)中抽取的 4 名学生中,随机抽取 2 名学生参加分析座谈会,求恰有 1 人成 绩为优秀的概率。
18.(本小题满分 12 分)已知函数 (1)求 f ?x ? 的最小正周期。

? ? ?? ? f ?x ? ? ?2 sin? x ? ? ? sin x? cos x ? 3 sin 2 x 。 3? ? ? ?

B C (2) 在 ?A

中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 f ? A? ?

3 AB 边上的高为 1, ?ABC ? 45? , , 2

求 a 的值及 ?ABC 的面积。 19. (本小题满分 12 分) 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD ,
? O 为 BC 已知:?ABC ? 45 , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SB ? SC ,直线 SA 与平面 ABCD 所成角为 45 ? ,

的中点。 (1)证明: SA ? BC (2) 求.四棱锥 S ? ABCD 的体积。

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20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 M :
2

1 x2 y2 a2 ? ? ? ? 1 a ? b ? 0 x ? 的离心率为 ,右焦点到直线 2 c a2 b2

的距离为 3,圆 N 的方程为 ?x ? c? ? y 2 ? a 2 ? c 2 ( c 为半焦距) , (1)求椭圆 M 的方程和圆 N 的方程. (2 ) 若直线 l ; y ? kx ? m 是椭圆 M 和圆 N 的公切线,求直线 l 的方程。 21.(本小题满分 12 分)设函数 (1)曲线 y ? f ?x ? 上一点

f ?x? ? ln 2x ? ax2 ? bx ? ln 2, ?a, b ? R?

A?1,2? ,若在 A 处的切线与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 平行,求 a, b 的值;
1 ,且函数 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 是单调函 2

(2)设函数 y ? f ?x ? 的导函数为 y ? f ??x ? ,若 f ??2 ? ? 数,求证: e ? 1 ? 2a 。
a

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

C 重合) 已知 ?ABC中,AB ? AC , D为?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点 (不与点 A 、 , 延长 BD 至 E ,
延长 AD 交 BC 的延长线于 F . (1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 第 22 题图

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?

( ? 为参数),以直角坐标系原点为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. (2)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ?

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? m, m ? 0, f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? .
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(1)求 m 的值; (2)若 ?x ? R , f ( x) ? 2 x ? 1 ? t 2 ?

3 t ? 1 成立,求实数 t 的取值范围. 2

2016 年商洛市高考模拟试题
数学(文)参考答案
一.选择题:ACAD B 二.填空题:13.7 , B B D DA 14.-8 , CC 15. 1 ?

16? ? , 16. 3 6

?a ? b ? 25 ? 175? 150 ? 500 ? 17.解: (1) ? a ? 0.04 ? 5 ? ? 500

解得 a ? 100, b ? 50
??????? 5 分

所以成绩为优秀的学生人数为 175 ? 150 ? 50 ? 375 (2)分层抽样抽取的 4 人中优秀的学生人数为 4 ?

375 ?3 500

记 4 名学生中优秀学生为 A1,A2,A3 , 余下一人为 B , 随机抽取 2 人的方法列举为

? A1,A2 ? , ? A1,A3 ?, ? A1,B? , ? A2,A3 ? , ? A2,B? , ? A3,B? 共 6 种。恰有 1 人成绩为优秀的 3
种,因此恰有 1 人成绩为优秀的概率 P ?

18.解: (1) f ?x? ? cos x ? sin x ? 3 cos x ? sin x ? 3 sin 2 x

?

3 1 ? 。 6 2

?

? 3 cos2 x ? sin 2 x ? 3 cos2x ???????????4 分
所以函数 f ?x ? 的最小正周期 T ? (2)因为 A ? ?0,? ? , f ? A? ?

?

?

2? ? ? ???????????6 分 2

? 3 ,所以 A ? 。 6 2

因为 AB 边上的高为 1, ?ABC ? 45? ,则 AC ? 2 ,????????8 分 在 ?ABC 中, 由正弦定理得

a 2 ? ,解得 a ? 2 ???10 分 ? cos 45 ? sin 30
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AB ? 3 ? 1,所以 S ?ABC ?
19:解:连结 AC, AO, SO

1 ? 2

?

3 ? 1 ?1 ?

?

3 ?1 .????????12 分 2

(1) 在 ?ABC 中由余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? COS?ABC ? 4 ,
2 2 2

???????????????2 分 ? AB ? AC 且 SB ? SC ,又 O 为 BC 的中点,? SO ? BC , AO ? BC ????4 分 又 SO ? AO ? O ,? BC ? 平面 SOA , 又 SA ? 平面 SOA ,? SA ? BC ????6 分 (2) ? 平面 SBC ? 平面 ABCD 且交线为 BC ,又? SO ? BC , SO ? 平面 SBC , SO ? 平面 ABCD , ????????????????8 分 且 ?SAO ? 45? , AO ?

即 AC ? 2 ,

2 ,? SO ? 2 ,

????????????????10 分

1 4 2 ? S 平行四边形 ? 2 ? 2 2sin 45? ? 4 ,? S四棱锥S ? ABCD ? S 平行四边形 ABCD ? SO ? 3 3
?????????????????????12 分

?c 1 ? ? ?a 2 20.解: (1)由题意知 ? 2 ?a ? c ? 3 ? ?c

解得 a ? 2 , c ? 1 ,?b ? 3 ?????3 分

? 椭圆 M 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
2

圆 N 的方程为 ?x ? 1? ? y 2 ? 5 ????????????????????5 分 (2)直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 M 相切只有一个公共点,

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 由? 4 得 3 ? 4k x ? 8kmx? 4m ? 12 ? 0 3 ? y ? kx ? m ?

?

?

? ? ? 64k 2 m 2 ? 4 3 ? 4k 2 4m 2 ? 12 ? 0 ,得 m 2 ? 3 ? 4k 2
直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与圆 N 相切只有一个公共点,

?

??

?

①?????7 分



k?m 1? k
2

? 5 ,即 2km ? m 2 ? 5 ? 4k 2

·6·

② ????????????9 分

由①②得 km ? 1

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1 1 , m ? 2 或 k ? ? , m ? ?2 2 2 1 1 ????????????????12 分 ? 直线 l : y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 2 2 1 21.解(1)因为 f ?? x ? ? ? 2ax ? b x
由①③解得 k ? 函数 y ? f ?x ?在点 则?

A?1,2? 处的切线与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 平行,
解得 ?

? f ?1? ? ln 2 ? a ? b ? ln 2 ? 2 ? f ??1? ? 1 ? 2a ? b ? 2

?a ? ?1 所以 a ? ?1, b ? 3 ???????5 分 ?b ? 3

(2)因为 f ??2 ? ?

1 1 ? 2a ? 2 ? b ? ,所以 b ? ?4a 2 2
2

f ??x ? ?

1 2ax2 ? 4ax ? 1 2a?x ? 1? ? 1 ? 2a ? 2ax ? b ? ? x x x
????????????????????????7 分

因为 x ? ?0,??? 当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

1 ? 0 在 ?0,??? 恒成立,符合题意, x

2 当 a ? 0 时 , 令 g ?x? ? 2ax ? 4ax ? 1 , 因 为 g ?0? ? 1 ? 0 且 g ?x ? 的 对 称 轴 为 x ? 1 , 要 函 数

?2a ? 0 1 解得 0 ? a ? ,????????10 分 y ? f ?x ?在 ?0,??? 是单调函数,则 ? 2 ?1 ? 2a ? 0
设 ? ?a ? ? e a ? 2a ? 1,则 ? ??a ? ? e a ? 2 ? 0 在 ? 0, ? 上恒成立, 2

? ?

1? ?

所以 ? ?a ? ? ? ?0? ? 0 ,即 e ? 1 ? 2a 。
a

22.解:(1) 证明:因为 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,? ?CDF ? ?ABC .

? AB ? AC ??ABC ? ?ACB
且 ?ADB ? ?ACB ,

?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,
? ?CDF ? ?EDF
(2)由(1)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似, ..........5 分

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?

AB AD ? AB 2 ? AD ? AF , ? AF AB

又? AB ? AC ,

? A B ? A C?

A D ? ,? A AB F ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF

根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .
23.解: (1)∵曲线 C 的参数方程为 ?
2

..........10 分 (α 为参数)

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?
2

∴曲线 C 的普通方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 10 曲线 C 表示以 ? 3,1? 为圆心, 10 为半径的圆。 将?

? x ? ? cos? 代入并化简得: ? ? 6cos ? ? 2sin ? ? y ? ? sin ?
. ..........5 分

即曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 6cos ? ? 2sin ?

? 2 ? ∵直线的直角坐标方程为 y ? x ? 1
∴圆心 C 到直线的距离为 d ?

9 3 2 ∴弦长为 2 10 ? ? 22 . ..........10 分 2 2

24.解: ?1? ? f ? x ? ? x ? 3 ? m ,所以 f ? x ? 3? ? x ? m ? 0 ,

? m ? 0 ,? x ? m 或 x ? ? m ,又? f ? x ? 3? ? 0 的解集为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? .
故 m=2 . ..........5 分

? 2?

3 3 f ( x) ? 2 x ? 1 ? t 2 ? t ? 1 等价于不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?t 2 ? t ? 3 , 2 2

? ? x ? 4, x ? ?3 ? 1 ? g ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?3x ? 2, ?3 ? x ? 2 ? 1 ? ? x ? 4, x ? ? , ? 2
故 g ( x) max ? g ( ) ?

.........8 分

1 2

1 7 7 3 2 2 ,则有 ? ?t ? t ? 3 ,即 2t ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 或 t ? 1 2 2 2 2

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即实数 t 的取值范围 ? ??, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

..........10 分

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