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《金版新学案》高一数学 1.3.2奇偶性(第2课时函数奇偶性的应用)课件 新人教A版


1.3.2 奇偶性(第2课时 函数奇偶性的应用)

1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义

如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x,都有 f(-x)=f(x) ,
那么称函数y=f(x)是偶函数. (2)奇函数的定义 f(-x)=-f(x) 如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x,都有____________,

那么称函数y=f(x)是奇函数.

1.奇、偶函数的图象

(1)偶函数的图象关于 y轴 对称.
(2)奇函数的图象关于原点 对称. 2.函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系

(1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则
f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有 最小值-M. (2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+

∞)上是 增函数 .

1.奇函数的图象一定过原点吗? 【提示】 不一定.若0在定义域内,则图象一定过原点,否 则不过原点.

2.由奇(偶)函数图象的对称性,在作函数图象时你能想到什
么简便方法? 【提示】 若函数具有奇偶性,作函数图象时可以先画出x>0

部分,再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象.

设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的

图象如图所示,(1)作出函数在[-5,0]的图象;
(2)使函数值y<0的x的取值集合.

【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①f(x)是[-5,5]上的奇函数; ②f(x)在[0,5]上图象已知. 解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称,作出f(x)的 图象,再利用图象解不等式.

【解析】 利用奇函数图象的性质,画出函数在[-5,0]上的图 象,直接从图象中读出信息.

由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点
对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,知它在[-5,0]上的图象,如图1所 示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

本题利用奇函数图象的特点,作出函数在区间[-5,0]上 的图象,利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合.数形 结合是研究函数的重要方法,画函数图象是学习数学必须掌 握的一个重要技能,并能利用函数图象理解函数的性质.

1.如图给出了偶函数y=f(x)(x∈R)的局部图象, (1)画出x>0部分的局部图象. (2)求f(3),并比较f(1)与f(3)的大小.

【解析】 因为函数y=f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,

故保留y=f(x)在(-∞,0]上的图象,在[0,+∞)上作y=f(x)关于y轴
对称的图象,如图所示,即得函数y=f(x),x∈R的图象.由图象知 f(3)=-2,f(1)=-1,所以f(1)>f(3).

若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x·(1-x),求函数f(x)的解析式. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①函数f(x)是R上的奇函数; ②x>0时f(x)的解析式已知. 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解.

【解析】 (1)当 x=0 时,由 f(-x)=-f(x) 得 f(0)=0; (2)当 x<0 时,则-x>0 ∴f(-x)=(-x)· [1-(-x)] 又∵f(-x)=-f(x) ∴-f(x)=(-x)· (1+x) ∴f(x)=x· (1+x) ∴函数 f(x)的解析式为: (1-x) (x>0) ?x· ? f(x)=?0 (x=0) ?x(1+x) (x<0) ?

此类问题的一般做法是: ①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内. ②要利用已知区间的解析式进行代入. ③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).

2.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数,且f(0)
=0”,其他条件不变,则函数f(x)的解析式是什么?

【解析】 设 x<0,则-x>0 ∴f(x)=f(-x)=-x· [1-(-x)] =-x· (1+x) 又 f(0)=0 ∴函数 f(x)的解析式为 (x>0) ?x(1-x) ? f(x)=?0 (x=0) ?-x· ? (1+x) (x<0)

已知奇函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)+f(1-2x)<0,求实数x的取值范围. 【思路点拨】 f(x-1)+f(1-2x)<0―→f(x-1)<f(2x- 1)―→根据单调性 列不等式组―→解得实数x的取值范围

【解析】 ∵f(x)是奇函数, 且在[-1,1]上是 增函数. 由 f(x-1)+f(1-2x)<0 得 f(x-1)<-f(1-2x) =f(2x-1)

?-1≤x-1≤1 ?0≤x≤2 ? ? ∴?-1≤2x-1≤1 ,即?0≤x≤1 ?x>0 ?x-1<2x-1 ? ?
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1].

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化
成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一 致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,同时不能漏掉函

数自身定义域对参数的影响.

3.若偶函数f(x)的定义域为[-1,1],且在[0,1]上单调递减,若 f(1-m)<f(m)成立,求m的取值范围.

【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(-x)=f(x),即 f(|x|)=f(x) ∴f(1-m)=f(|1-m|) f(m)=f(|m|) ∴f(|1-m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减

?-1≤1-m≤1 ? ∴?-1≤m≤1 ?|1-m|>|m| ?
1 解得 0≤m<2

1.奇、偶函数的图象 (1)若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形.反之,如果一个函数的图象是以坐标原 点为对称中心的对称图形,则这个函数是奇函数,这也成为我们由 图象判定奇函数的方法. (2)若一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的对称

图形.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶
函数,这也是由图象判定偶函数的方法.

由图象可知,奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称 区间上单调性相反.

(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性,我们可以由此得到作
函数图象的简便方法,如作函数y=|x|的图象,因为该函数为偶函 数,故需先作出x≥0时的图象,利用函数图象关于y轴对称即可作出 x≤0时的图象.

已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,求函

数f(x)的解析式.

【错解】 当 x<0 时, -x>0, ∴f(-x)=2(- x)-3 =-2x-3 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)= 2x+3,
?2x-3,x>0 ∴所求函数解析式为 f(x)=? ?2x+3,x<0

【错因】 忽略了定义域为 R 的条件,漏掉 了 x=0 的情况. 【正解】 同错解得:当 x<0 时,f(x)=2x +3. ∵f(x)(x∈R)是奇函数,∴f(-0)=-f(0), ∴f(0)=0. ∴ 所 求 函 数 的 解 析 式 为 f(x) =

?2x-3,x>0 ? . ?0,x=0 ?2x+3,x<0 ?

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